ตัวอย่างทฤษฎีบทของ Varignon และแบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไข

ทฤษฎีบท Varignon กำหนดว่าถ้าในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนใด ๆ มีจุดเชื่อมต่อกับด้านข้างอย่างต่อเนื่องเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกสร้างขึ้น ทฤษฎีบทนี้จัดทำขึ้นโดย Pierre Varignon และตีพิมพ์ในปี 1731 ในหนังสือ องค์ประกอบของคณิตศาสตร์".

การตีพิมพ์ของหนังสือเล่มนี้เกิดขึ้นหลายปีหลังจากการตายของเขา ตั้งแต่ Varignon เป็นผู้ที่นำเสนอทฤษฎีบทนี้สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกตั้งชื่อตามเขา ทฤษฎีบทนี้ตั้งอยู่บนเรขาคณิตแบบยุคลิดและนำเสนอความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน.

ดัชนี

• 1 ทฤษฎีบท Varignon คืออะไร??
• 2 ตัวอย่าง
  • 2.1 ตัวอย่างแรก
  • 2.2 ตัวอย่างที่สอง
• 3 แบบฝึกหัดได้รับการแก้ไข
  • 3.1 การออกกำลังกาย 1
  • 3.2 การออกกำลังกาย 2
  • 3.3 การออกกำลังกาย 3
• 4 อ้างอิง

ทฤษฎีบทของ Varignon คืออะไร??

Varignon อ้างว่ารูปที่กำหนดโดยจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมจะส่งผลให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอและบริเวณนี้จะเป็นพื้นที่ครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมถ้ามันแบนและนูน ตัวอย่างเช่น

ในรูปที่เราสามารถเห็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกับพื้นที่ X ซึ่งจุดกึ่งกลางของด้านข้างจะถูกแทนด้วย E, F, G และ H และเมื่อพวกเขาเข้าร่วมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นและครึ่งหนึ่งของนี้สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจึงสามารถกำหนดขอบเขตของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นได้.

ดังนั้นปริมณฑลจึงเท่ากับผลรวมของความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสามเหลี่ยม; นี่เป็นเพราะค่ามัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมจะเป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ในทางตรงกันข้ามถ้าความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ตัวอย่างเช่น

จากรูปจะเห็นได้ว่าเมื่อรวมจุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะได้รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ในทางตรงกันข้ามถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกันรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.

สี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีเส้นทแยงมุมที่มีความยาวเท่ากันและยังตั้งฉาก.

ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียง แต่ทำให้สมกับเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสเรียบง่ายเท่านั้น แต่ยังถูกนำไปใช้ในเรขาคณิตเชิงพื้นที่หรือในมิติขนาดใหญ่ นั่นคือในรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่นูน ตัวอย่างของสิ่งนี้สามารถเป็นรูปแปดด้านโดยที่จุดกึ่งกลางเป็นเซนทรอยด์ของแต่ละหน้าและสร้างเป็นรูปคู่ขนาน.

ด้วยวิธีนี้โดยการเข้าร่วมจุดกึ่งกลางของตัวเลขที่แตกต่างกันสามารถรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน วิธีง่ายๆในการตรวจสอบว่าสิ่งนี้เป็นจริงจริง ๆ หรือไม่ว่าด้านตรงข้ามต้องขนานกันเมื่อขยายออก.

ตัวอย่าง

ตัวอย่างแรก

การยืดด้านตรงข้ามเพื่อแสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

ตัวอย่างที่สอง

โดยการเข้าร่วมจุดกึ่งกลางของเพชรเราจะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ทฤษฎีบทนี้ใช้ในการรวมกันของจุดที่อยู่ตรงกลางด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมและยังสามารถใช้สำหรับจุดประเภทอื่น ๆ เช่นใน trisection, penta-section หรือจำนวนนับไม่ถ้วน ( nth) เพื่อแบ่งด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนออกเป็นส่วน ๆ.

การออกกำลังกายที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

เรามีรูป ABCD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในพื้นที่ Z ซึ่งจุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปนี้คือ PQSR ตรวจสอบว่าเกิดสี่เหลี่ยมด้านขนานของ Varignon.

ทางออก

มันสามารถตรวจสอบได้ว่าเมื่อเข้าร่วมคะแนน PQSR สี่เหลี่ยมด้านขนานของ Varignon จะเกิดขึ้นอย่างแม่นยำเพราะในคำสั่งที่จุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ.

เพื่อแสดงสิ่งนี้จุดกึ่งกลางของ PQSR นั้นถูกรวมเข้าด้วยกันดังนั้นจึงสามารถเห็นได้ว่าเกิดรูปสี่เหลี่ยมอีกรูปแบบหนึ่ง เพื่อแสดงว่ามันเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคุณเพียงแค่ต้องวาดเส้นตรงจากจุด C ถึงจุด A ดังนั้นคุณจะเห็นว่า CA นั้นขนานกับ PQ และ RS.

ในทำนองเดียวกันเมื่อขยายด้าน PQRS จะสามารถสังเกตได้ว่า PQ และ RS ขนานกันดังที่แสดงในภาพต่อไปนี้:

แบบฝึกหัดที่ 2

มันมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ความยาวของทุกด้านเท่ากัน เมื่อเข้าร่วมจุดกึ่งกลางของด้านเหล่านี้รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD ถูกสร้างขึ้นซึ่งจะถูกแบ่งออกเป็นสองเส้นทแยงมุม AC = 7 ซม. และ BD = 10 ซม. ซึ่งตรงกับการวัดด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กำหนดพื้นที่เพชรและสี่เหลี่ยมผืนผ้า.

ทางออก

โปรดจำไว้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดขึ้นนั้นเป็นครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคุณสามารถกำหนดพื้นที่ของคนเหล่านี้ที่รู้ว่าการวัดเส้นทแยงมุมตรงกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นคุณต้อง:

AB = D

ซีดี = d

_{สี่เหลี่ยมผืนผ้า} = (AB _{* * * *} CD) = (10 ซม _{* * * *} 7 ซม.) = 70 ซม²

_{รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน} = A _{สี่เหลี่ยมผืนผ้า} / 2

_{รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน} = 70 ซม² / 2 = 35 ซม²

แบบฝึกหัด 3

เรามีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีการรวมกันของคะแนน EFGH, ความยาวของส่วนจะได้รับ ตรวจสอบว่าสหภาพของ EFGH เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

FC = 3.94 HA = 2.77

ทางออก

เมื่อพิจารณาความยาวของเซกเมนต์คุณสามารถตรวจสอบว่ามีสัดส่วนระหว่างเซ็กเมนต์หรือไม่ นั่นคือเราสามารถทราบได้ว่าสิ่งเหล่านี้ขนานกันหรือไม่เกี่ยวข้องกับส่วนต่างๆของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในวิธีต่อไปนี้:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

จากนั้นสัดส่วนจะถูกตรวจสอบตั้งแต่:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

ในทำนองเดียวกันเมื่อทำการพล็อตเส้นจากจุด B ไปยังจุด D เราจะเห็นว่า EH ขนานกับ BD เหมือนกับ BD ที่ขนานกับ FG ในทางตรงกันข้าม EF นั้นขนานกับ GH.

ด้วยวิธีนี้จะสามารถกำหนดได้ว่า EFGH เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะด้านตรงข้ามขนานกัน.

การอ้างอิง

1. Andres, T. (2010). คณิตศาสตร์โอลิมปิก Tresure สปริงเกอร์. นิวยอร์ก.
2. Barbosa, J. L. (2006). เรขาคณิตแบบยุคลิดแบบแบน SBM. รีโอเดจาเนโร.
3. Howar, E. (1969). การศึกษารูปทรงเรขาคณิต. เม็กซิโก: สเปน - อเมริกา.
4. Ramo, G. P. (1998). วิธีแก้ปัญหาที่ไม่รู้จักกับปัญหาของแฟร์มาต์ - Torricelli. ไอ - ทำงานอิสระ.
5. Vera, F. (1943). องค์ประกอบของเรขาคณิต. โบโกตา.
6. Villiers, M. (1996). การผจญภัยในเรขาคณิตแบบยุคลิด. แอฟริกาใต้.