ปรับขนาดคุณสมบัติสามเหลี่ยมสูตรและพื้นที่การคำนวณ

สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า มันเป็นรูปหลายเหลี่ยมสามด้านซึ่งทุกคนมีขนาดหรือความยาวต่างกัน ด้วยเหตุนี้จึงได้รับชื่อ scalene ซึ่งในภาษาละตินหมายถึงการปีนเขา.

สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ถือว่าง่ายที่สุดในรูปทรงเรขาคณิตเพราะมันถูกสร้างขึ้นสามด้านสามมุมและสามจุดยอด ในกรณีของสามเหลี่ยม scalene เพราะมันมีด้านที่แตกต่างกันทั้งหมดมันก็หมายความว่ามุมทั้งสามของมันก็จะแตกต่างกัน.

ดัชนี

• 1 ลักษณะของรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า
  • 1.1 ส่วนประกอบ
• 2 คุณสมบัติ
  • 2.1 มุมภายใน
  • 2.2 ผลรวมของด้านข้าง
  • 2.3 ด้านที่ไม่สอดคล้องกัน
  • 2.4 มุมที่ไม่สอดคล้องกัน
  • 2.5 ความสูงค่ามัธยฐานเส้นแบ่งครึ่งและเส้นแบ่งครึ่งไม่ได้เกิดขึ้นพร้อมกัน
  • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter และ circumcenter นั้นไม่เหมือนกัน
  • 2.7 ความสูงสัมพัทธ์
• 3 วิธีคำนวณปริมณฑล?
• 4 วิธีคำนวณพื้นที่?
• 5 วิธีการคำนวณความสูง?
• 6 วิธีคำนวณด้านข้าง?
• 7 แบบฝึกหัด
  • 7.1 การออกกำลังกายครั้งแรก
  • 7.2 การออกกำลังกายที่สอง
  • 7.3 การออกกำลังกายที่สาม
• 8 อ้างอิง

ลักษณะของรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

สามเหลี่ยมสเกลเป็นรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายเพราะไม่มีด้านข้างหรือมุมของมันมีขนาดเท่ากันซึ่งต่างจากหน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่า.

เนื่องจากด้านข้างและมุมทั้งหมดมีการวัดที่แตกต่างกันสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงถือว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ไม่สม่ำเสมอ.

ตามความกว้างของมุมภายในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่านั้นถูกจำแนกเป็น:

• สเกลสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม: ทุกด้านมีความแตกต่าง มุมหนึ่งของมันตรง (90)^หรือ) และส่วนอื่นนั้นคมและมีมาตรการแตกต่างกัน.
• สเกลสามเหลี่ยมมุมป้าน: ทุกด้านมีความแตกต่างและมุมหนึ่งของมันคือป้าน (> 90)^หรือ).
• สเกลสามเหลี่ยมมุมแหลม: ทุกด้านมีความแตกต่าง ทุกมุมมีความคมชัด (< 90^หรือ) ด้วยมาตรการที่แตกต่าง.

คุณลักษณะอีกอย่างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าคือเนื่องจากความไม่เข้ากันของด้านข้างและมุมพวกเขาจึงไม่มีแกนสมมาตร.

ส่วนประกอบ

ค่ามัธยฐาน: เป็นเส้นที่ออกจากจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งและถึงจุดยอดตรงข้าม คนกลางทั้งสามเห็นพ้องกัน ณ จุดที่เรียกว่าเซนทรอยด์หรือเซนทรอยด์.

เส้นแบ่งครึ่ง: เป็นรังสีที่แบ่งแต่ละมุมออกเป็นสองมุมที่มีขนาดเท่ากัน เส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมเห็นด้วยในจุดที่เรียกว่า incentro.

คนไกล่เกลี่ย: เป็นส่วนที่ตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีต้นกำเนิดอยู่ตรงกลางของรูปนี้ มีสาม mediatrices ในรูปสามเหลี่ยมและเห็นพ้องกันในจุดที่เรียกว่า circumcenter.

ความสูง: เป็นเส้นที่ไปจากจุดยอดไปด้านข้างที่อยู่ตรงข้ามและเส้นนี้ตั้งฉากกับด้านนั้น สามเหลี่ยมทุกรูปมีความสูงสามระดับที่ตรงกับจุดที่เรียกว่า orthocenter.

สรรพคุณ

สามเหลี่ยมสเกลถูกกำหนดหรือระบุเนื่องจากมีคุณสมบัติหลายอย่างที่เป็นตัวแทนของมันเกิดขึ้นจากทฤษฎีบทที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ พวกเขาคือ:

มุมภายใน

ผลรวมของมุมภายในเท่ากับ 180 เสมอ^หรือ.

ผลรวมของด้านข้าง

ผลรวมของการวัดของทั้งสองฝ่ายจะต้องสูงกว่าการวัดของด้านที่สามคือ a + b> c.

ด้านที่ไม่สอดคล้องกัน

สามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากันทุกด้านมีขนาดหรือความยาวต่างกัน นั่นคือพวกเขาจะไม่ลงรอยกัน.

มุมที่ไม่สอดคล้องกัน

เนื่องจากทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากันมุมของพวกเขาก็จะแตกต่างกัน อย่างไรก็ตามผลรวมของมุมภายในจะเท่ากับ180ºเสมอและในบางกรณีมุมใดมุมหนึ่งของมันสามารถป้านหรือตรงในขณะที่มุมอื่น ๆ ทั้งหมดจะแหลม.

ความสูงค่ามัธยฐานเส้นแบ่งครึ่งและเส้นแบ่งครึ่งไม่ได้เหมือนกัน

เช่นเดียวกับสามเหลี่ยมใด ๆ scalene มีเส้นตรงหลายส่วนที่ประกอบขึ้นเช่น: height, median, bisector และ bisector.

เนื่องจากความพิเศษของด้านในสามเหลี่ยมประเภทนี้จึงไม่มีเส้นตรงใด ๆ ในหนึ่งเดียว.

Orthocenter, barycenter, incenter และ circumcenter นั้นไม่เหมือนกัน

ในฐานะที่เป็นความสูง, มัธยฐาน, bisector และ bisector จะถูกแสดงโดยส่วนต่าง ๆ ของเส้นตรงในสามเหลี่ยม scalene จุดนัดพบ - orthocenter, centrocenter, incenter และ circumcenter - จะพบในจุดที่แตกต่าง.

orthocenter มีตำแหน่งที่แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นแบบเฉียบพลันสี่เหลี่ยมหรือด้านไม่เท่ากัน

ถ้าสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมศูนย์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยม.

ข หากสามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า orthocenter จะตรงกับจุดยอดของด้านตรง.

ค ถ้าสามเหลี่ยมเป็นป้านศูนย์ orthocenter จะอยู่ด้านนอกของรูปสามเหลี่ยม.

ความสูงสัมพัทธ์

ความสูงนั้นสัมพันธ์กับด้านข้าง.

ในกรณีของสามเหลี่ยม scalene ความสูงเหล่านี้จะมีการวัดที่แตกต่างกัน สามเหลี่ยมทุกอันมีความสูงสามระดับและเพื่อคำนวณสูตรของนกกระสา.

วิธีการคำนวณปริมณฑล?

ปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมคำนวณโดยผลรวมของด้านข้าง.

เช่นเดียวกับในกรณีนี้สามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากันนั้นมีขนาดที่แตกต่างกันขอบเขตของมันจะเป็น:

P = ด้าน a + ด้าน b + ด้าน c.

วิธีคำนวณพื้นที่?

พื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นคำนวณด้วยสูตรเดียวกันเสมอโดยคูณฐานด้วยความสูงและหารด้วยสอง:

พื้นที่ = (ฐาน _{* * * *} h) ÷ 2

ในบางกรณีความสูงของรูปสามเหลี่ยมไม่เท่ากัน แต่ไม่มีสูตรที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์นกกระสาเพื่อคำนวณพื้นที่รู้การวัดของทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยม.

ที่อยู่:

• a, b และ c, แทนด้านข้างของสามเหลี่ยม.
• sp, สอดคล้องกับ semiperimeter ของรูปสามเหลี่ยมนั่นคือครึ่งหนึ่งของปริมณฑล:

sp = (a + b + c) ÷ 2

ในกรณีที่คุณมีการวัดเพียงสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมที่เกิดขึ้นระหว่างพวกเขาพื้นที่สามารถคำนวณได้โดยใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ ดังนั้นคุณต้อง:

พื้นที่ = (ด้านข้าง) _{* * * *} h) ÷ 2

เมื่อความสูง (h) เป็นผลคูณของไซน์หนึ่งโดยไซน์ของมุมตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่นสำหรับแต่ละด้านพื้นที่จะเป็น:

• พื้นที่ = (b _{* * * *} ค _{* * * *} sen A) ÷ 2
• พื้นที่ = (a _{* * * *} ค _{* * * *} sen B) ÷ 2.
• พื้นที่ = (a _{* * * *} ข _{* * * *} sen C) ÷ 2

วิธีการคำนวณความสูง?

เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากันจึงไม่สามารถคำนวณความสูงด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้.

จากสูตรของนกกระสาซึ่งขึ้นอยู่กับการวัดของทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยมพื้นที่สามารถคำนวณได้.

ความสูงสามารถล้างได้จากสูตรทั่วไปของพื้นที่:

ด้านข้างถูกแทนที่ด้วยการวัดด้าน a, b หรือ c.

อีกวิธีในการคำนวณความสูงเมื่อทราบค่าของมุมใดมุมหนึ่งคือการใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติซึ่งความสูงจะแสดงถึงขาของสามเหลี่ยม.

ตัวอย่างเช่นเมื่อทราบมุมตรงข้ามกับความสูงมันจะถูกกำหนดโดยไซน์:

วิธีการคำนวณด้านข้าง?

เมื่อคุณมีการวัดทั้งสองด้านและมุมตรงข้ามกับสิ่งเหล่านี้คุณสามารถกำหนดด้านที่สามได้โดยใช้ทฤษฎีบทของโคไซน์.

ตัวอย่างเช่นในรูปสามเหลี่ยม AB ความสูงที่สัมพันธ์กับเซกเมนต์ AC ถูกพล็อต วิธีนั้นสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยมมุมฉาก.

ในการคำนวณ c-side (เซ็กเมนต์ AB) ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับแต่ละสามเหลี่ยม:

• สำหรับรูปสามเหลี่ยมสีน้ำเงินคุณต้อง:

ค² = h² + ม.²

ในฐานะ m = b - n มันจะถูกแทนที่:

ค² = h² + ข² (b - n)²

ค² = h² + ข² - 2bn + n².

• สำหรับรูปสามเหลี่ยมสีชมพูคุณต้อง:

ชั่วโมง² = a² - n²

มันถูกแทนที่ในสมการก่อนหน้านี้:

ค² = a² - n² + ข² - 2bn + n²

ค² = a² + ข² - 2BN.

รู้ว่า n = a _{* * * *} cos C ถูกแทนที่ในสมการก่อนหน้าและได้ค่าของด้าน c:

ค² = a² + ข² - 2b_{* * * *} ไปยัง _{* * * *} เพราะ.

ตามกฎของ Cosines ด้านข้างสามารถคำนวณได้ดังนี้:

• ไปยัง² = b² + ค² - 2b_{* * * *} ค _{* * * *} เพราะ.
• ข² = a² + ค² - 2_{* * * *} ค _{* * * *} เพราะข.
• ค² = a² + ข² - 2b_{* * * *} ไปยัง _{* * * *} เพราะ.

มีหลายกรณีที่ไม่ทราบการวัดด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม แต่ความสูงและมุมที่เกิดขึ้นในจุดยอด เพื่อกำหนดพื้นที่ในกรณีเหล่านี้จำเป็นต้องใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ.

เมื่อทราบมุมของจุดยอดใดจุดหนึ่งแล้วจะมีการระบุขาและใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติที่สอดคล้องกัน:

ตัวอย่างเช่น cathetus AB จะอยู่ตรงข้ามกับมุม C แต่อยู่ติดกับมุม A ขึ้นอยู่กับด้านหรือขั้วต่อที่สอดคล้องกับความสูงด้านอื่น ๆ จะถูกล้างเพื่อให้ได้ค่านี้.

การอบรม

การออกกำลังกายครั้งแรก

คำนวณพื้นที่และความสูงของสามเหลี่ยม ABC แบบไม่เท่ากันรู้ว่าด้านนั้นคือ:

a = 8 ซม.

b = 12 ซม.

c = 16 ซม.

ทางออก

เมื่อข้อมูลได้รับการวัดสามด้านของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า.

เนื่องจากคุณไม่มีค่าความสูงคุณสามารถกำหนดพื้นที่โดยใช้สูตรนกกระสา.

ครั้งแรกที่คำนวณ semiperimeter:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 ซม. + 12 ซม. + 16 ซม.) ÷ 2

sp = 36 ซม. ÷ 2

sp = 18 ซม.

ตอนนี้ค่าในสูตรของนกกระสาจะถูกแทนที่:

การรู้พื้นที่สามารถคำนวณความสูงสัมพัทธ์ทางด้านข จากสูตรทั่วไปให้ล้างข้อมูลคุณ:

พื้นที่ = (ด้านข้าง) _{* * * *} h) ÷ 2

46, 47 ซม² = (12 ซม _{* * * *} h) ÷ 2

h = (2 _{* * * *} 46.47 ซม²) ÷ 12 ซม

h = 92.94 ซม² ÷ 12 ซม

h = 7.75 ซม.

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

ให้สามเหลี่ยมด้านไม่เท่าของ ABC มีมาตรการดังนี้

• เซกเมนต์ AB = 25 m.
• เซกเมนต์ BC = 15 ม.

ที่จุดยอด B จะเกิดมุม 50 °ขึ้น คำนวณความสูงสัมพัทธ์ถึงด้าน c ขอบเขตและพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้น.

ทางออก

ในกรณีนี้คุณมีมาตรการสองด้าน ในการกำหนดความสูงจำเป็นต้องคำนวณการวัดของด้านที่สาม.

เนื่องจากได้มุมที่ตรงกันข้ามกับด้านที่กำหนดไว้จึงเป็นไปได้ที่จะใช้กฎของโคไซน์เพื่อพิจารณาการวัดด้าน AC (b):

ข² = a² + ค² - 2_{* * * *}ค _{* * * *} เพราะข

ที่อยู่:

a = BC = 15 เมตร.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50^หรือ.

ข้อมูลถูกแทนที่:

ข² = (15)² + (25)² - 2_{* * * *}(15)_{* * * *}(25) _{* * * *} เพราะ 50

ข² = (225) + (625) - (750) _{* * * *} 0.6427

ข² = (225) + (625) - (482,025)

ข² = 367,985

b = √367,985

b = 19.18 ม.

เมื่อคุณมีค่าของทั้งสามด้านแล้วให้คำนวณขอบเขตของสามเหลี่ยมนั้น:

P = ด้าน a + ด้าน b + ด้าน c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59.18 ม

ตอนนี้มันเป็นไปได้ที่จะกำหนดพื้นที่โดยใช้สูตรนกกระสา แต่ต้องคำนวณ semiperimeter ก่อน:

sp = P ÷ 2

sp = 59.18 m ÷ 2

sp = 29.59 m.

การวัดด้านข้างและเซมิเพอร์มิเตอร์ถูกแทนที่ด้วยสูตรนกกระสา:

ในที่สุดเมื่อรู้พื้นที่สามารถคำนวณความสูงสัมพัทธ์ทางด้าน c จากสูตรทั่วไปให้ล้างมันคุณต้อง:

พื้นที่ = (ด้านข้าง) _{* * * *} h) ÷ 2

143,63 ม² = (25 ม _{* * * *} h) ÷ 2

h = (2 _{* * * *} 143,63 ม²) ÷ 25 ม

h = 287.3 m² ÷ 25 m

h = 11.5 ม.

การออกกำลังกายที่สาม

ในสามเหลี่ยมด้านไม่มีขอบ ABC ด้าน b มีขนาด 40 ซม., ด้าน c มีขนาด 22 ซม. และในจุดสุดยอด A จะเกิดมุม 90^หรือ. คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้น.

ทางออก

ในกรณีนี้การวัดของทั้งสองด้านของสามเหลี่ยม scalene ABC จะได้รับเช่นเดียวกับมุมที่เกิดขึ้นในจุดสุดยอด A.

ในการกำหนดพื้นที่มันไม่จำเป็นในการคำนวณการวัดของด้าน a เนื่องจากอัตราส่วนตรีโกณมิติผ่านมุมที่ใช้ในการค้นหา.

เนื่องจากทราบมุมตรงข้ามกับความสูงผลิตภัณฑ์จะถูกกำหนดโดยด้านหนึ่งและไซน์ของมุม.

การทดแทนในสูตรของพื้นที่ที่คุณต้อง:

• พื้นที่ = (ด้านข้าง) _{* * * *} h) ÷ 2
• h = c _{* * * *} sen A

พื้นที่ = (b _{* * * *} ค _{* * * *} sen A) ÷ 2

พื้นที่ = (40 ซม _{* * * *} 22 ซม _{* * * *} sen 90) ÷ 2

พื้นที่ = (40 ซม _{* * * *} 22 ซม _{* * * *} 1) ÷ 2

พื้นที่ = 880 ซม² ÷ 2

พื้นที่ = 440 ซม².

การอ้างอิง

1. ÁlvaroRendón, A. R. (2004) การวาดภาพทางเทคนิค: สมุดบันทึกกิจกรรม.
2. Ángel Ruiz, H. B. (2006) รูปทรงเรขาคณิต เทคโนโลยี CR, .
3. Angel, A. R. (2007) พีชคณิตเบื้องต้น การศึกษาของเพียร์สัน,.
4. Baldor, A. (1941) พีชคณิต ฮาวานา: วัฒนธรรม.
5. Barbosa, J. L. (2006) เรขาคณิตแบบยุคลิดแบบแบน รีโอเดจาเนโร,.
6. Coxeter, H. (1971) ความรู้พื้นฐานทางเรขาคณิต เม็กซิโก: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014) เรขาคณิตเบื้องต้นสำหรับนักศึกษา เรียนรู้ Cengage.
8. Harpe, P. d. (2000) หัวข้อในทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิต มหาวิทยาลัยชิคาโกสื่อมวลชน.