ทฤษฎีบทของ Chebyshov สิ่งที่ประกอบด้วยแอพพลิเคชั่นและตัวอย่าง

ทฤษฎีบทของ Chebyshov (หรือความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov) เป็นหนึ่งในผลลัพธ์คลาสสิกที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็น อนุญาตให้ประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่อธิบายในแง่ของตัวแปรสุ่ม X โดยให้มิติที่ไม่ขึ้นอยู่กับการกระจายของตัวแปรสุ่ม แต่ขึ้นอยู่กับความแปรปรวนของ X.

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Pafnuty Chebyshov (หรือเขียนเป็น Chebychev หรือ Tchebycheff) ผู้ซึ่งแม้จะไม่ใช่คนแรกที่บอกทฤษฎีบทนี้เป็นคนแรกที่ให้การสาธิตในปี 1867.

ความไม่เท่าเทียมกันนี้หรือลักษณะที่เรียกว่าความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov ส่วนใหญ่จะใช้ในการประมาณความน่าจะเป็นโดยการคำนวณขนาด.

ดัชนี

• 1 ประกอบด้วยอะไร?
• 2 แอปพลิเคชันและตัวอย่าง
  • 2.1 ความน่าจะเป็นที่ถูกผูกมัด
  • 2.2 การสาธิตทฤษฎีบทขีด จำกัด
  • 2.3 ขนาดตัวอย่าง
• 3 ประเภทอสมการ Chebyshov
• 4 อ้างอิง

มันประกอบด้วยอะไร??

ในการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นมันเกิดขึ้นว่าถ้าเรารู้ว่าฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X เราสามารถคำนวณค่าที่คาดหวัง - หรือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ E (X) - และความแปรปรวน Var (X) ตราบใดที่ จำนวนดังกล่าวมีอยู่ อย่างไรก็ตามการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันไม่จำเป็นต้องเป็นจริง.

นั่นคือการรู้ว่า E (X) และ Var (X) นั้นไม่จำเป็นที่จะต้องได้รับฟังก์ชันการแจกแจงของ X ดังนั้นปริมาณเช่น P (| X |> k) สำหรับ k> 0 นั้นยากมากที่จะได้รับ แต่ด้วยความไม่เท่าเทียมของ Chebyshov ทำให้สามารถประมาณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มได้.

ทฤษฎีบทของ Chebyshov บอกเราว่าถ้าเรามีตัวแปรสุ่ม X บนพื้นที่ตัวอย่าง S ที่มีฟังก์ชั่นความน่าจะเป็น p และถ้า k> 0 แล้ว

แอปพลิเคชันและตัวอย่าง

ในบรรดาแอพพลิเคชั่นมากมายที่ทฤษฎีบทของ Chebyshov มีดังต่อไปนี้:

ขอบเขตของความน่าจะเป็น

นี่เป็นแอปพลิเคชั่นที่ใช้กันมากที่สุดและใช้เพื่อให้ขอบเขตบนสำหรับ P (| X-E (X) | ≥k) โดยที่ k> 0 เฉพาะเมื่อมีความแปรปรวนและความคาดหวังของตัวแปรสุ่ม X โดยไม่ทราบว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็น.

ตัวอย่างที่ 1

สมมติว่าจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตใน บริษัท ในช่วงหนึ่งสัปดาห์เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ย 50.

หากเรารู้ว่าความแปรปรวนของหนึ่งสัปดาห์ของการผลิตเท่ากับ 25 แล้วเราจะพูดอะไรเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่การผลิตในสัปดาห์นี้จะแตกต่างกันมากกว่า 10 จากค่าเฉลี่ย?

ทางออก

การใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov เราต้อง:

จากนี้เราสามารถได้รับความน่าจะเป็นที่ในสัปดาห์ของการผลิตจำนวนของบทความเกินกว่า 10 ถึงค่าเฉลี่ยอยู่ที่มากที่สุด 1/4.

การสาธิตทฤษฎีบทขีด จำกัด

ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov มีบทบาทสำคัญในการสาธิตทฤษฎีบทขีด จำกัด ที่สำคัญที่สุด ตัวอย่างเช่นเรามีดังต่อไปนี้:

กฎหมายที่อ่อนแอเป็นจำนวนมาก

กฎนี้กำหนดว่าได้รับลำดับ X1, X2, ... , Xn, ... ของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงเฉลี่ยเดียวกัน E (Xi) = μและความแปรปรวน Var (X) = σ², และค่าเฉลี่ยตัวอย่างที่ทราบของ:

ถ้าอย่างนั้นสำหรับ k> 0 คุณต้อง:

หรือเทียบเท่า:

แสดง

ก่อนอื่นมาสังเกตสิ่งต่อไปนี้:

ตั้งแต่ X1, X2, ... , Xn มีความเป็นอิสระจึงเป็นไปตามนั้น:

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะยืนยันสิ่งต่อไปนี้:

จากนั้นใช้ทฤษฎีบทของ Chebyshov เราต้อง:

ในที่สุดทฤษฎีบทเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าขีด จำกัด ทางด้านขวาเป็นศูนย์เมื่อ n มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด.

ควรสังเกตว่าการทดสอบนี้ทำเฉพาะในกรณีที่มีความแปรปรวนของ Xi อยู่เท่านั้น นั่นคือมันไม่ได้แตกต่าง ดังนั้นเราสังเกตว่าทฤษฎีบทนั้นเป็นจริงเสมอถ้า E (Xi) มีอยู่.

ทฤษฎีบทขีด จำกัด ของ Chebyshov

ถ้า X1, X2, ... , Xn, ... เป็นการต่อเนื่องของตัวแปรสุ่มแบบอิสระซึ่งมี C บางตัว< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

แสดง

เนื่องจากความต่อเนื่องของความแปรปรวนมีขอบเขตเท่ากันเราจึงมี Var (Sn) ≤ C / n สำหรับธรรมชาติทั้งหมด n แต่เรารู้ว่า:

ด้วยการทำให้ n มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดผลลัพธ์ต่อไปนี้:

เนื่องจากความน่าจะเป็นต้องไม่เกินค่า 1 จึงได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ ผลที่ตามมาของทฤษฎีบทนี้เราสามารถพูดถึงกรณีเฉพาะของ Bernoulli.

หากการทดสอบซ้ำ n ครั้งโดยอิสระพร้อมกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองประการ (ความล้มเหลวและความสำเร็จ) โดยที่ p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการทดลองแต่ละครั้งและ X คือตัวแปรสุ่มที่แสดงถึงจำนวนความสำเร็จที่ได้รับ คุณต้อง:

ขนาดตัวอย่าง

ในแง่ของความแปรปรวนความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshov ช่วยให้เราสามารถหาขนาดตัวอย่าง n ที่เพียงพอที่จะรับประกันได้ว่าความน่าจะเป็นที่ | Sn-μ |> = k เกิดขึ้นมีขนาดเล็กตามที่ต้องการซึ่งช่วยให้เรามีการประมาณ ถึงค่าเฉลี่ย.

แม่นยำให้ X1, X2, ... Xn เป็นตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบอิสระที่มีขนาด n และให้เราสมมติว่า E (Xi) = μและความแปรปรวนσ². จากนั้นเนื่องจากความไม่เท่าเทียมของ Chebyshov เราต้อง:

ตัวอย่าง

สมมติว่า X1, X2, ... Xn เป็นตัวอย่างของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบเบอร์นูลีเพื่อให้พวกเขารับค่า 1 ด้วยความน่าจะเป็น p = 0.5.

สิ่งที่ควรเป็นขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่สามารถรับประกันได้ว่าความน่าจะเป็นที่ความแตกต่างระหว่างเลขคณิตค่าเฉลี่ย Sn และค่าที่คาดหวัง (เกินกว่า 0.1) น้อยกว่าหรือเท่ากับ 0 01?

ทางออก

เรามี E (X) = μ = p = 0.5 และ Var (X) = σ²= p (1-p) = 0.25 สำหรับความไม่เท่าเทียมของ Chebyshov, สำหรับ k> 0 ใด ๆ เราต้อง:

ตอนนี้รับ k = 0.1 และδ = 0.01 เราต้อง:

ด้วยวิธีนี้จึงสรุปได้ว่ามีขนาดตัวอย่างอย่างน้อย 2,500 ที่ต้องการเพื่อให้แน่ใจว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ | Sn - 0.5 |> = 0.1 น้อยกว่า 0.01.

อสมการพิมพ์ Chebyshov

มีความไม่เท่าเทียมกันหลายประการที่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมของ Chebyshov หนึ่งในสิ่งที่รู้จักกันดีที่สุดคือความไม่เสมอภาคของมาร์คอฟ:

ในนิพจน์นี้ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ลบที่มี k, r> 0.

ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟอาจมีรูปแบบที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นให้ Y เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ลบ (ดังนั้น P (Y> = 0) = 1) และสมมติว่า E (Y) = μมีอยู่ สมมติว่า (E (Y))^R= μ_R มีอยู่สำหรับจำนวนเต็ม r> 1 แล้ว:

ความไม่เท่าเทียมกันอีกอย่างคือของเกาส์ซึ่งบอกเราว่าให้ตัวแปรสุ่มแบบเดียวกับโหมดที่ศูนย์แล้วสำหรับ k> 0,

การอ้างอิง

1. ไก่ลายจุง ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นพร้อมกระบวนการสโทแคสติก Springer-Verlag นิวยอร์กอิงค์
2. Kenneth.H Rosen. คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer ความน่าจะเป็นและการประยุกต์ทางสถิติ อิงค์ เม็กซิกันอัลฮัมบรา.
4. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องปี 2000 แก้ปัญหาได้ McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก ทฤษฎีและปัญหาความน่าจะเป็น McGraw-Hill.