คุณสมบัติรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า, คุณสมบัติ, สูตรและพื้นที่

สามเหลี่ยมด้านเท่า มันเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านโดยที่ทุกคนเท่ากัน นั่นคือพวกเขามีมาตรการเดียวกัน สำหรับลักษณะนั้นมันได้รับชื่อของด้านเท่ากันหมด (ด้านเท่ากัน).

สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ถือว่าง่ายที่สุดในรูปทรงเรขาคณิตเพราะมันถูกสร้างขึ้นสามด้านสามมุมและสามจุดยอด ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยมีด้านเท่ากันแสดงว่ามุมทั้งสามนั้นจะเป็นเช่นกัน.

ดัชนี

• 1 ลักษณะของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
  • 1.1 ด้านที่เท่าเทียมกัน
  • 1.2 ส่วนประกอบ
• 2 คุณสมบัติ
  • 2.1 มุมภายใน
  • 2.2 มุมภายนอก
  • 2.3 ผลรวมของด้าน
  • 2.4 ด้านที่เห็นพ้องต้องกัน
  • 2.5 มุมที่สอดคล้องกัน
  • 2.6 ผู้แบ่งส่วนแบ่งค่ามัธยฐานและค่ามัธยฐานเป็นค่าเดียวกัน
  • 2.7 เส้นแบ่งครึ่งและส่วนสูงนั้นเหมือนกัน
  • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter และ circumcenter
• 3 วิธีคำนวณปริมณฑล?
• 4 วิธีการคำนวณความสูง?
• 5 วิธีคำนวณด้านข้าง?
• 6 วิธีคำนวณพื้นที่?
• 7 แบบฝึกหัด
  • 7.1 การออกกำลังกายครั้งแรก
  • 7.2 การออกกำลังกายที่สอง
  • 7.3 การออกกำลังกายที่สาม
• 8 อ้างอิง

ลักษณะของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ด้านเท่ากัน

สามเหลี่ยมด้านเท่านั้นเป็นรูปแบนและปิดซึ่งประกอบด้วยเส้นตรงสามส่วน สามเหลี่ยมถูกจำแนกตามลักษณะของพวกมันสัมพันธ์กับด้านข้างและมุมของพวกมัน ด้านเท่ากันหมดถูกจัดประเภทโดยใช้การวัดด้านข้างของมันเป็นพารามิเตอร์เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เหมือนกันนั่นคือพวกเขาสอดคล้องกัน.

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นกรณีเฉพาะของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเนื่องจากทั้งสองด้านมีความสอดคล้องกัน นั่นคือเหตุผลที่สามเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูปยังมีหน้าจั่ว แต่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วทั้งหมดจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า.

ด้วยวิธีนี้สามเหลี่ยมด้านเท่ามีคุณสมบัติเดียวกันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว.

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถจำแนกได้ตามความกว้างของมุมภายในของพวกมันในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีสามด้านและสามมุมภายในที่มีขนาดเท่ากัน มุมจะคมชัดนั่นคือพวกมันจะน้อยกว่า 90^หรือ.

ส่วนประกอบ

สามเหลี่ยมโดยทั่วไปมีหลายเส้นและหลายจุดที่ประกอบกัน พวกเขาจะใช้ในการคำนวณพื้นที่, ด้าน, มุม, ค่ามัธยฐาน, เส้นแบ่งครึ่ง, ตั้งฉากและความสูง.

• ค่ามัธยฐาน: เป็นเส้นที่ออกจากจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งและถึงจุดยอดตรงข้าม คนกลางทั้งสามเห็นพ้องกัน ณ จุดที่เรียกว่าเซนทรอยด์หรือเซนทรอยด์.
• เส้นแบ่งครึ่ง: เป็นรังสีที่แบ่งมุมของจุดยอดออกเป็นสองมุมที่มีขนาดเท่ากันนั่นคือสาเหตุที่เป็นที่รู้จักกันในชื่อแกนสมมาตร รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีสมมาตรสามแกน.

ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปสามเหลี่ยมครึ่งแบ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งจากจุดยอดของมุมหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งโดยตัดที่จุดกึ่งกลาง ข้อตกลงเหล่านี้ในจุดที่เรียกว่า incentro.

• คนไกล่เกลี่ย: เป็นส่วนที่ตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่มีต้นกำเนิดอยู่ตรงกลางของรูปนี้ มีสาม mediatices ในรูปสามเหลี่ยมและพวกเขาเห็นพ้องกันในจุดที่เรียกว่า circuncentro.
• ความสูง: เป็นเส้นที่ไปจากจุดยอดไปด้านข้างที่อยู่ตรงข้ามและเส้นนี้ตั้งฉากกับด้านนั้น สามเหลี่ยมทุกรูปมีความสูงสามระดับที่ตรงกับจุดที่เรียกว่า orthocenter.

สรรพคุณ

คุณสมบัติหลักของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือว่าพวกเขาจะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเสมอเนื่องจากหน้าจั่วถูกสร้างขึ้นโดยสองฝ่ายสอดคล้องกันและด้านเท่ากันหมดโดยสาม.

ด้วยวิธีนี้สามเหลี่ยมด้านเท่าที่สืบทอดคุณสมบัติทั้งหมดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

มุมภายใน

ผลรวมของมุมภายในเท่ากับ 180 เสมอ^หรือ, และเนื่องจากมุมทั้งหมดของมันมีความสอดคล้องกันดังนั้นแต่ละคนจะวัด 60^หรือ.

มุมภายนอก

ผลรวมของมุมภายนอกจะเท่ากับ 360 เสมอ^หรือ, ดังนั้นมุมภายนอกแต่ละมุมจะวัดได้ 120^หรือ. นี่เป็นเพราะมุมภายในและภายนอกเป็นส่วนเสริมนั่นคือการเพิ่มมุมเหล่านั้นจะเท่ากับ 180 เสมอ^หรือ.

ผลรวมของด้านข้าง

ผลรวมของการวัดของทั้งสองฝ่ายจะต้องสูงกว่าการวัดของด้านที่สามนั่นคือ a + b> c โดยที่ a, b และ c เป็นการวัดของแต่ละด้าน.

ฝ่ายที่เห็นพ้องต้องกัน

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีสามด้านโดยมีขนาดหรือความยาวเท่ากัน นั่นคือพวกเขาสอดคล้องกัน ดังนั้นในรายการก่อนหน้าเรามี a = b = c.

มุมที่สอดคล้องกัน

สามเหลี่ยมด้านเท่านั้นเป็นที่รู้จักกันว่าสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมด้านเท่าเพราะมุมภายในทั้งสามของพวกเขาสอดคล้องกัน นี่เป็นเพราะทุกด้านมีขนาดเท่ากัน.

เส้นแบ่งครึ่งค่ามัธยฐานและค่ามัธยฐานเป็นความบังเอิญ

เส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วน ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าด้านนั้นจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันนั่นคือรูปสามเหลี่ยมจะถูกแบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมด้านขวาสมภาคกัน.

ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งที่ดึงมาจากมุมใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะเกิดขึ้นพร้อมกับค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งของด้านตรงข้ามของมุมนั้น.

ตัวอย่างเช่น:

รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงรูปสามเหลี่ยม ABC ด้วยจุดกึ่งกลาง D ที่แบ่งด้านหนึ่งของมันออกเป็นสองส่วน AD และ BD.

เมื่อคุณวาดเส้นจากจุด D ถึงจุดยอดตรงข้ามโดยคำจำกัดความคุณจะได้รับสื่อกลางซึ่งสัมพันธ์กับจุดยอด C และด้าน AB.

เนื่องจากส่วนของแผ่นซีดีแบ่งสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปซึ่งเท่ากับ CDB และ CDA นั่นหมายความว่าเราจะมีกรณีของความสอดคล้องกัน: ด้านมุมมุมและด้านข้างดังนั้น CD จะเป็นเส้นแบ่งครึ่งของ BCD.

เมื่อวาดเซ็กเมนต์ซีดีให้แบ่งมุมจุดยอดออกเป็นสองมุมเท่ากันที่ 30^หรือ, มุมของจุดยอด A ยังคงวัดได้ 60^หรือ และซีดีแบบตรงจะทำมุม 90^หรือ เกี่ยวกับจุดกึ่งกลาง D.

ซีดีของเซ็กเมนต์จะทำมุมที่มีการวัดแบบเดียวกันสำหรับสามเหลี่ยม ADC และ BDC นั่นคือมันเสริมในลักษณะที่การวัดของแต่ละอันจะเป็น:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^หรือ

2 _{* * * *} Med. (ADC) = 180^หรือ

Med. (ADC) = 180^หรือ ÷ 2

Med. (ADC) = 90^หรือ.

และคุณก็มีส่วนของแผ่นซีดีที่เป็นเส้นแบ่งครึ่งของด้าน AB.

เส้นแบ่งครึ่งและส่วนสูงนั้นเหมือนกัน

เมื่อคุณวาดเส้นแบ่งครึ่งจากจุดยอดของมุมไปยังจุดกึ่งกลางของฝั่งตรงข้ามมันจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปสมภาคกัน.

ในลักษณะที่มีมุม 90 เกิดขึ้น^หรือ (ตรง) นี่เป็นการบ่งบอกว่าส่วนของเส้นตรงนี้ตั้งฉากกับด้านนั้นโดยสิ้นเชิงและโดยนิยามว่าเส้นนั้นจะเป็นความสูง.

ด้วยวิธีนี้เส้นแบ่งครึ่งของมุมใด ๆ ของสามเหลี่ยมด้านเท่าจะเกิดขึ้นพร้อมกับความสูงสัมพัทธ์บนฝั่งตรงข้ามของมุมนั้น.

Orthocenter, barycenter, incenter และ circumcenter

เนื่องจากความสูงมัธยฐาน bisector และ bisector จะถูกแสดงในเวลาเดียวกันโดยส่วนเดียวกันในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจุดนัดพบของส่วนเหล่านี้ - orthocenter, barycenter, incenter และ circumcenter- จะอยู่ในจุดเดียวกัน:

วิธีการคำนวณปริมณฑล?

ปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมคำนวณโดยผลรวมของด้านข้าง เนื่องจากในกรณีนี้สามเหลี่ยมด้านเท่ามีด้านข้างทุกด้านด้วยการวัดเดียวกันปริมณฑลจึงถูกคำนวณด้วยสูตรต่อไปนี้:

P = 3 _{* * * *} ด้าน.

วิธีการคำนวณความสูง?

เนื่องจากความสูงคือเส้นตั้งฉากกับฐานจึงแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันโดยขยายไปถึงจุดยอดตรงกันข้าม ดังนั้นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันที่เท่ากันจึงเกิดขึ้น.

ความสูง (h) หมายถึงฝั่งตรงข้าม (a) ครึ่งหนึ่งของด้าน AC ไปทางด้านข้าง (b) และด้านข้าง BC แสดงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก (c).

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคุณสามารถกำหนดค่าของความสูงได้:

ไปยัง² + ข²= c²

ที่อยู่:

ไปยัง² = ความสูง (h).

ข² = ด้าน b / 2.

ค² = ด้าน.

แทนที่ค่าเหล่านี้ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสและกำจัดความสูงที่เรามี:

ชั่วโมง² + ( ลิตร / 2)² = ล.²

ชั่วโมง² +  ล.²/ 4 = ล.²

ชั่วโมง² = ล.²  -  ล.²/ 4

ชั่วโมง² = (4_{* * * *}ล.² -  ล.²) / 4

ชั่วโมง² =  3_{* * * *}ล.²/4

√ชั่วโมง² = √ (3_{* * * *}ล.²/4)

หากทราบมุมที่เกิดจากด้านที่สอดคล้องกันความสูง (แสดงด้วยขา) สามารถคำนวณได้โดยใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ.

ขาเรียกว่าตรงกันข้ามหรือติดกันขึ้นอยู่กับมุมที่ใช้เป็นข้อมูลอ้างอิง.

ตัวอย่างเช่นในรูปก่อนหน้า cathetus h จะอยู่ตรงข้ามกับมุม C แต่อยู่ติดกับมุม B:

ดังนั้นความสูงสามารถคำนวณได้ด้วย:

วิธีการคำนวณด้านข้าง?

มีหลายกรณีที่ไม่ทราบการวัดด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม แต่ความสูงและมุมที่เกิดขึ้นในจุดยอด.

เพื่อกำหนดพื้นที่ในกรณีเหล่านี้จำเป็นต้องใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ.

เมื่อทราบมุมของจุดยอดใดจุดหนึ่งแล้วจะมีการระบุขาและใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติที่สอดคล้องกัน:

ดังนั้นขา AB จะตรงข้ามกับมุม C แต่อยู่ติดกับมุม A ขึ้นอยู่กับด้านหรือขาที่สอดคล้องกับความสูงด้านอื่น ๆ จะถูกล้างเพื่อรับค่าของสิ่งนี้โดยรู้ว่าในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสาม ด้านข้างจะมีขนาดเท่ากันเสมอ.

วิธีคำนวณพื้นที่?

พื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นคำนวณด้วยสูตรเดียวกันเสมอโดยคูณฐานด้วยความสูงและหารด้วยสอง:

พื้นที่ = (b _{* * * *} h) ÷ 2

ทราบว่าความสูงนั้นได้มาจากสูตร:

การอบรม

การออกกำลังกายครั้งแรก

ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC วัดแต่ละ 20 ซม. คำนวณความสูงและพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนั้น.

ทางออก

ในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่านั้นจำเป็นต้องคำนวณความสูงโดยรู้ว่าเมื่อวาดมันมันจะแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันที่เท่ากัน.

ด้วยวิธีนี้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถนำมาใช้เพื่อค้นหา:

ไปยัง² + ข²= c²

ที่อยู่:

a = 20/2 = 10 ซม.

b = ความสูง.

c = 20 ซม.

ข้อมูลในทฤษฎีถูกแทนที่:

10² + ข² = 20²

100 ซม + ข² = 400 ซม

ข² = (400 - 100) ซม

ข² = 300 ซม

b = √300ซม

b = 17.32 ซม.

นั่นคือความสูงของสามเหลี่ยมเท่ากับ 17.32 ซม. ตอนนี้มันเป็นไปได้ที่จะคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดโดยการแทนที่ในสูตร:

พื้นที่ = (b _{* * * *} h) ÷ 2

พื้นที่ = (20 ซม _{* * * *} 17.32 ซม.) ÷ 2

พื้นที่ = 346,40 cm² ÷ 2

พื้นที่ = 173.20 ซม².

อีกวิธีที่ง่ายกว่าในการแก้แบบฝึกหัดคือการแทนที่ข้อมูลในสูตรโดยตรงของพื้นที่ซึ่งค่าของความสูงนั้นโดยปริยาย:

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

ในดินแดนที่มีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าดอกไม้จะถูกปลูก หากขอบเขตของที่ดินนั้นมีค่า 450 เมตรให้คำนวณจำนวนตารางเมตรที่ดอกไม้ครอบครอง.

ทางออก

เมื่อรู้ว่าขอบเขตของรูปสามเหลี่ยมสอดคล้องกับผลรวมของทั้งสามด้านและเมื่อภูมิประเทศมีรูปร่างของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าด้านสามด้านของรูปสามเหลี่ยมนี้จะมีขนาดหรือความยาวเท่ากัน:

P = ด้านข้าง + ด้าน + ด้าน = 3 _{* * * *} ล.

3 _{* * * *} ล. = 450 เมตร.

l = 450 ม ÷ 3

l = 150 ม.

ตอนนี้จำเป็นต้องคำนวณความสูงของสามเหลี่ยมนั้นเท่านั้น.

ความสูงแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันที่สมภาคกันโดยที่ขาข้างใดข้างหนึ่งแทนความสูงและอีกครึ่งหนึ่งของฐาน ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถกำหนดความสูงได้:

ไปยัง² + ข²= c²

ที่อยู่:

ไปยัง = 150 m ÷ 2 = 75 m.

ค = 150 ม.

ข = ความสูง

ข้อมูลในทฤษฎีถูกแทนที่:

(75 ม.)²+ ข² = (150 เมตร)²

5,625 ม + ข² = 22,500 ม

ข² = 22,500 m - 5,625 m

ข² = 16,875 ม

ข = √16,875 m

ข = 129.90 m.

ดังนั้นพื้นที่ที่จะครอบครองดอกไม้จะเป็น:

พื้นที่ = b * h ÷ 2

พื้นที่ = (150 ม _{* * * *} 129.9 ม.) ÷ 2

พื้นที่ = (19,485 ม.)²) ÷ 2

พื้นที่ = 9,742.5 ม²

การออกกำลังกายที่สาม

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC ถูกหารด้วยส่วนของเส้นตรงที่ไปจากจุดยอด C ถึงจุดกึ่งกลาง D ซึ่งอยู่ตรงข้าม (AB) ส่วนนี้มีขนาด 62 เมตร คำนวณพื้นที่และปริมณฑลของสามเหลี่ยมด้านเท่า.

ทางออก

เมื่อรู้ว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าถูกแบ่งโดยส่วนของเส้นตรงที่สอดคล้องกับความสูงดังนั้นจึงสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันที่สมภาคกันซึ่งจะแบ่งมุมของจุดยอด C ออกเป็นสองมุมด้วยการวัดเดียวกัน 30^หรือ แต่ละคน.

ความสูงเป็นมุม 90^หรือ ด้วยความเคารพต่อเซ็กเมนต์ AB และมุมของจุดยอด A จะวัดได้ 60^หรือ.

จากนั้นใช้อ้างอิงมุม 30^หรือ, ซีดีความสูงถูกสร้างขึ้นเป็นขาที่อยู่ติดกับมุมและ BC เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก.

จากข้อมูลเหล่านี้สามารถหาค่าของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมได้โดยใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ:

ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทุกด้านมีขนาดหรือความยาวเท่ากันนั่นหมายความว่าแต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC นั้นเท่ากับ 71.6 เมตร รู้ว่าเป็นไปได้ที่จะกำหนดพื้นที่ของคุณ:

พื้นที่ = b * h ÷ 2

พื้นที่ = (71.6 ม _{* * * *} 62 m) ÷ 2

พื้นที่ = 4,438.6 ม² ÷ 2

พื้นที่ = 2,219.3 m²

ปริมณฑลจะได้รับจากผลรวมของทั้งสามด้าน:

P = ด้านข้าง + ด้าน + ด้าน = 3 _{* * * *} ล.

P = 3_{* * * *}ล.

P = 3 _{* * * *} 71.6 ม

P = 214.8 ม.

การอ้างอิง

1. ÁlvaroRendón, A. R. (2004) การวาดภาพทางเทคนิค: สมุดบันทึกกิจกรรม.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996) พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การศึกษาของเพียร์สัน.
3. Baldor, A. (1941) พีชคณิต ฮาวานา: วัฒนธรรม.
4. BARBOSA, J. L. (2006) เรขาคณิตแบบยุคลิดแบบแบน SBM รีโอเดจาเนโร, .
5. Coxford, A. (1971) วิธีการแปลงรูปทรงเรขาคณิต สหรัฐอเมริกา: พี่น้องเลดลอว์.
6. Euclid, R. P. (1886) องค์ประกอบของเรขาคณิตของยูคลิด.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006) เรขาคณิตและตรีโกณมิติ.
8. LeónFernández, G. S. (2007) เรขาคณิตแบบบูรณาการ สถาบันเทคโนโลยีนครหลวง.
9. ซัลลิแวน, J. (2006) พีชคณิตและตรีโกณมิติ การศึกษาของเพียร์สัน.