คำอธิบายทฤษฎีบทของโบลซาโนการใช้งานและแบบฝึกหัดได้รับการแก้ไขแล้ว

ทฤษฎีบทโบลซาโน กำหนดว่าถ้าฟังก์ชั่นต่อเนื่องทุกจุดในช่วงเวลาปิด [a, b] และเป็นที่น่าพอใจว่าภาพของ "a" และ "b" (ภายใต้ฟังก์ชั่น) มีสัญญาณตรงข้ามจะมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด "C" ในช่วงเวลาเปิด (a, b) ดังนั้นฟังก์ชันที่ประเมินใน "c" จะเท่ากับ 0.

ทฤษฎีนี้ได้รับการประกาศโดยนักปรัชญานักบวชและนักคณิตศาสตร์เบอร์นาร์ดโบลซาโนในปี ค.ศ. 1850 นักวิทยาศาสตร์นี้เกิดในสาธารณรัฐเช็กในปัจจุบันเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์คนแรกในประวัติศาสตร์ที่ได้ทำการสาธิตอย่างเป็นทางการ.

ดัชนี

• 1 คำอธิบาย
• 2 การสาธิต
• 3 มีไว้เพื่ออะไร??
• แก้ไข 4 แบบฝึกหัด
  • 4.1 การออกกำลังกาย 1
  • 4.2 การออกกำลังกาย 2
• 5 อ้างอิง

คำอธิบาย

ทฤษฎีบทของโบลซาโนเป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทค่ากลางซึ่งช่วยในการกำหนดค่าเฉพาะโดยเฉพาะอย่างยิ่งศูนย์ของฟังก์ชั่นจริงบางอย่างของตัวแปรจริง.

ในฟังก์ชั่นที่กำหนด f (x) ทำต่อ - นั่นคือ f (a) และ f (b) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้ง - โดยที่ f (a) อยู่ใต้แกน x (เป็นลบ) และ f (b) คือ เหนือแกน x (เป็นบวก) หรือกลับกันแบบกราฟิกจะมีจุดตัดบนแกน x ที่จะแสดงค่ากลาง "c" ซึ่งจะอยู่ระหว่าง "a" และ "b" และค่าของ f (c) จะเท่ากับ 0.

โดยการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีของโบลซาโนเราสามารถรู้ได้ว่าทุกฟังก์ชั่น f ต่อเนื่องที่กำหนดไว้ในช่วง [a, b], โดยที่ f (a)_{* * * *}f (b) น้อยกว่า 0 จะมีอย่างน้อยหนึ่งรูท "c" ของฟังก์ชันนั้นภายในช่วงเวลา (a, b).

ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้กำหนดจำนวนของจุดที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่เปิดนั้นเพียงระบุว่ามีอย่างน้อย 1 จุด.

แสดง

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของโบลซาโน่มันถูกสันนิษฐานว่าไม่มีการสูญเสียความสามารถทั่วไปที่ f (a) < 0 y f(b) > 0; ด้วยวิธีดังกล่าวอาจมีหลายค่าระหว่าง "a" และ "b" ซึ่ง f (x) = 0 แต่คุณเพียงแค่ต้องแสดงให้เห็นว่ามี.

เริ่มต้นด้วยการประเมิน f ที่จุดกึ่งกลาง (a + b) / 2 ถ้า f ((a + b) / 2) = 0 การทดสอบจะสิ้นสุดที่นี่ มิฉะนั้น f ((a + b) / 2) จะเป็นค่าบวกหรือลบ.

เลือกหนึ่งในครึ่งของช่วงเวลา [a, b] ซึ่งสัญญาณของฟังก์ชันที่ประเมินที่ปลายจะแตกต่างกัน ช่วงเวลาใหม่นี้จะเป็น [a1, b1].

ทีนี้ถ้า f ประเมินที่จุดกึ่งกลางของ [a1, b1] ไม่ใช่ศูนย์แล้วการดำเนินการเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้จะถูกดำเนินการ นั่นคือครึ่งหนึ่งของช่วงเวลานี้ที่ตรงกับเงื่อนไขของสัญญาณถูกเลือก เป็นช่วงเวลาใหม่นี้ [a2, b2].

หากกระบวนการนี้ยังคงดำเนินต่อไปจะมีการสืบทอดสองครั้งคือ an และ bn เช่น:

an กำลังเพิ่มขึ้นและ bn กำลังลดลง:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

หากคุณคำนวณความยาวของแต่ละช่วงเวลา [ai, bi] คุณจะต้อง:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

ดังนั้นข้อ จำกัด เมื่อ n มีแนวโน้มว่าอนันต์ของ (bn-an) เท่ากับ 0.

การใช้ที่ an เพิ่มขึ้นและมีขอบเขตและ bn ลดลงและมีขอบเขตจะต้องมีค่า "c" เช่นนั้น:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

ขีด จำกัด ของคือ "c" และขีด จำกัด ของ bn ก็คือ "c" ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่δ> 0 จะมี "n" อยู่เสมอดังนั้นช่วงเวลา [an, bn] จะอยู่ภายในช่วงเวลา (c-δ, c + δ).

ตอนนี้มันจะต้องแสดงให้เห็นว่า f (c) = 0.

หาก f (c)> 0 ดังนั้นเมื่อ f เป็นแบบต่อเนื่องจะมีε> 0 ซึ่ง f นั้นเป็นค่าบวกตลอดช่วงเวลา (c-ε, c + ε) อย่างไรก็ตามตามที่ระบุไว้ข้างต้นมีค่า "n" เช่นที่การเปลี่ยนแปลง f ลงชื่อเข้าใช้ [an, bn] และนอกจากนี้ [an, bn] มีอยู่ภายใน (c-ε, c + ε), ความขัดแย้งคืออะไร.

ถ้า f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 เช่นนั้น f เป็นค่าลบตลอดช่วงเวลา (c-ε, c + ε); แต่มีค่าเป็น "n" เช่นนี้ซึ่ง f เปลี่ยนเครื่องหมายใน [an, bn] ปรากฎว่า [an, bn] อยู่ใน (c-ε, c + ε) ซึ่งเป็นความขัดแย้ง.

ดังนั้น f (c) = 0 และนี่คือสิ่งที่เราต้องการแสดงให้เห็น.

มีไว้เพื่ออะไร??

จากการตีความเชิงกราฟิกทฤษฎีบทของโบลซาโนถูกใช้เพื่อค้นหารูตหรือศูนย์ในฟังก์ชันต่อเนื่องผ่านการแบ่งครึ่ง (ประมาณ) ซึ่งเป็นวิธีการค้นหาแบบเพิ่มหน่วยที่แบ่งช่วงเวลาเป็น 2 เสมอ.

จากนั้นใช้ช่วงเวลา [a, c] หรือ [c, b] เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายและทำซ้ำกระบวนการจนกว่าช่วงเวลานั้นจะเล็กลงและเล็กลงเพื่อให้คุณสามารถเข้าถึงค่าที่คุณต้องการ นั่นคือค่าที่ฟังก์ชั่นสร้าง 0.

โดยสรุปเพื่อนำทฤษฎีบทของโบลซาโนมาใช้และหารากให้คั่นค่าศูนย์ของฟังก์ชันหรือให้คำตอบกับสมการโดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

- มันได้รับการตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา [a, b].

- หากไม่ได้กำหนดช่วงเวลาหนึ่งควรพบว่าฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องกันหรือไม่.

- มันได้รับการตรวจสอบว่าสุดขั้วของช่วงเวลาให้สัญญาณตรงข้ามเมื่อทำการประเมินใน f.

- หากไม่ได้รับสัญญาณตรงข้ามช่วงเวลาควรถูกแบ่งออกเป็นสองช่วงย่อยโดยใช้จุดกึ่งกลาง.

- ประเมินฟังก์ชั่นที่จุดกึ่งกลางและตรวจสอบว่าสมมติฐานของโบลซาโนตรงตามที่ f (a) _{* * * *} f (b) < 0.

- ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ของค่าที่พบกระบวนการจะทำซ้ำกับช่วงย่อยใหม่จนกว่าสมมติฐานที่กล่าวถึงจะได้รับการเติมเต็ม.

การออกกำลังกายที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

ตรวจสอบว่าฟังก์ชั่น f (x) = x² - 2 มีทางออกจริงอย่างน้อยหนึ่งรายการในช่วงเวลา [1,2].

ทางออก

เรามีฟังก์ชั่น f (x) = x² - 2. เนื่องจากเป็นพหุนามก็หมายความว่ามันจะต่อเนื่องในช่วงเวลาใด ๆ.

คุณจะถูกขอให้ตรวจสอบว่าคุณมีทางออกที่แท้จริงในช่วงเวลา [1, 2] หรือไม่ดังนั้นตอนนี้คุณเพียงแค่เปลี่ยนจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาในฟังก์ชั่นเพื่อรับรู้สัญญาณของสิ่งเหล่านี้และรู้ว่าพวกเขาตรงตามเงื่อนไข

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (ลบ)

f (2) = 2² - 2 = 2 (บวก)

ดังนั้นเครื่องหมายของ f (1) ≠ sign f (2).

สิ่งนี้ทำให้มั่นใจได้ว่ามี "c" อย่างน้อยหนึ่งจุดที่เป็นของช่วงเวลา [1,2] โดยที่ f (c) = 0.

ในกรณีนี้ค่าของ "c" สามารถคำนวณได้ง่ายดังนี้:

x² - 2 = 0

x = ±√2.

ดังนั้น√2≈ 1,4 จึงเป็นของช่วง [1,2] และเป็นไปตามที่ f (√2) = 0.

แบบฝึกหัดที่ 2

พิสูจน์ว่าสมการ x⁵ + x + 1 = 0 มีทางออกจริงอย่างน้อยหนึ่งรายการ.

ทางออก

สิ่งแรกที่ทราบว่า f (x) = x⁵ + x + 1 เป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่งหมายความว่ามันจะต่อเนื่องในจำนวนจริงทั้งหมด.

ในกรณีนี้จะไม่มีการกำหนดช่วงเวลาดังนั้นควรเลือกค่าโดยสังหรณ์ใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งใกล้กับ 0 เพื่อประเมินฟังก์ชันและค้นหาการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณ:

หากคุณใช้ช่วงเวลา [0, 1] คุณจะต้อง:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

เนื่องจากไม่มีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายกระบวนการจะถูกทำซ้ำด้วยช่วงเวลาอื่น.

หากคุณใช้ช่วงเวลา [-1, 0] คุณจะต้อง:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

ในช่วงเวลานี้มีการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณ: สัญญาณของ f (-1) ≠สัญญาณของ f (0) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชั่น f (x) = x⁵ + x + 1 มีรากแท้จริง "c" อย่างน้อยหนึ่งช่วง [-1, 0] เช่นนั้น f (c) = 0 กล่าวอีกนัยหนึ่งมันเป็นความจริงที่ว่า x⁵ + x + 1 = 0 มีทางออกที่แท้จริงในช่วงเวลา [-1,0].

การอ้างอิง

1. Bronshtein I, S. K. (1988) คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักเรียน ... MIR บรรณาธิการ.
2. George, A. (1994) คณิตศาสตร์และจิตใจ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.
3. Ilín V, P. E. (1991) การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ ในสามเล่ม ...
4. JesúsGómez, F. G. (2003) ครูระดับมัธยมศึกษา เล่มที่สอง MAD.
5. Mateos, M. L. (2013) คุณสมบัติพื้นฐานของการวิเคราะห์ใน R. Editores, 20 ธ.ค..
6. Piskunov, N. (1980) แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรั ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005) คณิตศาสตร์สำหรับการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ เฟลิกซ์วาเรลา.
8. William H. Barker, R. H. (s.f. ) Symmetry อย่างต่อเนื่อง: จาก Euclid ถึง Klein คณิตศาสตร์อเมริกัน.