ลักษณะและประเภทของมุมแหลมเฉียบพลัน

สามเหลี่ยมสามเหลี่ยม คือผู้ที่มีมุมภายในสามมุมเป็นมุมแหลม; นั่นคือการวัดมุมแต่ละมุมนั้นน้อยกว่า 90 องศา หากไม่มีมุมที่ถูกต้องเรามีว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่ตรงกับรูปทรงเรขาคณิตนี้.

ดังนั้นหากเราต้องการมีข้อมูลบางประเภทในด้านหรือมุมใด ๆ มันจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีอื่น ๆ ที่ทำให้เราสามารถเข้าถึงข้อมูลดังกล่าวได้ สิ่งที่เราสามารถใช้ได้คือทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีโคไซน์.

ดัชนี

• 1 ลักษณะ
  • 1.1 ทฤษฎีบทของไซน์
  • 1.2 ทฤษฎีโคไซน์
• 2 ประเภท
  • 2.1 สามเหลี่ยมด้านเท่า
  • 2.2 สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
  • 2.3 Scalene triangles triangles
• 3 ความละเอียดของสามเหลี่ยมเฉียบพลัน
  • 3.1 ตัวอย่างที่ 1
  • 3.2 ตัวอย่างที่ 2

คุณสมบัติ

ในลักษณะของรูปทรงเรขาคณิตนี้เราสามารถเน้นสิ่งที่ได้รับจากข้อเท็จจริงง่ายๆของการเป็นรูปสามเหลี่ยม กลุ่มคนเหล่านี้เราต้อง:

- รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านและสามมุม.

- ผลรวมของมุมภายในทั้งสามมีค่าเท่ากับ 180 °.

- ผลรวมของทั้งสองด้านนั้นมากกว่าหนึ่งเสมอ.

ตัวอย่างเช่นลองดู ABC สามเหลี่ยมต่อไปนี้ โดยทั่วไปเราจะระบุด้านข้างของพวกเขาด้วยตัวอักษรตัวเล็กและมุมของพวกเขาด้วยตัวพิมพ์ใหญ่เพื่อให้ด้านหนึ่งและมุมตรงกันข้ามมีตัวอักษรเดียวกัน.

สำหรับลักษณะที่ได้รับเรารู้ว่า:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b และ b + c> a

คุณสมบัติหลักที่แยกความแตกต่างของรูปสามเหลี่ยมชนิดนี้จากส่วนที่เหลือคือมุมภายในของมันนั้นรุนแรง นั่นคือการวัดมุมแต่ละมุมนั้นน้อยกว่า 90 °.

รูปสามเหลี่ยมacutángulosพร้อมกับรูปสามเหลี่ยมobtusángulos (รูปที่มุมหนึ่งมีการวัดมากกว่า 90 °) เป็นส่วนหนึ่งของชุดรูปสามเหลี่ยมเฉียง ชุดนี้ประกอบด้วยสามเหลี่ยมที่ไม่ได้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.

เมื่อสร้างสามเหลี่ยมเอียงเราต้องแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมเฉียบพลันเราต้องใช้ทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีโคไซน์.

ทฤษฎีบทไซน์

ทฤษฎีบททรวงอกระบุว่าอัตราส่วนของด้านหนึ่งที่มีไซน์ของมุมตรงกันข้ามเท่ากับรัศมีของวงกลมที่เกิดขึ้นสองเท่าของจุดยอดสามจุดของสามเหลี่ยมดังกล่าว นั่นคือ:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

ทฤษฎีโคไซน์

ทฤษฎีโคไซน์ทำให้เรามีความเท่าเทียมกันสามตัวนี้สำหรับสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ :

ไปยัง²= b² + ค² -2bc * cos (A)

ข²= a² + ค² -2ac * cos (B)

ค²= a² + ข² -2ab * cos (C)

ทฤษฎีบทเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่ากฎของไซน์และกฎของโคไซน์ตามลำดับ.

คุณสมบัติอื่นที่เราสามารถให้ของสามเหลี่ยมacutángulosก็คือว่าทั้งสองนี้มีค่าเท่ากันถ้าพวกเขาได้พบกับหนึ่งในเกณฑ์ต่อไปนี้

- หากพวกเขามีสามด้านเท่ากัน.

- หากพวกเขามีด้านหนึ่งและสองมุมเท่ากับซึ่งกันและกัน.

- หากพวกเขามีสองด้านและมุมเท่ากัน.

ชนิด

เราสามารถจำแนกพวกมันด้วยสามเหลี่ยมที่อยู่ด้านข้าง สิ่งเหล่านี้สามารถ:

สามเหลี่ยมด้านเท่าสามเหลี่ยมด้านเท่า

พวกมันคือสามเหลี่ยมacutángulosที่มีด้านเท่ากันหมดดังนั้นมุมภายในทั้งหมดของพวกเขาจึงมีค่าเท่ากันซึ่งก็คือ A = B = C = 60 องศา.

ตัวอย่างเช่นลองสามเหลี่ยมต่อไปนี้ซึ่งด้าน a, b และ c มีค่าเท่ากับ 4.

หน้าจั่วสามเหลี่ยมเฉียบพลัน

สามเหลี่ยมเหล่านี้นอกเหนือจากการมีมุมภายในแบบเฉียบพลันแล้วยังมีลักษณะของการมีสองด้านเท่ากันและสามซึ่งโดยทั่วไปจะใช้เป็นฐานแตกต่างกัน.

ตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมประเภทนี้สามารถเป็นหนึ่งได้ซึ่งฐานคือ 3 และอีกสองด้านมีค่า 5 ด้วยมาตรการเหล่านี้จะมีมุมตรงกันข้ามกับด้านเท่ากันโดยมีค่า 72.55 °และมุมตรงข้ามของ ฐานจะเป็น 34.9 °.

มาตราส่วนสามเหลี่ยมacutángulos

นี่คือสามเหลี่ยมที่มีด้านต่างกันสองถึงสอง ดังนั้นมุมทั้งหมดของมันนอกจากจะน้อยกว่า 90 °ก็แตกต่างกันไปสองถึงสอง.

สามเหลี่ยม DEF (ซึ่งการวัดคือ d = 4, e = 5 และ f = 6 และมุมของมันคือ D = 41.41 °, E = 55.79 °และ F = 82.8 °) เป็นตัวอย่างที่ดีของรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ย้วย.

ความละเอียดของรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน

ดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้สำหรับการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมเฉียบพลันการใช้ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์จึงเป็นสิ่งจำเป็น.

ตัวอย่างที่ 1

รับ ABC รูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A = 30 °, B = 70 °และด้าน a = 5 ซม. เราต้องการทราบค่าของมุม C และด้าน b และ c.

สิ่งแรกที่เราทำคือใช้ความจริงที่ว่าผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมคือ 180 °เพื่อให้ได้ค่ามุม C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

เราล้าง C และเราได้ทิ้ง:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

เมื่อเราทราบมุมทั้งสามและด้านหนึ่งแล้วเราสามารถใช้ทฤษฎีบทไซน์เพื่อกำหนดค่าของส่วนที่เหลือ โดยทฤษฎีบทเราต้อง:

a / sin (A) = b / sin (B) และ a / sin (A) = c / (sin (C)

เราเคลียร์ b จากสมการและเราต้อง:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

ตอนนี้เราแค่ต้องคำนวณค่าของ c เราดำเนินการแบบอะนาล็อกเช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้า:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

ดังนั้นเราจึงได้ข้อมูลทั้งหมดของสามเหลี่ยม อย่างที่เราเห็นสามเหลี่ยมนี้ตกอยู่ในหมวดหมู่สามเหลี่ยมสเกลลีน.

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดรูปสามเหลี่ยม DEF ที่มีด้าน d = 4 ซม., e = 5 ซม. และ f = 6 ซม. เราต้องการทราบค่าของมุมของสามเหลี่ยมที่กล่าว.

สำหรับกรณีนี้เราจะใช้กฎของโคไซน์ซึ่งบอกเราว่า:

d²= e² + F² - 2efcos (D)

จากสมการนี้เราสามารถเคลียร์ cos (D) ซึ่งให้ผลลัพธ์กับเรา:

Cos (D) = ((4)² - (5)² -(6)²) / (- 2 * 5 * 6) = 0.75

จากที่นี่เรามีD≈ 41.41 °

ตอนนี้ใช้ทฤษฎีบท senom เรามีสมการต่อไปนี้:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

การล้างบาป (E) เราต้อง:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

จากที่นี่เรามีค่าE≈55.79°

ในที่สุดเมื่อใช้ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมคือ 180 °เรามี F that82.8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997) เรขาคณิต (พิมพ์ซ้ำ) ความคืบหน้า.
2. Leake, D. (2006) สามเหลี่ยม (ภาพประกอบ ed.) Heinemann-เรนทรี.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). plana เรขาคณิตเรขาคณิต
4. รุยซ์, Á., & Barrantes, H. (2006) รูปทรงเรขาคณิต เทคโนโลยี CR.
5. ซัลลิแวน, M. (1997) ตรีโกณมิติและเรขาคณิตวิเคราะห์ การศึกษาของเพียร์สัน.