สูตรทฤษฎีบทของ Euclid การสาธิตการใช้งานและแบบฝึกหัด

ทฤษฎีบทของยูคลิด แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยการวาดเส้นที่แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปแบบใหม่ที่มีลักษณะคล้ายกันและในทางกลับกันจะคล้ายกับรูปสามเหลี่ยมเดิม จากนั้นมีความสัมพันธ์ของสัดส่วน.

Euclid เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์และ geometers ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสมัยโบราณที่ทำให้การสาธิตหลายทฤษฎีบทที่สำคัญ หนึ่งในคนหลักคือคนที่ชื่อของเขาซึ่งมีการประยุกต์กว้าง.

สิ่งนี้เป็นเช่นนั้นเพราะผ่านทฤษฎีบทนี้มันจะอธิบายอย่างง่าย ๆ ว่าความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตที่มีอยู่ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่ขาของสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการคาดการณ์ของพวกมันในด้านตรงข้ามมุมฉาก.

ดัชนี

• 1 สูตรและการสาธิต
  • 1.1 ทฤษฎีบทความสูง
  • 1.2 ทฤษฎีบทของขา
• 2 ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทของยูคลิด
• 3 แบบฝึกหัดได้รับการแก้ไข
  • 3.1 ตัวอย่างที่ 1
  • 3.2 ตัวอย่างที่ 2
• 4 อ้างอิง

สูตรและการสาธิต

ทฤษฎีบทของ Euclid เสนอว่าในทุกสามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อวาดเส้น - ซึ่งแสดงความสูงที่สอดคล้องกับจุดยอดของมุมฉากเทียบกับด้านตรงข้ามมุมฉาก - สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปเกิดจากต้นฉบับ.

สามเหลี่ยมเหล่านี้จะคล้ายกันและก็จะคล้ายกับสามเหลี่ยมเดิมซึ่งหมายความว่าด้านที่คล้ายกันของพวกเขาเป็นสัดส่วนซึ่งกันและกัน:

มุมของสามเหลี่ยมทั้งสามนั้นสอดคล้องกัน กล่าวคือเมื่อหมุนไปถึง 180 องศาบนจุดสุดยอดมุมจะเกิดขึ้นพร้อมกัน นี่ก็หมายความว่าทุกคนจะเท่ากัน.

ด้วยวิธีนี้คุณสามารถตรวจสอบความคล้ายคลึงกันที่มีอยู่ระหว่างสามเหลี่ยมสามรูปด้วยความเท่าเทียมกันของมุมของมัน จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม Euclid กำหนดสัดส่วนของสิ่งเหล่านี้จากสองทฤษฎีบท:

- ทฤษฎีบทความสูง.

- ทฤษฎีบทของขา.

ทฤษฎีบทนี้มีการประยุกต์กว้าง ในสมัยโบราณมันถูกใช้เพื่อคำนวณความสูงหรือระยะทางซึ่งเป็นตัวแทนของความก้าวหน้าอันยิ่งใหญ่สำหรับตรีโกณมิติ.

ปัจจุบันมีการใช้งานในหลาย ๆ ด้านที่มีพื้นฐานมาจากคณิตศาสตร์เช่นวิศวกรรมฟิสิกส์เคมีและดาราศาสตร์ในหลาย ๆ ด้าน.

ทฤษฎีบทความสูง

ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ความสูงที่ดึงมาจากมุมขวาด้วยความเคารพด้านตรงข้ามมุมฉากคือค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต (กำลังสองของความสูง) ระหว่างเส้นโครงของขาที่กำหนดด้านตรงข้ามมุมฉาก.

นั่นคือความสูงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากับการคูณของขาที่ยื่นออกมาซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ชั่วโมง_ค² = m _{* * * *} n

แสดง

ให้รูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่จุดสุดยอด C เมื่อทำการพล็อตความสูงสองรูปสามเหลี่ยมด้านขวาคล้าย ADC และ BCD จะถูกสร้างขึ้น ดังนั้นด้านที่สอดคล้องกันของพวกเขาเป็นสัดส่วน:

ในลักษณะที่ความสูง h_ค ซึ่งสอดคล้องกับเซ็กเมนต์ซีดีสอดคล้องกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB = c ดังนั้นเราต้อง:

ในทางกลับกันสิ่งนี้สอดคล้องกับ:

การล้างด้านตรงข้ามมุมฉาก (h_ค) เพื่อเพิ่มความเสมอภาคให้กับสมาชิกสองคนคุณจะต้อง:

ชั่วโมง_{c *} ชั่วโมง_{c =} ม. _{* * * *} n

ชั่วโมง_ค² = m _{* * * *} n

ดังนั้นคุณค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากถูกกำหนดโดย:

ทฤษฎีบทของขา

ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ การวัดของแต่ละขาจะเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต (ตารางของแต่ละขา) ระหว่างการวัดของด้านตรงข้ามมุมฉาก (สมบูรณ์) และการฉายของแต่ละอัน:

ข² = c _{* * * *} ม.

ไปยัง² = c_{* * * *} n

แสดง

ให้รูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่จุดยอด C เช่นด้านตรงข้ามมุมฉากของมันคือ c เมื่อวางแผนความสูง (h) ประมาณการของขา a และ b ซึ่งเป็นส่วน m และ n ตามลำดับจะถูกกำหนด ด้านตรงข้ามมุมฉาก.

ดังนั้นเรามีความสูงที่วาดบนสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันที่คล้ายกันคือ ADC และ BCD เพื่อให้ด้านที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วนเช่นนี้

DB = n ซึ่งเป็นโครงของขา CB บนด้านตรงข้ามมุมฉาก.

AD = m ซึ่งเป็นการประมาณค่าของ cathetus AC บนด้านตรงข้ามมุมฉาก.

จากนั้น, ด้านตรงข้ามมุมฉาก c ถูกกำหนดโดยผลรวมของขาของประมาณการของ:

c = m + n

เนื่องจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ADC และ BCD เราจึงต้อง:

ด้านบนเป็นเช่นเดียวกับ:

ด้วยการล้างขา "a" เพื่อเพิ่มความเสมอภาคของสมาชิกสองคนเราจะต้อง:

ไปยัง _{* * * *} a = c _{* * * *} n

ไปยัง² = c _{* * * *} n

ดังนั้นมูลค่าของขา "a" จึงได้รับจาก:

ในทำนองเดียวกันโดยความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ACB และ ADC เราต้อง:

ด้านบนเท่ากับ:

โดยการล้างขา "b" เพื่อเพิ่มความเสมอภาคของสมาชิกสองคนเราจะต้อง:

ข _{* * * *} b = c _{* * * *} ม.

ข² = c _{* * * *} ม.

ดังนั้นมูลค่าของขา "b" จึงถูกกำหนดโดย:

ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทของยุคลิด

ทฤษฏีที่มีการอ้างอิงถึงความสูงและขามีความสัมพันธ์กันเนื่องจากการวัดของทั้งสองจะทำด้วยความเคารพด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก.

จากความสัมพันธ์ของทฤษฎีบทของยูคลิดสามารถหาค่าความสูงได้ ที่เป็นไปได้โดยการล้างค่าของ m และ n จากทฤษฎีบทที่ขาและพวกเขาจะถูกแทนที่ในทฤษฎีบทความสูง ด้วยวิธีนี้ความสูงเท่ากับการคูณของขาหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ข² = c _{* * * *} ม.

m = b² ÷ c

ไปยัง² = c _{* * * *} n

n = a² ÷ c

ในทฤษฎีบทความสูง m และ n จะถูกแทนที่:

ชั่วโมง_ค² = m _{* * * *} n

ชั่วโมง_ค² = (b² ÷ c) _{* * * *} (ก² ÷ c)

ชั่วโมง_ค = (b²_{* * * *} ไปยัง²) ÷ c

การออกกำลังกายที่มีมติ

ตัวอย่างที่ 1

รับ ABC รูปสามเหลี่ยมให้สี่เหลี่ยมผืนผ้าใน A กำหนดค่า AC และ AD ถ้า AB = 30 ซม. และ BD = 18 ซม

ทางออก

ในกรณีนี้เรามีการวัดหนึ่งในขาที่คาดการณ์ (BD) และหนึ่งในขาของสามเหลี่ยมดั้งเดิม (AB) ด้วยวิธีนี้คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทเลกเพื่อหาค่าของขา BC.

AB² = BD _{* * * *} ก่อนคริสต์ศักราช

(30)² = 18 _{* * * *} ก่อนคริสต์ศักราช

900 = 18 _{* * * *} ก่อนคริสต์ศักราช

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 ซม

มูลค่าของ CD cathetus นั้นสามารถรู้ได้ว่า BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 ซม

ตอนนี้มันเป็นไปได้ที่จะกำหนดค่าของ cathetus AC โดยใช้ทฤษฎีบทเลกอีกครั้ง:

ไฟฟ้ากระแสสลับ² = ซีดี _{* * * *} BD

ไฟฟ้ากระแสสลับ² = 32 _{* * * *} 50

ไฟฟ้ากระแสสลับ² = 160

AC = √1600 = 40 ซม

ในการกำหนดค่าของความสูง (AD) จะใช้ทฤษฎีบทความสูงเนื่องจากค่าของ CD และ BD ของขาที่คาดการณ์ไว้เป็นที่รู้จัก:

AD² = 32 _{* * * *} 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 ซม

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดค่าของความสูง (h) ของรูปสามเหลี่ยม MNL, สี่เหลี่ยมผืนผ้าใน N, รู้การวัดของเซกเมนต์:

NL = 10 ซม

MN = 5 ซม

PM = 2 ซม

ทางออก

คุณมีการวัดขาข้างหนึ่งที่คาดการณ์ไว้บนด้านตรงข้ามมุมฉาก (PM) เช่นเดียวกับการวัดขาของสามเหลี่ยมเดิม ด้วยวิธีนี้ทฤษฎีบทเลกสามารถนำไปใช้เพื่อค้นหาค่าของเลกที่คาดการณ์อื่น ๆ (LN):

NL² = PM _{* * * *} LM

(10)² = 5 _{* * * *} LM

100 = 5 _{* * * *} LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

เมื่อเรารู้คุณค่าของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากผ่านความสัมพันธ์ของทฤษฎีบทของความสูงและขาแล้วเราสามารถกำหนดมูลค่าของความสูงได้:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_{* * * *} ไปยัง²) ÷ c.

h = (10²_{* * * *} 5²)  ÷ (20)

h = (100) _{* * * *} 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 ซม.

การอ้างอิง

1. Braun, E. (2011) ความโกลาหลเศษส่วนและสิ่งแปลก ๆ กองทุนวัฒนธรรมเศรษฐกิจ.
2. Cabrera, V. M. (1974) Modern Mathematics เล่มที่ 3.
3. Daniel Hernandez, D. P. (2014) คณิตศาสตร์ปีที่ 3 คารากัส: Santillana.
4. สารานุกรม Britannica, i. (1995) สารานุกรมสเปน: Macropedia สารานุกรม Britannica ผู้จัดพิมพ์.
5. Euclid, R. P. (1886) องค์ประกอบของเรขาคณิตของยูคลิด.
6. Guardeño, A. J. (2000) มรดกของคณิตศาสตร์: จาก Euclid ถึง Newton, อัจฉริยะผ่านหนังสือของเขา มหาวิทยาลัยเซวิลล์.