ทฤษฎีบทของ Moivre เกี่ยวกับสิ่งที่ประกอบด้วยการสาธิตและแบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไข



ทฤษฎีบทของ Moivre ใช้กระบวนการพื้นฐานของพีชคณิตเช่นพลังและการแยกรากในจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีบทนี้ได้รับการประกาศโดยนักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวฝรั่งเศสชื่อ Abraham de Moivre (1730) ซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนกับตรีโกณมิติ.

Abraham Moivre สร้างความสัมพันธ์นี้ผ่านการแสดงออกของเต้านมและโคไซน์ นักคณิตศาสตร์คนนี้ได้สร้างสูตรขึ้นมาซึ่งมีความเป็นไปได้ที่จะเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน z เป็นกำลัง n ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกมากกว่าหรือเท่ากับ 1.

ดัชนี

  • 1 ทฤษฎีบทของ Moivre คืออะไร??
  • 2 การสาธิต
    • 2.1 ฐานอุปนัย
    • 2.2 สมมติฐานอุปนัย
    • 2.3 การตรวจสอบ
    • 2.4 จำนวนเต็มลบ
  • 3 แบบฝึกหัดได้รับการแก้ไข
    • 3.1 การคำนวณพลังบวก
    • 3.2 การคำนวณพลังเชิงลบ
  • 4 อ้างอิง

ทฤษฎีบท Moivre คืออะไร?

ทฤษฎีบทของ Moivre กล่าวดังนี้:

หากคุณมีจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบขั้ว z = rɵ, เมื่อ r คือโมดุลของจำนวนเชิงซ้อน z และมุมƟเรียกว่าแอมพลิจูดหรืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่มี 0 ≤Ɵ≤2πเพื่อคำนวณพลังงานที่ n มันไม่จำเป็นต้องคูณด้วยตัวมันเอง n-times; นั่นคือไม่จำเป็นต้องสร้างผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้:

Zn = z * * * * Z * * * * Z* ... * z = rƟ * RƟ * RƟ * ... * Rɵ   n ครั้ง.

ในทางตรงกันข้ามทฤษฎีบทบอกว่าเมื่อเขียน z ในรูปตรีโกณมิติเพื่อคำนวณกำลังที่ n เราจะดำเนินการดังนี้:

ถ้า z = r (cos Ɵ + i * * * * บาปƟ) จากนั้น zn = rn (cos n * Ɵ + i * * * * บาป n * Ɵ).

ตัวอย่างเช่นถ้า n = 2 แล้ว z2 = r2[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] หากคุณมี n = 3 ให้เลือก z3 = z2 * * * * Z นอกจากนี้:

Z3 = r2[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] * * * * r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r3[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

ด้วยวิธีนี้อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์และโคไซน์สามารถหาได้จากการคูณของมุมตราบใดที่อัตราส่วนของตรีโกณมิติของมุมนั้นเป็นที่รู้จัก.

ในทำนองเดียวกันมันสามารถใช้เพื่อค้นหานิพจน์ที่แม่นยำและสับสนน้อยกว่าสำหรับรูท n ของจำนวนเชิงซ้อน z ดังนั้น zn = 1.

เพื่อแสดงให้เห็นถึงทฤษฎีบทของ Moivre หลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้: ถ้าจำนวนเต็ม "a" มีคุณสมบัติ "P" และถ้าจำนวนเต็ม "n" มากกว่า "a" ที่มีคุณสมบัติ "P" คือ ทำให้มั่นใจว่า n + 1 มีคุณสมบัติ "P" แล้วจำนวนเต็มทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ "a" มีคุณสมบัติ "P".

แสดง

ด้วยวิธีนี้การพิสูจน์ทฤษฎีบทจะทำด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

ฐานอุปนัย

ตรวจสอบครั้งแรกสำหรับ n = 1.

ชอบ z1 = (r (เพราะƟ + i * * * * เซนƟ))1 = r1 (เพราะƟ + i * * * * เซนƟ)1 = r1 [cos (1)* * * * Ɵ) + i * * * * เซน (1* * * * Ɵ)] เรามีสิ่งนั้นสำหรับ n = 1 ทฤษฎีบทได้ถูกทำให้สำเร็จ.

สมมติฐานอุปนัย

มันจะสันนิษฐานว่าสูตรนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกนั่นคือ n = k.

Zk = (r (เพราะƟ + i * * * * เซนƟ))k  = rk (cos k Ɵ + i * * * * sen k Ɵ).

การทดสอบ

มันพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับ n = k + 1.

ชอบ zk + 1= zk * * * * z จากนั้น zk + 1 = (r (เพราะƟ + i * * * * เซนƟ))k + 1 = rk (cos kƟ + i * * * * เซนkƟ) * * * *  r (เพราะƟ + i* * * * senƟ).

จากนั้นการแสดงออกคูณ:

Zk + 1 = rk + 1((เพราะkƟ)* * * *(cosƟ) + (cos kƟ)* * * *(i* * * *senƟ) + (i * * * * เซนkƟ)* * * *(cosƟ) + (i * * * * เซนkƟ)* * * *(i* * * * senƟ)).

เดี๋ยวจะคำนึงถึงปัจจัย rk + 1,  และปัจจัยทั่วไปฉันถูกลบ:

(cos kƟ)* * * *(cosƟ) + i (cos kƟ)* * * *(sinƟ) + i (sen kƟ)* * * *(cosƟ) + i2(sen kƟ)* * * *(SenƟ).

ฉันเป็นอย่างไร2 = -1 เราแทนที่มันในนิพจน์และเราได้:

(cos kƟ)* * * *(cosƟ) + i (cos kƟ)* * * *(sinƟ) + i (sen kƟ)* * * *(cosƟ) - (sen kƟ)* * * *(SenƟ).

ตอนนี้ส่วนที่แท้จริงและจินตภาพได้รับคำสั่ง:

(cos kƟ)* * * *(cosƟ) - (sen kƟ)* * * *(sinƟ) + i [(sen kƟ)* * * *(cosƟ) + (cos kƟ)* * * *(SenƟ)].

เพื่อให้การแสดงออกง่ายขึ้นอัตลักษณ์ตรีโกณมิติของผลรวมของมุมสำหรับโคไซน์และไซน์ถูกนำไปใช้ซึ่ง ได้แก่ :

cos (A + B) = cos A * * * * cos B - sen A * * * * เสนข.

sen (A + B) = sin A * * * * cos B - cos A * * * * เพราะข.

ในกรณีนี้ตัวแปรคือมุมƟและkƟ การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติเรามี:

เพราะ * * * * cosƟ -  เซนkƟ * * * * senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

เซนkƟ * * * * cosƟ + cos kƟ * * * * senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

ด้วยวิธีนี้การแสดงออกยังคงอยู่:

Zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * * * * เซน (kƟ + Ɵ))

Zk + 1 = rk + 1(cos [(k +1) Ɵ] + i * * * * sen [(k +1) Ɵ]).

ดังนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์เป็นจริงสำหรับ n = k + 1 โดยหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สรุปได้ว่าผลลัพธ์จะเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด นั่นคือ n ≥ 1.

จำนวนเต็มลบ

ทฤษฎีบทของ Moivre ยังใช้เมื่อ n ≤ 0 พิจารณาจำนวนเต็มลบ "n"; จากนั้นสามารถเขียน "n" เป็น "-m" ซึ่งก็คือ n = -m โดยที่ "m" เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น:

(เพราะƟ + i * * * * เซนƟ)n = (cos Ɵ + i * * * * เซนƟ) -ม.

ในการรับค่าเลขชี้กำลัง "m" ในทางบวกนิพจน์จะถูกเขียนผกผัน:

(เพราะƟ + i * * * * เซนƟ)n = 1 ÷ (เพราะƟ + i * * * * เซนƟ) ม.

(เพราะƟ + i * * * * เซนƟ)n = 1 ÷ (เพราะmƟ + i * * * * เซนmƟ)

ทีนี้มันถูกใช้แล้วถ้าหาก z = a + b * i เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว 1 ÷ z = a-b * i ดังนั้น:

(เพราะƟ + i * * * * เซนƟ)n = cos (mƟ) - i * * * * เซน (mƟ).

การใช้ cos (x) = cos (-x) และ -sen (x) = sin (-x) เราต้อง:

(เพราะƟ + i * * * * เซนƟ)n = [cos (mƟ) - i * * * * เซน (mƟ)]

(เพราะƟ + i * * * * เซนƟ)n = cos (- mƟ) + i * * * * เซน (-mƟ)

(เพราะƟ + i * * * * เซนƟ)n = cos (nƟ) - i * * * * เซน (nƟ).

ด้วยวิธีนี้เราสามารถพูดได้ว่าทฤษฎีบทนั้นใช้กับค่าจำนวนเต็มทั้งหมดของ "n".

การออกกำลังกายที่มีมติ

การคำนวณพลังบวก

หนึ่งในการดำเนินการกับตัวเลขที่ซับซ้อนในรูปแบบของขั้วคือการคูณระหว่างสองเหล่านี้ ในกรณีนั้นโมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์.

หากคุณมีจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z1 และ z2 และคุณต้องการคำนวณ (z1* z2)2, จากนั้นเราดำเนินการดังนี้:

Z1Z2 = [r1 (เพราะƟ1 + ผม * * * * เซนƟ1)] * [r2 (เพราะƟ2 + ผม * * * * เซนƟ2)]

คุณสมบัติการกระจายถูกนำไปใช้:

Z1Z2 = r1 R2 (เพราะƟ1 * เพราะ2 + ผม * * * * เพราะ1 * ผม * * * * เซนƟ2 + ผม * * * * เซนƟ1 * เพราะ2 + ผม2* * * * เซนƟ1 * เซนƟ2).

พวกเขาถูกจัดกลุ่มโดยใช้คำว่า "i" เป็นปัจจัยทั่วไปของการแสดงออก:

Z1Z2 = r1 R2 [cos Ɵ1 * เพราะ2 + ฉัน (เพราะƟ1 * เซนƟ2 + เซนƟ1 * เพราะ2) + i2* * * * เซนƟ1 * เซนƟ2]

ฉันเป็นอย่างไร2 = -1 จะถูกแทนที่ในนิพจน์:

Z1Z2 = r1 R2 [cos Ɵ1 * เพราะ2 + ฉัน (เพราะƟ1 * เซนƟ2 + เซนƟ1 * เพราะ2) - sen Ɵ1 * เซนƟ2]

คำศัพท์จริงถูกจัดกลุ่มใหม่ด้วยของจริงและจินตภาพด้วยจินตภาพ:

Z1Z2 = r1 R2 [(เพราะƟ1 * เพราะ2 - เซนƟ1 * เซนƟ2) + i (เพราะƟ1 * เซนƟ2 + เซนƟ1 * เพราะ2)]

ในที่สุดคุณสมบัติตรีโกณมิติจะถูกนำไปใช้:

Z1Z2 = r1 R2 [cos (Ɵ)1 + ɵ2) + i sen (Ɵ1 + ɵ2)].

โดยสรุป:

(Z1* z2)2= (r1 R2 [cos (Ɵ)1 + ɵ2) + i sen (Ɵ1 + ɵ2)])2

= R12R22[cos 2 * (Ɵ1 + ɵ2) + i sen 2 * (Ɵ1 + ɵ2)].

แบบฝึกหัดที่ 1

เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปขั้วหาก z = - 2 -2i จากนั้นใช้ทฤษฎีบทของ Moivre คำนวณ z4.

ทางออก

จำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i แสดงในรูปแบบสี่เหลี่ยม z = a + bi โดยที่:

a = -2.

b = -2.

รู้ว่ารูปแบบขั้วโลกคือ z = r (cos Ɵ + i * * * * บาปƟ) คุณต้องกำหนดค่าของโมดูล "r" และค่าของอาร์กิวเมนต์ "Ɵ" ในฐานะที่เป็น r = √ (a² + b²) ค่าที่กำหนดจะถูกแทนที่:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

จากนั้นในการกำหนดค่าของ "Ɵ" จะใช้รูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าของสิ่งนี้ซึ่งกำหนดโดยสูตร:

ผิวสีแทนƟ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

ในฐานะ tan (Ɵ) = 1 และคุณต้อง<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

เนื่องจากได้รับค่าของ "r" และ "Ɵ" แล้วจำนวนเชิงซ้อน z = -2 -2i สามารถแสดงในรูปแบบขั้วโดยแทนที่ค่า:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * * * * เสน (5Π / 4)).

ทฤษฏี Moivre ถูกใช้เพื่อคำนวณ z4:

Z4= 2√2 (cos (5Π / 4) + i * * * * เสน (5Π / 4))4

= 32 (cos (5Π) + i * * * * เซน (5Π)).

แบบฝึกหัดที่ 2

ค้นหาผลิตภัณฑ์ของตัวเลขที่ซับซ้อนโดยแสดงมันในรูปแบบขั้ว:

z1 = 4 (cos 50หรือ + ผม* * * * 50 เซ็นต์หรือ)

Z2 = 7 (เพราะ 100หรือ + ผม* * * * 100 เซ็นต์หรือ).

จากนั้นคำนวณ (z1 * z2) ².

ทางออก

ก่อนอื่นผลิตภัณฑ์ของตัวเลขที่กำหนดจะเกิดขึ้น:

Z1 Z2 = [4 (cos 50)หรือ + ผม* * * * 50 เซ็นต์หรือ)] * [7 (เพราะ 100หรือ + ผม* * * * 100 เซ็นต์หรือ)]

จากนั้นคูณโมดูลเข้าด้วยกันและเพิ่มอาร์กิวเมนต์:

Z1 Z2 = (4 * * * * 7)* * * * [cos (50)หรือ + 100หรือ) + i* * * * เซน (50หรือ + 100หรือ)]

การแสดงออกง่ายขึ้น:

Z1 Z2 = 28 * * * * (cos 150หรือ + (i* * * * 150 เซ็นต์หรือ).

ในที่สุดทฤษฎีบท Moivre ถูกนำไปใช้:

(z1 * z2) ² = (28 * * * * (cos 150หรือ + (i* * * * 150 เซ็นต์หรือ)) ² = 784 (เพราะ 300)หรือ + (i* * * * 300 เซ็นต์หรือ)).

การคำนวณพลังเชิงลบ

วิธีหารจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน z1 และ z2 ในรูปแบบขั้วโมดูลจะถูกแบ่งออกและข้อโต้แย้งจะถูกลบออก ดังนั้นความฉลาดทางคือ z1 ÷ z2 และมันจะแสดงดังต่อไปนี้:

Z1 ÷ z2 = r1 / r2 ([cos (Ɵ)1- ɵ2) + i sen (Ɵ1 - ɵ2)]).

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้หากคุณต้องการคำนวณ (z1 ÷ z2) ³ก่อนทำการหารและจากนั้นจะใช้ทฤษฎีบท Moivre.

แบบฝึกหัด 3

ได้รับ:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

คำนวณ (z1 ÷ z2) ³.

ทางออก

ทำตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นสามารถสรุปได้ว่า:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

การอ้างอิง

  1. Arthur Goodman, L. H. (1996) พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การศึกษาของเพียร์สัน.
  2. Croucher, M. (s.f. ) จากทฤษฎีของ Moivre สำหรับอัตลักษณ์ทริก โครงการสาธิตวุลแฟรม.
  3. Hazewinkel, M. (2001) สารานุกรมคณิตศาสตร์.
  4. Max Peters, W. L. (1972) พีชคณิตและตรีโกณมิติ.
  5. Pérez, C. D. (2010) การศึกษาของเพียร์สัน.
  6. Stanley, G. (s.f. ) พีชคณิตเชิงเส้น Graw ฮิลล์.
  7. , M. (1997) Precalculus การศึกษาของเพียร์สัน.