ทฤษฎีบทของ Moivre เกี่ยวกับสิ่งที่ประกอบด้วยการสาธิตและแบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไข

ทฤษฎีบทของ Moivre ใช้กระบวนการพื้นฐานของพีชคณิตเช่นพลังและการแยกรากในจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีบทนี้ได้รับการประกาศโดยนักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวฝรั่งเศสชื่อ Abraham de Moivre (1730) ซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนกับตรีโกณมิติ.

Abraham Moivre สร้างความสัมพันธ์นี้ผ่านการแสดงออกของเต้านมและโคไซน์ นักคณิตศาสตร์คนนี้ได้สร้างสูตรขึ้นมาซึ่งมีความเป็นไปได้ที่จะเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน z เป็นกำลัง n ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกมากกว่าหรือเท่ากับ 1.

ดัชนี

• 1 ทฤษฎีบทของ Moivre คืออะไร??
• 2 การสาธิต
  • 2.1 ฐานอุปนัย
  • 2.2 สมมติฐานอุปนัย
  • 2.3 การตรวจสอบ
  • 2.4 จำนวนเต็มลบ
• 3 แบบฝึกหัดได้รับการแก้ไข
  • 3.1 การคำนวณพลังบวก
  • 3.2 การคำนวณพลังเชิงลบ
• 4 อ้างอิง

ทฤษฎีบท Moivre คืออะไร?

ทฤษฎีบทของ Moivre กล่าวดังนี้:

หากคุณมีจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบขั้ว z = r_ɵ, เมื่อ r คือโมดุลของจำนวนเชิงซ้อน z และมุมƟเรียกว่าแอมพลิจูดหรืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่มี 0 ≤Ɵ≤2πเพื่อคำนวณพลังงานที่ n มันไม่จำเป็นต้องคูณด้วยตัวมันเอง n-times; นั่นคือไม่จำเป็นต้องสร้างผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

Zⁿ = z _{* * * *} Z _{* * * *} Z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} R_{Ɵ *} R_{Ɵ * ... *} R_ɵ   n ครั้ง.

ในทางตรงกันข้ามทฤษฎีบทบอกว่าเมื่อเขียน z ในรูปตรีโกณมิติเพื่อคำนวณกำลังที่ n เราจะดำเนินการดังนี้:

ถ้า z = r (cos Ɵ + i _{* * * *} บาปƟ) จากนั้น zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _{* * * *} บาป n * Ɵ).

ตัวอย่างเช่นถ้า n = 2 แล้ว z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] หากคุณมี n = 3 ให้เลือก z³ = z² _{* * * *} Z นอกจากนี้:

Z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _{* * * *} r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

ด้วยวิธีนี้อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์และโคไซน์สามารถหาได้จากการคูณของมุมตราบใดที่อัตราส่วนของตรีโกณมิติของมุมนั้นเป็นที่รู้จัก.

ในทำนองเดียวกันมันสามารถใช้เพื่อค้นหานิพจน์ที่แม่นยำและสับสนน้อยกว่าสำหรับรูท n ของจำนวนเชิงซ้อน z ดังนั้น zⁿ = 1.

เพื่อแสดงให้เห็นถึงทฤษฎีบทของ Moivre หลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้: ถ้าจำนวนเต็ม "a" มีคุณสมบัติ "P" และถ้าจำนวนเต็ม "n" มากกว่า "a" ที่มีคุณสมบัติ "P" คือ ทำให้มั่นใจว่า n + 1 มีคุณสมบัติ "P" แล้วจำนวนเต็มทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ "a" มีคุณสมบัติ "P".

แสดง

ด้วยวิธีนี้การพิสูจน์ทฤษฎีบทจะทำด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

ฐานอุปนัย

ตรวจสอบครั้งแรกสำหรับ n = 1.

ชอบ z¹ = (r (เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ))¹ = r¹ (เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ)¹ = r¹ [cos (1)_{* * * *} Ɵ) + i _{* * * *} เซน (1_{* * * *} Ɵ)] เรามีสิ่งนั้นสำหรับ n = 1 ทฤษฎีบทได้ถูกทำให้สำเร็จ.

สมมติฐานอุปนัย

มันจะสันนิษฐานว่าสูตรนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกนั่นคือ n = k.

Z^k = (r (เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _{* * * *} sen k Ɵ).

การทดสอบ

มันพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับ n = k + 1.

ชอบ z^{k + 1}= z^k _{* * * *} z จากนั้น z^{k + 1} = (r (เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _{* * * *} เซนkƟ) _{* * * *}  r (เพราะƟ + i_{* * * *} senƟ).

จากนั้นการแสดงออกคูณ:

Z^{k + 1} = r^{k + 1}((เพราะkƟ)_{* * * *}(cosƟ) + (cos kƟ)_{* * * *}(i_{* * * *}senƟ) + (i _{* * * *} เซนkƟ)_{* * * *}(cosƟ) + (i _{* * * *} เซนkƟ)_{* * * *}(i_{* * * *} senƟ)).

เดี๋ยวจะคำนึงถึงปัจจัย r^{k + 1},  และปัจจัยทั่วไปฉันถูกลบ:

(cos kƟ)_{* * * *}(cosƟ) + i (cos kƟ)_{* * * *}(sinƟ) + i (sen kƟ)_{* * * *}(cosƟ) + i²(sen kƟ)_{* * * *}(SenƟ).

ฉันเป็นอย่างไร² = -1 เราแทนที่มันในนิพจน์และเราได้:

(cos kƟ)_{* * * *}(cosƟ) + i (cos kƟ)_{* * * *}(sinƟ) + i (sen kƟ)_{* * * *}(cosƟ) - (sen kƟ)_{* * * *}(SenƟ).

ตอนนี้ส่วนที่แท้จริงและจินตภาพได้รับคำสั่ง:

(cos kƟ)_{* * * *}(cosƟ) - (sen kƟ)_{* * * *}(sinƟ) + i [(sen kƟ)_{* * * *}(cosƟ) + (cos kƟ)_{* * * *}(SenƟ)].

เพื่อให้การแสดงออกง่ายขึ้นอัตลักษณ์ตรีโกณมิติของผลรวมของมุมสำหรับโคไซน์และไซน์ถูกนำไปใช้ซึ่ง ได้แก่ :

cos (A + B) = cos A _{* * * *} cos B - sen A _{* * * *} เสนข.

sen (A + B) = sin A _{* * * *} cos B - cos A _{* * * *} เพราะข.

ในกรณีนี้ตัวแปรคือมุมƟและkƟ การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติเรามี:

เพราะ _{* * * *} cosƟ -  เซนkƟ _{* * * *} senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

เซนkƟ _{* * * *} cosƟ + cos kƟ _{* * * *} senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

ด้วยวิธีนี้การแสดงออกยังคงอยู่:

Z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _{* * * *} เซน (kƟ + Ɵ))

Z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _{* * * *} sen [(k +1) Ɵ]).

ดังนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์เป็นจริงสำหรับ n = k + 1 โดยหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สรุปได้ว่าผลลัพธ์จะเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด นั่นคือ n ≥ 1.

จำนวนเต็มลบ

ทฤษฎีบทของ Moivre ยังใช้เมื่อ n ≤ 0 พิจารณาจำนวนเต็มลบ "n"; จากนั้นสามารถเขียน "n" เป็น "-m" ซึ่งก็คือ n = -m โดยที่ "m" เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น:

(เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ)ⁿ = (cos Ɵ + i _{* * * *} เซนƟ) ^-ม.

ในการรับค่าเลขชี้กำลัง "m" ในทางบวกนิพจน์จะถูกเขียนผกผัน:

(เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ)ⁿ = 1 ÷ (เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ) ^ม.

(เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ)ⁿ = 1 ÷ (เพราะmƟ + i _{* * * *} เซนmƟ)

ทีนี้มันถูกใช้แล้วถ้าหาก z = a + b * i เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว 1 ÷ z = a-b * i ดังนั้น:

(เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ)ⁿ = cos (mƟ) - i _{* * * *} เซน (mƟ).

การใช้ cos (x) = cos (-x) และ -sen (x) = sin (-x) เราต้อง:

(เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _{* * * *} เซน (mƟ)]

(เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _{* * * *} เซน (-mƟ)

(เพราะƟ + i _{* * * *} เซนƟ)ⁿ = cos (nƟ) - i _{* * * *} เซน (nƟ).

ด้วยวิธีนี้เราสามารถพูดได้ว่าทฤษฎีบทนั้นใช้กับค่าจำนวนเต็มทั้งหมดของ "n".

การออกกำลังกายที่มีมติ

การคำนวณพลังบวก

หนึ่งในการดำเนินการกับตัวเลขที่ซับซ้อนในรูปแบบของขั้วคือการคูณระหว่างสองเหล่านี้ ในกรณีนั้นโมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์.

หากคุณมีจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z₁ และ z₂ และคุณต้องการคำนวณ (z₁* z₂)², จากนั้นเราดำเนินการดังนี้:

Z₁Z₂ = [r₁ (เพราะƟ₁ + ผม _{* * * *} เซนƟ₁)] * [r₂ (เพราะƟ₂ + ผม _{* * * *} เซนƟ₂)]

คุณสมบัติการกระจายถูกนำไปใช้:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ (เพราะƟ_{1 *} เพราะ₂ + ผม _{* * * *} เพราะ_{1 *} ผม _{* * * *} เซนƟ₂ + ผม _{* * * *} เซนƟ_{1 *} เพราะ₂ + ผม²_{* * * *} เซนƟ_{1 *} เซนƟ₂).

พวกเขาถูกจัดกลุ่มโดยใช้คำว่า "i" เป็นปัจจัยทั่วไปของการแสดงออก:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [cos Ɵ_{1 *} เพราะ₂ + ฉัน (เพราะƟ_{1 *} เซนƟ₂ + เซนƟ_{1 *} เพราะ₂) + i²_{* * * *} เซนƟ_{1 *} เซนƟ₂]

ฉันเป็นอย่างไร² = -1 จะถูกแทนที่ในนิพจน์:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [cos Ɵ_{1 *} เพราะ₂ + ฉัน (เพราะƟ_{1 *} เซนƟ₂ + เซนƟ_{1 *} เพราะ₂) - sen Ɵ_{1 *} เซนƟ₂]

คำศัพท์จริงถูกจัดกลุ่มใหม่ด้วยของจริงและจินตภาพด้วยจินตภาพ:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [(เพราะƟ_{1 *} เพราะ₂ - เซนƟ_{1 *} เซนƟ₂) + i (เพราะƟ_{1 *} เซนƟ₂ + เซนƟ_{1 *} เพราะ₂)]

ในที่สุดคุณสมบัติตรีโกณมิติจะถูกนำไปใช้:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [cos (Ɵ)₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)].

โดยสรุป:

(Z₁* z₂)²= (r₁ R₂ [cos (Ɵ)₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)])²

= R₁²R₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂)].

แบบฝึกหัดที่ 1

เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปขั้วหาก z = - 2 -2i จากนั้นใช้ทฤษฎีบทของ Moivre คำนวณ z⁴.

ทางออก

จำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i แสดงในรูปแบบสี่เหลี่ยม z = a + bi โดยที่:

a = -2.

b = -2.

รู้ว่ารูปแบบขั้วโลกคือ z = r (cos Ɵ + i _{* * * *} บาปƟ) คุณต้องกำหนดค่าของโมดูล "r" และค่าของอาร์กิวเมนต์ "Ɵ" ในฐานะที่เป็น r = √ (a² + b²) ค่าที่กำหนดจะถูกแทนที่:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

จากนั้นในการกำหนดค่าของ "Ɵ" จะใช้รูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าของสิ่งนี้ซึ่งกำหนดโดยสูตร:

ผิวสีแทนƟ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

ในฐานะ tan (Ɵ) = 1 และคุณต้อง<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

เนื่องจากได้รับค่าของ "r" และ "Ɵ" แล้วจำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i สามารถแสดงในรูปแบบขั้วโดยแทนที่ค่า:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _{* * * *} เสน (5Π / 4)).

ทฤษฏี Moivre ถูกใช้เพื่อคำนวณ z⁴:

Z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _{* * * *} เสน (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _{* * * *} เซน (5Π)).

แบบฝึกหัดที่ 2

ค้นหาผลิตภัณฑ์ของตัวเลขที่ซับซ้อนโดยแสดงมันในรูปแบบขั้ว:

z1 = 4 (cos 50^หรือ + ผม_{* * * *} 50 เซ็นต์^หรือ)

Z2 = 7 (เพราะ 100^หรือ + ผม_{* * * *} 100 เซ็นต์^หรือ).

จากนั้นคำนวณ (z1 * z2) ².

ทางออก

ก่อนอื่นผลิตภัณฑ์ของตัวเลขที่กำหนดจะเกิดขึ้น:

Z₁ Z₂ = [4 (cos 50)^หรือ + ผม_{* * * *} 50 เซ็นต์^หรือ)] * [7 (เพราะ 100^หรือ + ผม_{* * * *} 100 เซ็นต์^หรือ)]

จากนั้นคูณโมดูลเข้าด้วยกันและเพิ่มอาร์กิวเมนต์:

Z₁ Z₂ = (4 _{* * * *} 7)_{* * * *} [cos (50)^หรือ + 100^หรือ) + i_{* * * *} เซน (50^หรือ + 100^หรือ)]

การแสดงออกง่ายขึ้น:

Z₁ Z₂ = 28 _{* * * *} (cos 150^หรือ + (i_{* * * *} 150 เซ็นต์^หรือ).

ในที่สุดทฤษฎีบท Moivre ถูกนำไปใช้:

(z1 * z2) ² = (28 _{* * * *} (cos 150^หรือ + (i_{* * * *} 150 เซ็นต์^หรือ)) ² = 784 (เพราะ 300)^หรือ + (i_{* * * *} 300 เซ็นต์^หรือ)).

การคำนวณพลังเชิงลบ

วิธีหารจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z₁ และ z₂ ในรูปแบบขั้วโมดูลจะถูกแบ่งออกและข้อโต้แย้งจะถูกลบออก ดังนั้นความฉลาดทางคือ z₁ ÷ z₂ และมันจะแสดงดังต่อไปนี้:

Z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ)₁- ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - ɵ₂)]).

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้หากคุณต้องการคำนวณ (z1 ÷ z2) ³ก่อนทำการหารและจากนั้นจะใช้ทฤษฎีบท Moivre.

แบบฝึกหัด 3

ได้รับ:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

คำนวณ (z1 ÷ z2) ³.

ทางออก

ทำตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นสามารถสรุปได้ว่า:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

การอ้างอิง

1. Arthur Goodman, L. H. (1996) พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การศึกษาของเพียร์สัน.
2. Croucher, M. (s.f. ) จากทฤษฎีของ Moivre สำหรับอัตลักษณ์ทริก โครงการสาธิตวุลแฟรม.
3. Hazewinkel, M. (2001) สารานุกรมคณิตศาสตร์.
4. Max Peters, W. L. (1972) พีชคณิตและตรีโกณมิติ.
5. Pérez, C. D. (2010) การศึกษาของเพียร์สัน.
6. Stanley, G. (s.f. ) พีชคณิตเชิงเส้น Graw ฮิลล์.
7. , M. (1997) Precalculus การศึกษาของเพียร์สัน.