คุณสมบัติสามเหลี่ยมหน้าจั่วสูตรและพื้นที่การคำนวณ



สามเหลี่ยมหน้าจั่ว มันเป็นรูปหลายเหลี่ยมสามด้านที่สองของพวกเขามีการวัดเดียวกันและด้านที่สามเป็นการวัดที่แตกต่างกัน ด้านสุดท้ายนี้เรียกว่าฐาน เนื่องจากลักษณะนี้จึงได้รับชื่อนี้ซึ่งในภาษากรีกหมายถึง "ขาเท่ากัน"

สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ถือว่าง่ายที่สุดในรูปทรงเรขาคณิตเพราะมันถูกสร้างขึ้นโดยสามด้านสามมุมและสามจุดยอด พวกมันคือกลุ่มที่มีจำนวนด้านและมุมที่น้อยที่สุดเมื่อเทียบกับรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ อย่างไรก็ตามการใช้งานนั้นกว้างขวางมาก.

ดัชนี

  • 1 ลักษณะของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
    • 1.1 ส่วนประกอบ
  • 2 คุณสมบัติ
    • 2.1 มุมภายใน
    • 2.2 ผลรวมของด้านข้าง
    • 2.3 ด้านที่เห็นพ้องต้องกัน
    • 2.4 มุมที่สอดคล้องกัน
    • 2.5 ความสูงค่ามัธยฐานเส้นแบ่งครึ่งและเส้นแบ่งครึ่งเป็นเรื่องบังเอิญ
    • 2.6 ความสูงสัมพัทธ์
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter และ circumcenter
  • 3 วิธีคำนวณปริมณฑล?
  • 4 วิธีการคำนวณความสูง?
  • 5 วิธีคำนวณพื้นที่?
  • 6 วิธีการคำนวณฐานของสามเหลี่ยม?
  • 7 แบบฝึกหัด
    • 7.1 การออกกำลังกายครั้งแรก
    • 7.2 การออกกำลังกายที่สอง
    • 7.3 การออกกำลังกายที่สาม
  • 8 อ้างอิง

ลักษณะของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วถูกจัดประเภทโดยใช้การวัดด้านข้างของมันเป็นพารามิเตอร์เนื่องจากทั้งสองด้านมีความสอดคล้องกัน (มีความยาวเท่ากัน).

ตามความกว้างของมุมภายในสามเหลี่ยมหน้าจั่วถูกจำแนกเป็น:

  • สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่เหลี่ยมจัตุรัส: สองข้างเท่ากัน มุมหนึ่งของมันตรง (90)หรือ) และอื่น ๆ เหมือนกัน (45)หรือ แต่ละอัน)
  • หน้าจั่วสามเหลี่ยมป้านมุม: สองข้างเท่ากัน มุมหนึ่งของมันคือป้าน (> 90หรือ).
  • หน้าจั่วสามเหลี่ยมมุมแหลมเฉียบพลัน: สองข้างเท่ากัน ทุกมุมมีความคมชัด (< 90หรือ) ซึ่งทั้งสองมีขนาดเท่ากัน.

ส่วนประกอบ

  • ค่ามัธยฐาน: เป็นเส้นที่ออกจากจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งและถึงจุดยอดตรงข้าม คนกลางทั้งสามเห็นพ้องกัน ณ จุดที่เรียกว่าเซนทรอยด์หรือเซนทรอยด์.
  • เส้นแบ่งครึ่ง: เป็นรังสีที่แบ่งมุมของแต่ละจุดยอดออกเป็นสองมุมที่มีขนาดเท่ากัน นั่นคือเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่าแกนสมมาตรและสามเหลี่ยมประเภทนี้มีเพียงอันเดียว.
  • คนไกล่เกลี่ย: เป็นส่วนที่ตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีต้นกำเนิดอยู่ตรงกลางของรูปนี้ มีสาม mediatices ในรูปสามเหลี่ยมและพวกเขาเห็นพ้องกันในจุดที่เรียกว่า circuncentro.
  • ความสูง: เป็นเส้นที่ไปจากจุดยอดไปด้านข้างที่อยู่ตรงข้ามและเส้นนี้ตั้งฉากกับด้านนั้น สามเหลี่ยมทุกรูปมีความสูงสามระดับซึ่งตรงกับจุดที่เรียกว่า orthocenter.

สรรพคุณ

สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีการกำหนดหรือระบุเนื่องจากมีคุณสมบัติหลายอย่างที่เป็นตัวแทนของพวกเขามาจากทฤษฎีบทที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ที่ดี:

มุมภายใน

ผลรวมของมุมภายในเท่ากับ 180 เสมอหรือ.

ผลรวมของด้านข้าง

ผลรวมของการวัดของทั้งสองฝ่ายจะต้องสูงกว่าการวัดของด้านที่สามคือ a + b> c.

ฝ่ายที่เห็นพ้องต้องกัน

สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านที่มีขนาดหรือความยาวเท่ากัน นั่นคือพวกเขาสอดคล้องกันและด้านที่สามแตกต่างจากเหล่านี้.

มุมที่สอดคล้องกัน

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นที่รู้จักกันในชื่อรูปสามเหลี่ยม iso-angles เช่นกันเพราะพวกมันมีสองมุมที่มีขนาดเท่ากัน (สมภาคกัน) ตั้งอยู่ที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมตรงข้ามกับด้านที่มีความยาวเท่ากัน.

ด้วยเหตุนี้ทฤษฎีบทที่กำหนดว่า:

ถ้าสามเหลี่ยมมีด้านที่สอดคล้องกันสองด้านมุมตรงข้ามด้านนั้นก็จะสมภาคกันเช่นกัน ดังนั้นถ้าสามเหลี่ยมมีหน้าจั่วมุมของฐานจะสอดคล้องกัน.

ตัวอย่างเช่น:

รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงรูปสามเหลี่ยม ABC โดยการติดตามเส้นแบ่งครึ่งจากจุดยอดของมุม B ถึงฐานสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยมเท่ากับ BDA และ BDC:

ดังนั้นมุมของจุดยอด B ก็ถูกแบ่งออกเป็นสองมุมเท่ากัน ตอนนี้เส้นแบ่งครึ่งคือด้าน (BD) ทั่วไประหว่างสามเหลี่ยมสองรูปแบบใหม่ในขณะที่ด้าน AB และ BC เป็นด้านที่สอดคล้องกัน คุณมีกรณีของด้านความสอดคล้องมุมด้านข้าง (LAL).

นี่แสดงให้เห็นว่ามุมของจุดยอด A และ C มีขนาดเท่ากันเช่นเดียวกับที่แสดงให้เห็นว่าเนื่องจากสามเหลี่ยม BDA และ BDC มีความสอดคล้องกันด้าน AD และ DC ก็สอดคล้องกัน.

ความสูง, ค่ามัธยฐาน, bisector และ bisector นั้นเหมือนกัน

เส้นที่ลากจากจุดยอดตรงข้ามฐานไปยังจุดกึ่งกลางของฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือในเวลาเดียวกันความสูงค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งเช่นเดียวกับเส้นแบ่งครึ่งที่สัมพันธ์กับมุมตรงข้ามของฐาน.

ส่วนทั้งหมดเหล่านี้ตรงกับที่แสดง.

ตัวอย่างเช่น:

รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า ABC ABC มีจุดกึ่งกลาง M ที่แบ่งฐานออกเป็นสองส่วนคือ BM และ CM.

เมื่อคุณวาดส่วนจากจุด M ไปยังจุดยอดตรงข้ามตามคำนิยามคุณจะได้ค่ามัธยฐาน AM ซึ่งสัมพันธ์กับจุดยอด A และด้าน BC.

เนื่องจากส่วนของ AM แบ่งรูปสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่เท่ากัน AMB และ AMC นั่นหมายความว่ากรณีของมุม, มุม, ความสอดคล้องกันของด้านจะถูกนำมาใช้และดังนั้น AM จะเป็นเส้นแบ่งครึ่งของBÂC.

นั่นคือเหตุผลที่เส้นแบ่งครึ่งจะเสมอเท่ากับค่ามัธยฐานและในทางกลับกัน.

เซ็กเมนต์ AM สร้างมุมที่มีขนาดเท่ากันสำหรับสามเหลี่ยม AMB และ AMC นั่นคือพวกเขาเสริมในลักษณะที่จะวัดแต่ละคน:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180หรือ

2 * * * * Med. (AMC) = 180หรือ

Med. (AMC) = 180หรือ ÷ 2

Med. (AMC) = 90หรือ

เป็นที่ทราบกันว่ามุมที่เกิดขึ้นจากส่วนของ AM ที่เกี่ยวกับฐานของรูปสามเหลี่ยมนั้นตรงซึ่งบ่งบอกว่าส่วนนี้ตั้งฉากกับฐานโดยสิ้นเชิง.

ดังนั้นมันจึงแสดงถึงความสูงและเส้นแบ่งครึ่งโดยรู้ว่า M คือจุดกึ่งกลาง.

ดังนั้นเส้นตรง AM:

  • แสดงถึงความสูงของ BC.
  • มันเป็นสื่อกลาง.
  • มันมีอยู่ใน Mediatrix ของ BC.
  • มันคือเส้นแบ่งครึ่งของมุมยอดÂ

ความสูงสัมพัทธ์

ความสูงที่สัมพันธ์กับด้านเท่า ๆ กันก็มีขนาดเท่ากัน.

เนื่องจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านเท่ากันความสูงตามลำดับทั้งสองก็จะเท่ากัน.

Orthocenter, barycenter, incenter และ circumcenter

เมื่อความสูงมัธยฐาน bisector และ bisector สัมพันธ์กับฐานจะแสดงในเวลาเดียวกันโดยเซ็กเมนต์เดียวกัน orthocenter, incenter centrocentric และ circumcenter จะเป็นจุด collinear นั่นคือพวกเขาจะอยู่ในบรรทัดเดียวกัน:

วิธีการคำนวณปริมณฑล?

ปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมคำนวณโดยผลรวมของด้านข้าง.

ในกรณีนี้สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านด้วยการวัดเดียวกันปริมณฑลของมันจะถูกคำนวณด้วยสูตรต่อไปนี้:

P = 2* * * *(ด้าน a) + (ด้าน b).

วิธีการคำนวณความสูง?

ความสูงคือเส้นตั้งฉากกับฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันโดยขยายไปถึงจุดยอดตรงข้าม.

ความสูงหมายถึงขาตรงข้าม (a) ครึ่งหนึ่งของฐาน (b / 2) ถึงขาข้างที่อยู่ติดกันและด้าน "a" หมายถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก.

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคุณสามารถกำหนดค่าของความสูงได้:

ไปยัง2 + ข2 = ค2

ที่อยู่:

ไปยัง2 = ความสูง (h).

ข2 = b / 2.

ค2 = ด้าน.

แทนที่ค่าเหล่านี้ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสและกำจัดความสูงที่เรามี:

ชั่วโมง2 + (ข / 2)2 = ไปยัง2

ชั่วโมง2 + ข2 / 4 = ไปยัง2

ชั่วโมง2 = ไปยัง2 - ข2 / 4

h = √ (ไปยัง2 - ข2 / 4).

หากทราบมุมที่เกิดจากด้านที่สอดคล้องกันความสูงสามารถคำนวณได้ด้วยสูตรต่อไปนี้:

วิธีคำนวณพื้นที่?

พื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นคำนวณด้วยสูตรเดียวกันเสมอโดยคูณฐานด้วยความสูงและหารด้วยสอง:

มีหลายกรณีที่รู้เพียงว่าการวัดของทั้งสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมที่เกิดขึ้นระหว่างพวกมันนั้นเป็นที่รู้จักกัน ในกรณีนี้เพื่อกำหนดพื้นที่จำเป็นต้องใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ:

วิธีการคำนวณฐานของรูปสามเหลี่ยม?

เมื่อสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านเท่ากันเพื่อกำหนดค่าของฐานมันต้องรู้อย่างน้อยการวัดความสูงหรือมุมหนึ่ง.

ทราบความสูงที่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ไปยัง2 + ข2 = c2

ที่อยู่:

ไปยัง2 = ความสูง (h).

ค2 = ด้าน.

ข2 = b / 2 ไม่เป็นที่รู้จัก.

เราเคลียร์ข2 ของสูตรและเราต้อง:

ข2 = a2 - ค2

b = √ a2 - ค2

เนื่องจากค่านี้สอดคล้องกับครึ่งหนึ่งของฐานจึงต้องคูณสองเพื่อให้ได้การวัดที่สมบูรณ์ของฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

b = 2 * * * * (√ a2 - ค2)

ในกรณีที่มีเพียงค่าของด้านเท่ากันและมุมระหว่างพวกเขาเท่านั้นที่รู้จัก, ตรีโกณมิติถูกนำไปใช้, การติดตามเส้นจากจุดสุดยอดไปยังฐานที่แบ่งสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน.

ด้วยวิธีนี้ครึ่งหนึ่งของฐานคำนวณด้วย:

เป็นไปได้ว่ามีเพียงค่าความสูงและมุมของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับฐานเท่านั้น ในกรณีนั้นโดยตรีโกณมิติสามารถกำหนดฐานได้:

การอบรม

การออกกำลังกายครั้งแรก

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC โดยรู้ว่าทั้งสองด้านมีขนาด 10 ซม. และด้านที่สามมีขนาด 12 ซม.

ทางออก

เพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมันจำเป็นต้องคำนวณความสูงโดยใช้สูตรของพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสเนื่องจากค่าของมุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้านเท่ากันนั้นไม่เป็นที่รู้จัก.

เรามีข้อมูลต่อไปนี้ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

  • ด้านเท่ากัน (a) = 10 ซม.
  • ฐาน (b) = 12 ซม.

ค่าในสูตรจะถูกแทนที่:

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

ความยาวของด้านเท่ากันสองด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาด 42 ซม. ซึ่งการรวมกันของด้านเหล่านี้ก่อให้เกิดมุม 130หรือ. กำหนดค่าของด้านที่สามพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นและปริมณฑล.

ทางออก

ในกรณีนี้การวัดด้านข้างและมุมระหว่างสิ่งเหล่านี้เป็นที่รู้จักกัน.

หากต้องการทราบค่าของด้านที่ขาดหายไปนั่นคือฐานของสามเหลี่ยมนั้นเส้นนั้นจะถูกวาดในแนวตั้งฉากกับมันโดยแบ่งมุมเป็นสองส่วนเท่ากันหนึ่งอันสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละอันที่เกิดขึ้น.

  • ด้านเท่ากัน (a) = 42 ซม.
  • มุม (Ɵ) = 130หรือ

ตอนนี้โดยตรีโกณมิติค่าของครึ่งหนึ่งของฐานจะถูกคำนวณซึ่งสอดคล้องกับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ในการคำนวณพื้นที่มันจำเป็นต้องรู้ความสูงของสามเหลี่ยมนั้นที่สามารถคำนวณได้โดยตรีโกณมิติหรือทฤษฎีบทพีทาโกรัสตอนนี้มูลค่าของฐานได้ถูกกำหนดแล้ว.

โดยตรีโกณมิติมันจะเป็น:

ปริมณฑลถูกคำนวณ:

P = 2* * * *(ด้าน a) + (ด้าน b).

P = 2* * * * (42 ซม.) + (76 ซม.)

P = 84 ซม. + 76 ซม

P = 160 ซม.

การออกกำลังกายที่สาม

คำนวณมุมภายในของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยรู้ว่ามุมของฐานคือÂ = 55หรือ

ทางออก

เพื่อหามุมที่หายไปสองมุม (ÊและÔ) จำเป็นต้องจำคุณสมบัติสองประการของสามเหลี่ยมดังกล่าว:

  • ผลรวมของมุมภายในของทุกสามเหลี่ยมจะเท่ากับ = 180หรือ:

 + Ê + Ô = 180 หรือ

  • ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมของฐานเสมอกันคือนั่นคือพวกเขามีวัดเดียวกันดังนั้น:

 = Ô

Ê = 55หรือ

ในการกำหนดค่าของมุม substitute ให้แทนที่ค่าของมุมอื่น ๆ ในกฎข้อแรกและชัดเจนÊ:

55หรือ + 55หรือ + Ô = 180 หรือ

110 หรือ + Ô = 180 หรือ

Ô = 180 หรือ - 110 หรือ

Ô = 70 หรือ.

การอ้างอิง

  1. Álvarez, E. (2003) องค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิต: ด้วยแบบฝึกหัดมากมายและรูปทรงเรขาคณิตของเข็มทิศ มหาวิทยาลัย Medellin.
  2. ÁlvaroRendón, A. R. (2004) การวาดภาพทางเทคนิค: สมุดบันทึกกิจกรรม.
  3. Angel, A. R. (2007) พีชคณิตเบื้องต้น การศึกษาของเพียร์สัน.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996) พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การศึกษาของเพียร์สัน.
  5. Baldor, A. (1941) พีชคณิต ฮาวานา: วัฒนธรรม.
  6. JoséJiménez, L. J. (2006) คณิตศาสตร์ 2.
  7. Tuma, J. (1998) คู่มือคณิตศาสตร์วิศวกรรม Wolfram MathWorld.