การสาธิตและตัวอย่างทฤษฎีบททวินาม



ทฤษฎีบททวินาม เป็นสมการที่บอกเราถึงวิธีการพัฒนาการแสดงออกของรูปแบบ (a + b)n สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทวินามไม่มากกว่าผลรวมของสององค์ประกอบเช่น (a + b) นอกจากนี้ยังช่วยให้เรารู้ว่าสำหรับคำที่กำหนดโดยkขn-k สัมประสิทธิ์คืออะไร.

ทฤษฎีบทนี้มีสาเหตุมาจากนักประดิษฐ์นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษเซอร์ไอแซกนิวตัน; แม้กระนั้นพบว่ามีหลายบันทึกระบุว่าในตะวันออกกลางมีอยู่แล้วรู้จักประมาณ 1,000 ปี.

ดัชนี

  • 1 หมายเลข combinatorial
  • 2 การสาธิต
  • 3 ตัวอย่าง
    • 3.1 ข้อมูลประจำตัว 1
    • 3.2 เอกลักษณ์ 2
  • 4 การสาธิตอื่น
    • 4.1 การสาธิตโดยการเหนี่ยวนำ
  • 5 วิทยากร
  • 6 อ้างอิง

หมายเลข Combinatorial

ทฤษฎีบททวินามบอกเราว่า:

ในนิพจน์นี้ a และ b เป็นจำนวนจริงและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ.

ก่อนที่จะให้การสาธิตเรามาดูแนวคิดพื้นฐานที่จำเป็น.

หมายเลข combinatorial หรือชุดของ n ใน k แสดงดังนี้:

แบบฟอร์มนี้แสดงค่าของจำนวนชุดย่อยที่มีองค์ประกอบ k สามารถเลือกได้จากชุดขององค์ประกอบ n นิพจน์พีชคณิตของมันถูกกำหนดโดย:

ลองดูตัวอย่าง: สมมติว่าเรามีกลุ่มเจ็ดลูกซึ่งสองกลุ่มเป็นสีแดงและส่วนที่เหลือเป็นสีน้ำเงิน.

เราต้องการทราบจำนวนวิธีที่เราสามารถสั่งซื้อได้ในแถว วิธีหนึ่งอาจเป็นการวางสีแดงทั้งสองในตำแหน่งที่หนึ่งและสองและลูกบอลที่เหลือในตำแหน่งที่เหลือ.

เช่นเดียวกับกรณีก่อนหน้าเราสามารถให้ลูกบอลสีแดงตำแหน่งแรกและตำแหน่งสุดท้ายตามลำดับและครอบครองลูกบอลสีฟ้า.

ตอนนี้วิธีที่มีประสิทธิภาพในการนับจำนวนวิธีที่เราสามารถสั่งลูกบอลในแถวกำลังใช้ตัวเลข combinatorial เราสามารถเห็นแต่ละตำแหน่งเป็นองค์ประกอบของชุดต่อไปนี้:

ถัดไปมีความจำเป็นต้องเลือกชุดย่อยของสององค์ประกอบซึ่งแต่ละองค์ประกอบเหล่านี้แสดงถึงตำแหน่งที่ลูกบอลสีแดงจะครอบครอง เราสามารถเลือกได้ตามความสัมพันธ์ที่กำหนดโดย:

ด้วยวิธีนี้เรามี 21 วิธีในการจัดเรียงลูกบอลดังกล่าว.

แนวคิดทั่วไปของตัวอย่างนี้จะเป็นประโยชน์อย่างมากในการสาธิตทฤษฎีบททวินาม ลองดูกรณีเฉพาะ: ถ้า n = 4 เรามี (a + b)4, ซึ่งไม่มีอะไรมากไปกว่า:

เมื่อเราพัฒนาผลิตภัณฑ์นี้เรามีผลรวมของเงื่อนไขที่ได้รับโดยการคูณองค์ประกอบของแต่ละปัจจัยทั้งสี่ (a + b) ดังนั้นเราจะมีข้อกำหนดที่จะอยู่ในรูปแบบ:

ถ้าเราต้องการรับแบบฟอร์ม4, เพียงแค่คูณด้วยวิธีต่อไปนี้:

โปรดทราบว่ามีเพียงวิธีเดียวที่จะได้รับองค์ประกอบนี้ แต่เกิดอะไรขึ้นถ้าเรามองหาเทอมของแบบฟอร์ม2ข2? เนื่องจาก "a" และ "b" เป็นจำนวนจริงและดังนั้นกฎหมายการแลกเปลี่ยนจึงมีผลบังคับใช้เราจึงมีวิธีที่จะได้รับเทอมนี้คือการคูณกับสมาชิกตามที่ลูกศรระบุ.

การดำเนินการทั้งหมดเหล่านี้มักจะค่อนข้างน่าเบื่อ แต่ถ้าเราเห็นคำว่า "a" เป็นชุดค่าผสมที่เราต้องการทราบจำนวนวิธีที่เราสามารถเลือกสอง "a" จากชุดของสี่ปัจจัยเราสามารถใช้แนวคิดของตัวอย่างก่อนหน้านี้ ดังนั้นเรามีดังต่อไปนี้:

ดังนั้นเรารู้ว่าในการพัฒนาขั้นสุดท้ายของการแสดงออก (a + b)4 เราจะมี 6a อย่างแน่นอน2ข2. การใช้แนวคิดเดียวกันกับองค์ประกอบอื่น ๆ คุณต้อง:

จากนั้นเราเพิ่มการแสดงออกที่ได้รับก่อนหน้านี้และเราต้อง:

มันเป็นการสาธิตอย่างเป็นทางการสำหรับกรณีทั่วไปที่ "n" เป็นจำนวนธรรมชาติ.

แสดง

โปรดทราบว่าข้อกำหนดที่ยังคงอยู่เมื่อมีการพัฒนา (a + b)n เป็นรูปแบบที่จะkขn-k, โดยที่ k = 0,1, ... , n การใช้แนวคิดของตัวอย่างก่อนหน้านี้เรามีวิธีเลือก "k" ตัวแปร "a" จากปัจจัย "n" คือ:

ด้วยการเลือกด้วยวิธีนี้เราจะเลือกตัวแปร n-k โดยอัตโนมัติ "b" จากนี้มันตามมาว่า:

ตัวอย่าง

พิจารณา (a + b)5, สิ่งที่จะเป็นการพัฒนา?

โดยทฤษฎีบททวินามเราต้อง:

ทฤษฎีบททวินามมีประโยชน์มากถ้าเรามีนิพจน์ที่เราต้องการทราบว่าสัมประสิทธิ์ของคำเฉพาะคืออะไรโดยไม่ต้องทำการพัฒนาอย่างเต็มรูปแบบ ตัวอย่างเราสามารถนำคำถามต่อไปนี้: สัมประสิทธิ์ของ x คืออะไร7และ9 ในการพัฒนา (x + y)16?

โดยทฤษฎีบททวินามเรามีสัมประสิทธิ์คือ

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ: สัมประสิทธิ์ของ x คืออะไร5และ8 ในการพัฒนา (3x-7y)13?

ก่อนอื่นเราเขียนการแสดงออกใหม่ในวิธีที่สะดวก; นี่คือ:

จากนั้นใช้ทฤษฎีบททวินามเรามีค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือเมื่อเรามี k = 5

อีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้ทฤษฎีบทนี้คือการแสดงให้เห็นถึงอัตลักษณ์ทั่วไปบางประการเช่นที่กล่าวถึงด้านล่าง.

เอกลักษณ์ 1

หาก "n" เป็นจำนวนธรรมชาติเราต้อง:

สำหรับการสาธิตเราใช้ทฤษฎีบททวินามซึ่งทั้ง "a" และ "b" รับค่า 1 แล้วเรามี:

ด้วยวิธีนี้เราได้พิสูจน์ตัวตนแรก.

เอกลักษณ์ 2

ถ้า "n" เป็นจำนวนธรรมชาติแล้ว

โดยทฤษฎีบททวินามเราต้อง:

การสาธิตอื่น

เราสามารถทำการสาธิตที่แตกต่างกันสำหรับทฤษฎีบททวินามโดยใช้วิธีการอุปนัยและเอกลักษณ์ปาสกาลซึ่งบอกเราว่าถ้า "n" และ "k" เป็นจำนวนเต็มบวกที่พบ n ≥ k แล้ว:

การสาธิตโดยอุปนัย

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าฐานอุปนัยเป็นจริง ถ้า n = 1 เราต้อง:

แน่นอนเราเห็นว่าเป็นจริง ตอนนี้ให้ n = j เป็นจริง:

เราต้องการที่จะเห็นว่าสำหรับ n = j + 1 เป็นจริงที่:

ดังนั้นเราต้อง:

โดยสมมติฐานเรารู้ว่า:

จากนั้นใช้คุณสมบัติการกระจาย:

ต่อจากนั้นพัฒนาแต่ละข้อสรุปที่เรามี:

ตอนนี้ถ้าเรารวมกลุ่มกันอย่างสะดวกเราต้อง:

ด้วยการใช้เอกลักษณ์ของปาสกาลเราต้อง:

ในที่สุดโปรดทราบว่า:

ดังนั้นเราจะเห็นว่าทฤษฎีบททวินามเป็นจริงสำหรับ "n" ทั้งหมดที่เป็นของจำนวนธรรมชาติและด้วยการทดสอบนี้จะสิ้นสุด.

วิทยากร

หมายเลข combinatorial (nk) เรียกอีกอย่างว่าสัมประสิทธิ์ทวินามเนื่องจากเป็นสัมประสิทธิ์ที่แม่นยำที่ปรากฏในการพัฒนาของทวินาม (a + b)n.

Isaac Newton ให้ภาพรวมของทฤษฎีบทนี้สำหรับกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง ทฤษฎีนี้เรียกว่าทฤษฎีบททวินามของนิวตัน.

ในสมัยโบราณผลลัพธ์นี้เป็นที่ทราบกันดีว่าในกรณีใด n = 2 กรณีนี้ถูกกล่าวถึงใน องค์ประกอบ ของยูคลิด.

การอ้างอิง

  1. Johnsonbaugh Richard คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง PHH
  2. Kenneth.H Rosen. คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Seymour Lipschutz Ph.D และ Marc Lipson คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง McGraw-Hill.
  4. Ralph P. Grimaldi คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการผสมผสาน Addison-Wesley Iberoamericana
  5. Verde Star Luis ... คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและ Combinatoria.Anropos