ทฤษฎีบทของ Thales of Miletus แรกสองและตัวอย่าง

ครั้งแรกและครั้งที่สอง ทฤษฏีของ Thales of Miletus พวกเขาจะขึ้นอยู่กับการกำหนดรูปสามเหลี่ยมจากคนอื่นที่คล้ายกัน (ทฤษฎีบทแรก) หรือเส้นรอบวง (ทฤษฎีบทที่สอง) พวกมันมีประโยชน์มากในด้านต่าง ๆ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทแรกพิสูจน์ได้ว่ามีประโยชน์มากสำหรับการวัดโครงสร้างขนาดใหญ่เมื่อไม่มีเครื่องมือวัดที่มีความซับซ้อน.

Thales of Miletus เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ให้การสนับสนุนเรขาคณิตอย่างดีซึ่งทฤษฎีทั้งสองนี้โดดเด่น (ในบางตำราพวกเขาเขียนมันเป็น Thales) และการใช้งานที่เป็นประโยชน์ ผลลัพธ์เหล่านี้ถูกนำมาใช้ตลอดประวัติศาสตร์และอนุญาตให้แก้ไขปัญหาทางเรขาคณิตที่หลากหลาย.

ดัชนี

• 1 ทฤษฎีบทแรกของนิทาน
  • 1.1 แอปพลิเคชัน
  • 1.2 ตัวอย่าง
• 2 ทฤษฎีบทที่สองของนิทาน
  • 2.1 แอปพลิเคชัน
  • 2.2 ตัวอย่าง
• 3 อ้างอิง

ทฤษฎีบทแรกของนิทาน

ทฤษฎีบทแรกของ Tales เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากซึ่งช่วยให้สามารถสร้างสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอีกรูปแบบหนึ่งซึ่งเป็นที่รู้จักกันก่อนหน้านี้ จากที่นี่ได้รับทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่สามารถนำไปใช้ในหลายบริบทได้.

ก่อนที่จะให้ถ้อยคำของคุณจำความคิดบางอย่างที่มีความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม โดยพื้นฐานแล้วสามเหลี่ยมสองรูปนั้นคล้ายกันหากมุมของพวกมันสมภาคกัน (มีขนาดเท่ากัน) สิ่งนี้ก่อให้เกิดความจริงที่ว่าถ้าสามเหลี่ยมสองรูปมีความคล้ายคลึงกันด้านที่สอดคล้องกัน.

ทฤษฎีบทแรกของ Thales ระบุว่าหากในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้มีเส้นตรงลากขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมใหม่ที่ได้รับจะคล้ายกับสามเหลี่ยมเริ่มต้น.

คุณยังได้รับความสัมพันธ์ระหว่างมุมที่เกิดขึ้นดังที่เห็นในรูปต่อไปนี้.

ใบสมัคร

ในการใช้งานมากมายไฮไลท์ที่น่าสนใจโดยเฉพาะและจะทำอย่างไรกับหนึ่งในวิธีการที่วัดของโครงสร้างขนาดใหญ่ที่ถูกสร้างขึ้นในสมัยโบราณเวลาที่เขาอาศัยอยู่นิทานและสถานที่ที่ไม่นับในอุปกรณ์ตรวจวัดที่ทันสมัย มีตอนนี้.

ว่ากันว่านี่เป็นวิธีที่ Thales สามารถวัดพีระมิดที่สูงที่สุดในอียิปต์ได้ สำหรับเรื่องนี้วส์ควรที่การสะท้อนของรังสีดวงอาทิตย์แตะพื้นดินเป็นเส้นขนาน ภายใต้สมมติฐานนี้เขาติดคันหรืออ้อยลงในแนวตั้ง.

จากนั้นเขาก็ใช้ความคล้ายคลึงกันของทั้งสองรูปสามเหลี่ยมส่งผลอย่างใดอย่างหนึ่งที่เกิดขึ้นจากความยาวของเงาของปิรามิด (ซึ่งสามารถคำนวณได้ง่าย) และความสูงของปิรามิด (ไม่ทราบ) และอื่น ๆ ที่เกิดขึ้นจากความยาวของร่ม และความสูงของคัน (ซึ่งยังสามารถคำนวณได้ง่าย).

โดยใช้สัดส่วนระหว่างความยาวเหล่านี้คุณสามารถล้างและรู้ความสูงของปิรามิดได้.

แม้ว่าวิธีการวัดนี้จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างมีนัยสำคัญในการประมาณด้วยความแม่นยำของความสูงและขึ้นอยู่กับการขนานของรังสีของดวงอาทิตย์ (ซึ่งขึ้นอยู่กับเวลาที่แม่นยำ) เราต้องตระหนักว่า และนั่นเป็นทางเลือกการวัดที่ดีสำหรับเวลา.

ตัวอย่าง

ค้นหาค่าของ x ในแต่ละกรณี:

ทางออก

ที่นี่เรามีสองเส้นตัดโดยสองขนาน โดยทฤษฎีบทแรกของ Thales มีหนึ่งด้านที่เกี่ยวข้องเป็นสัดส่วน โดยเฉพาะ:

ทางออก

ที่นี่เรามีสามเหลี่ยมสองรูปหนึ่งอันนี้เกิดขึ้นจากส่วนที่ขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของอีกด้านหนึ่ง (แม่นยำด้านยาว x) ตามทฤษฎีบทแรกของ Tales คุณต้อง:

ทฤษฎีบทที่สองของนิทาน

ทฤษฎีบทที่สองของ Thales กำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากที่ถูกจารึกไว้กับเส้นรอบวงในแต่ละจุดที่เหมือนกัน.

รูปสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ที่เส้นรอบวงคือรูปสามเหลี่ยมที่จุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงจึงบรรจุอยู่ในสิ่งนี้.

โดยเฉพาะทฤษฎีบทที่สองของ Thales ระบุดังต่อไปนี้: ให้วงกลมศูนย์กลาง O และเส้นผ่านศูนย์กลาง AC แต่ละจุด B ของเส้นรอบวง (นอกเหนือจาก A และ C) กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ทางขวาด้วยมุมฉาก

โดยวิธีการให้เหตุผลโปรดทราบว่าทั้ง OA และ OB และ OC สอดคล้องกับรัศมีของเส้นรอบวง ดังนั้นการวัดของพวกเขาเหมือนกัน จากนั้นจะได้ว่าสามเหลี่ยม OAB และ OCB เป็นหน้าจั่วที่ไหน

เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ180º ใช้สิ่งนี้กับ ABC รูปสามเหลี่ยมคุณต้อง:

2b + 2a = 180º.

เรามี b + a = 90ºและ b + a =

โปรดสังเกตว่าสามเหลี่ยมมุมฉากที่จัดทำโดยทฤษฎีบทที่สองของ Thales นั้นแม่นยำซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับเส้นผ่าศูนย์กลางของเส้นรอบวง ดังนั้นจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยครึ่งวงกลมที่มีจุดของรูปสามเหลี่ยม; ในกรณีนี้ครึ่งวงกลมบน.

โปรดสังเกตว่าในสามเหลี่ยมมุมฉากที่ได้จากทฤษฏีบทที่สองของ Thales, ด้านตรงข้ามมุมฉากแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่ากันโดย OA และ OC (รัศมี) ในทางกลับกันการวัดนี้จะเท่ากับส่วน OB (เช่นรัศมี) ซึ่งสอดคล้องกับค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC โดย B.

กล่าวอีกนัยหนึ่งความยาวของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่ตรงกับจุดยอด B นั้นถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก จงจำไว้ว่าค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดกึ่งกลางของฝั่งตรงข้าม; ในกรณีนี้ส่วน BO.

เส้นรอบวงรอบ

อีกวิธีในการดูทฤษฏีบทที่สองของ Thales คือผ่านวงกลมที่ล้อมรอบไปยังสามเหลี่ยมมุมฉาก.

โดยทั่วไปวงกลมที่ถูกล้อมรอบไปยังรูปหลายเหลี่ยมนั้นประกอบด้วยเส้นรอบวงที่ผ่านจุดยอดแต่ละจุดเมื่อใดก็ตามที่สามารถติดตามได้.

ฉันใช้ทฤษฎีบทที่สองดังกล่าวได้รับสิทธิเป็นรูปสามเหลี่ยมเรามักจะสามารถสร้าง circumcircle ไปนี้รัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉากและวงล้อม (กลางของวงกลม) เป็นจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

ใบสมัคร

แอปพลิเคชันที่สำคัญมากของทฤษฎีบทที่สองของนิทานและบางทีที่ใช้มากที่สุดคือการหาเส้นสัมผัสกับเส้นรอบวงที่กำหนดโดยจุด P ภายนอก (รู้จัก).

โปรดทราบว่าได้รับเส้นรอบวง (วาดในสีฟ้าในรูปด้านล่าง) และจุดเชื่อมต่อนอก P มีสองเสียบ้างจะผ่านรอบผ่านพีฌอน T และ T 'จุดของวงที่ r รัศมีของวงกลมและ หรือศูนย์.

เป็นที่รู้กันว่าส่วนที่เปลี่ยนจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังจุดสัมผัสของมันจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสนี้ จากนั้นมุม OTP จะตรง.

จากสิ่งที่เราเห็นก่อนหน้านี้ในทฤษฎีบทแรกของ Thales และเวอร์ชันที่แตกต่างกันเราจะเห็นว่าเป็นไปได้ที่จะจารึกสามเหลี่ยม OTP ในขอบเขตอื่น.

สามารถรับรูปสามเหลี่ยม OT'P แบบอะนาล็อกได้ภายในเส้นรอบวงก่อนหน้าเดียวกัน.

สำหรับทฤษฎีบทนอกจากสองดังกล่าวเราได้รับเส้นผ่าศูนย์กลางวงกลมใหม่เป็นอย่างแม่นยำตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม OTP (ซึ่งเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม OT'P น) และศูนย์เป็นจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

ในการคำนวณจุดกึ่งกลางของเส้นรอบวงใหม่ก็เพียงพอแล้วที่จะคำนวณจุดกึ่งกลางระหว่างจุดกึ่งกลาง - พูด M - ของเส้นรอบวงเริ่มต้น (ซึ่งเราทราบแล้ว) และจุด P (ซึ่งเรารู้ด้วย) จากนั้นรัศมีจะเป็นระยะทางระหว่างจุดนี้ M และ P.

ด้วยรัศมีและศูนย์กลางของวงกลมสีแดงเราสามารถหาสมการคาร์ทีเซียนซึ่งเราจำได้ว่าได้รับจาก (x-h)² + (Y-k)² = c², โดยที่ c คือรัศมีและจุด (h, k) คือศูนย์กลางของวงกลม.

เมื่อรู้สมการของเส้นรอบวงทั้งสองแล้วเราสามารถตัดกันมันด้วยการแก้ระบบสมการที่เกิดขึ้นจากสิ่งเหล่านี้และได้รับคะแนนแทนเจนต์ T และ T ' ในที่สุดเมื่อต้องการทราบเส้นสัมผัสที่ต้องการมันก็เพียงพอที่จะหาสมการของเส้นตรงที่ผ่าน T และ P และโดย T 'และ P.

ตัวอย่าง

พิจารณาเส้นรอบวงของเส้นผ่าศูนย์กลาง AC, ศูนย์กลาง O และรัศมี 1 ซม. ให้ B เป็นจุดบนเส้นรอบวงเช่นนั้น AB = AC AB วัดได้เท่าไหร่?

ทางออก

ตามทฤษฎีบทที่สองของ Thales เรามีว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและด้านตรงข้ามมุมฉากตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งในกรณีนี้มีขนาด 2 ซม. (รัศมีคือ 1 ซม.) จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราต้อง:

การอ้างอิง

1. Ana Lira, P. J. (2006). เรขาคณิตและตรีโกณมิติ. Zapopan, Jalisco: รุ่นเกณฑ์.
2. สามี, A. , & Hirsch, L. (1996). พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
3. Gutiérrez, Á. Á (2004). วิธีการและการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ในสหรัฐอเมริกา. กระทรวงศึกษาธิการ.
4. Iger (2014). ภาคเรียนที่สองคณิตศาสตร์ Zaculeu. กัวเตมาลา: IGER.
5. JoséJiménez, L. J. (2006). คณิตศาสตร์ 2. Zapopan, Jalisco: รุ่นเกณฑ์.
6. M. , S. (1997). ตรีโกณมิติและเรขาคณิตวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
7. Pérez, M. A. (2009). ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์: ความท้าทายและชัยชนะผ่านตัวละครของพวกเขา. หนังสือวิสัยทัศน์บรรณาธิการ.
8. Viloria, N. , & Leal, J. (2005). เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์แบบแบน. กองบรรณาธิการเวเนซุเอลา C. A.