คำอธิบายผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นและการออกกำลังกายแก้ไข

ผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น มันเป็นการดำเนินงานเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งมีการแสดงพหุนามหลายรายการซึ่งไม่จำเป็นต้องได้รับการแก้ไขแบบดั้งเดิม แต่ด้วยความช่วยเหลือของกฎบางอย่างคุณสามารถค้นหาผลลัพธ์ของพวกเขาได้.

พหุนามมีการคูณด้วยตัวเองดังนั้นพวกเขาจึงอาจมีคำศัพท์และตัวแปรจำนวนมาก เพื่อให้กระบวนการสั้นลงจึงใช้กฎของผลิตภัณฑ์ที่น่าทึ่งซึ่งทำให้สามารถทำการคูณได้โดยไม่ต้องไปตามคำ.

ดัชนี

• 1 ผลิตภัณฑ์และตัวอย่างเด่น
  • 1.1 ทวินามกำลังสอง
  • 1.2 ผลิตภัณฑ์ของทวินามทวิภาค
  • 1.3 ผลิตภัณฑ์สองทวินามที่มีศัพท์ทั่วไป
  • 1.4 พหุนามกำลังสอง
  • 1.5 ทวินามกับลูกบาศก์
  • 1.6 Bucket of trinomial
• 2 แบบฝึกหัดแก้ไขสำหรับผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น
  • 2.1 การออกกำลังกาย 1
  • 2.2 การออกกำลังกาย 2
• 3 อ้างอิง

ผลิตภัณฑ์และตัวอย่างเด่น

ผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นแต่ละชนิดคือสูตรที่เกิดจากการแยกตัวประกอบประกอบด้วยพหุนามประกอบด้วยคำศัพท์ต่าง ๆ เช่นทวินามหรือ trinomials เรียกว่าปัจจัย.

ปัจจัยเป็นพื้นฐานของพลังและมีเลขชี้กำลัง เมื่อปัจจัยคูณต้องเพิ่มเลขชี้กำลัง.

มีสูตรผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นหลายอย่างบางสูตรใช้มากกว่าสูตรอื่นขึ้นอยู่กับพหุนามและมีดังต่อไปนี้:

ทวินามกำลังสอง

มันคือการทวีคูณของทวินามด้วยตัวเองซึ่งแสดงออกในรูปของพลังงานซึ่งมีการเพิ่มหรือลบเทอม:

ทวินามของผลรวมถึงตาราง: เท่ากับสแควร์ของเทอมแรก, บวกสองคูณผลคูณของเทอม, บวกสแควร์ของเทอมที่สอง มันจะแสดงดังต่อไปนี้:

(a + b)² = (a + b) _{* * * *} (a + b).

รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าการพัฒนาผลิตภัณฑ์เป็นไปตามกฎดังกล่าวข้างต้น ผลที่ได้คือการขนานนามของสแควร์ที่สมบูรณ์แบบ.

ตัวอย่างที่ 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

ตัวอย่างที่ 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4a) _{* * * *} 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 ab + 4b².

ข ทวินามของการลบกำลังสอง: กฎเดียวกันนี้ใช้กับทวินามของผลรวมเฉพาะในกรณีนี้เทอมที่สองจะเป็นค่าลบ สูตรมีดังต่อไปนี้:

(a - b)² = [(a) + (- b)]²

(a - b)² = a² +2 _{* * * *} (-b) + (-b)²

(a - b)²  = a² - 2ab + b².

ตัวอย่างที่ 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _{* * * *} 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36.

ผลิตภัณฑ์ของ binomials คอนจูเกต

ทวินามสองอันจะถูกผันเมื่อเงื่อนไขที่สองของแต่ละสัญญาณมีความแตกต่างกันนั่นคือที่ของอันแรกนั้นเป็นค่าบวก แก้ปัญหาโดยการเพิ่มจำนวนสแควร์ monomy และลบออก สูตรมีดังต่อไปนี้:

(a + b) _{* * * *} (a - b)

ในรูปต่อไปนี้ผลิตภัณฑ์ของทวินามแบบทวินามสองคู่ได้รับการพัฒนาซึ่งจะสังเกตได้ว่าผลลัพธ์คือความแตกต่างของกำลังสอง.

ตัวอย่างที่ 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² - 9b².

ผลิตภัณฑ์สองทวินามที่มีศัพท์ทั่วไป

มันเป็นหนึ่งในผลิตภัณฑ์ที่มีความซับซ้อนและใช้น้อยที่สุดเนื่องจากเป็นการคูณของทวินามสองอันที่มีคำศัพท์ร่วมกัน กฎระบุสิ่งต่อไปนี้:

• กำลังสองของคำทั่วไป.
• บวกเพิ่มคำที่ไม่ธรรมดาแล้วคูณด้วยคำทั่วไป.
• บวกผลรวมของการคูณคำศัพท์ที่ไม่ธรรมดา.

มันมีอยู่ในสูตร: (x + a) _{* * * *} (x + b) และได้รับการพัฒนาตามที่แสดงในภาพ ผลที่ได้คือ trinomial กำลังสองไม่สมบูรณ์.

(x + 6) _{* * * *} (x + 9) = x² + (6 + 9) _{* * * *} x + (6) _{* * * *} 9)

(x + 6) _{* * * *} (x + 9) = x² + 15x + 54.

มีความเป็นไปได้ที่ระยะที่สอง (คำที่แตกต่าง) เป็นค่าลบและสูตรของมันมีดังต่อไปนี้: (x + a) _{* * * *} (x - b).

ตัวอย่างที่ 2

(7x + 4) _{* * * *} (7x - 2) = (7x _{* * * *} 7x) + (4 - 2)_{* * * *} 7x + (4 _{* * * *} -2)

(7x + 4) _{* * * *} (7x - 2) = 49x² + (2)_{* * * *} 7x - 8

(7x + 4) _{* * * *} (7x - 2) = 49x² + 14x - 8.

นอกจากนี้ยังอาจเป็นกรณีที่คำศัพท์ทั้งสองต่างกันเป็นลบ สูตรจะเป็น: (x - a) _{* * * *} (x - b).

ตัวอย่างที่ 3

(3b - 6) _{* * * *} (3b - 5) = (3b _{* * * *} 3b) + (-6 - 5)_{* * * *} (3b) + (-6 _{* * * *} -5)

(3b - 6) _{* * * *} (3b - 5) = 9b² + (-11) _{* * * *} (3b) + (30)

(3b - 6) _{* * * *} (3b - 5) = 9b² - 33b + 30.

พหุนามสแควร์

ในกรณีนี้มีคำศัพท์มากกว่าสองคำและเพื่อพัฒนาคำศัพท์แต่ละคำจะถูกยกกำลังสองและรวมเข้าด้วยกันโดยการคูณคำสองคำกับอีกคำหนึ่งเป็นสองเท่า สูตรคือ: (a + b + c)² และผลลัพธ์ของการดำเนินการเป็น trinomial กำลังสอง.

ตัวอย่างที่ 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2y)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4Y² + 16Z² + 12xy + 24xz + 16yz.

ทวินามกับลูกบาศก์

มันเป็นผลิตภัณฑ์ที่ซับซ้อนที่โดดเด่น ในการพัฒนาให้คูณทวินามด้วยกำลังสองด้วยวิธีต่อไปนี้:

สำหรับทวินามต่อลูกบาศก์ของผลรวม:

• ลูกบาศก์ของเทอมแรกบวกกับสามของสแควร์ของเทอมแรกทีสอง.
• บวกสามเทอมแรกสำหรับสองกำลังสอง.
• บวกกับลูกบาศก์ของเทอมที่สอง.

(a + b)³ = (a + b) _{* * * *} (a + b)²

(a + b)³ = (a + b) _{* * * *} (ก² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 2²b + ab² + บริติชแอร์เวย์² + 2AB² + ข³

(a + b)³ = a³ + 3²b + 3ab² + ข³.

ตัวอย่างที่ 1

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_{* * * *}(3) + 3 (a)_{* * * *}(3)² + (3)³

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_{* * * *}(3) + 3 (a)_{* * * *}(9) + 27

(a + 3)³ = a³ + 9 ก² + 27a + 27.

ข สำหรับทวินามต่อลูกบาศก์ของการลบ:

• ลูกบาศก์ของเทอมแรกลบด้วยสามของสแควร์ของเทอมแรกทีสอง.
• บวกสามเทอมแรกสำหรับสองกำลังสอง.
• ลดคิวบ์ของเทอมที่สอง.

(a - b)³ = (a - b) _{* * * *} (a - b)²

(a - b)³ = (a - b) _{* * * *} (ก² - 2ab + b²)

(a - b)³ = a³ - 2²b + ab² - บริติชแอร์เวย์² + 2AB² - ข³

(a - b)³ = ไปยัง³ - 3²b + 3ab² - ข³.

ตัวอย่างที่ 2

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_{* * * *}(-5) + 3 (b)_{* * * *}(-5)² + (-5)³

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_{* * * *}(-5) + 3 (b)_{* * * *}(25) -125

(b - 5)³ = b³ - 15b² +75b - 125.

ถังของ trinomial

มันพัฒนาโดยการคูณมันด้วยกำลังสองของมัน มันเป็นผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นกว้างขวางมากเนื่องจากมี 3 คำที่ยกขึ้นเป็นคิวบ์บวกสามครั้งแต่ละเทอมกำลังสองคูณด้วยแต่ละเทอมรวมกับผลคูณของเทอมทั้งสาม เห็นได้ในวิธีที่ดีกว่า:

(a + b + c)³ = (a + b + c) _{* * * *} (a + b + c)²

(a + b + c)³ = (a + b + c) _{* * * *} (ก² + ข² + ค² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ = A³ + ข³ + ค³ + 3²b + 3ab² + 3²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6ABC.

ตัวอย่างที่ 1

การออกกำลังกายที่ได้รับการแก้ไขของผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น

แบบฝึกหัดที่ 1

พัฒนาทวินามต่อไปนี้เป็นคิวบ์: (4x - 6)³.

ทางออก

จำได้ว่าทวินามของคิวบ์เท่ากับเทอมแรกที่ยกให้คิวบิกน้อยสามของเทอมแรกในเทอมที่สอง; บวกเทอมสามของเทอมแรก, โดยสแควร์สอง, ลบลูกบาศก์ของเทอมที่สอง.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _{* * * *} (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_{* * * *} (36) - 36

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432x - 36.

แบบฝึกหัดที่ 2

พัฒนาทวินามต่อไปนี้: (x + 3) (x + 8).

ทางออก

มีทวินามที่มีคำทั่วไปซึ่งก็คือ x และคำที่สองเป็นบวก ในการพัฒนาคุณจะต้องยกกำลังสองเทอมสามัญรวมกับผลรวมของเทอมที่ไม่ธรรมดา (3 และ 8) จากนั้นคูณมันด้วยเทอมทั่วไปรวมกับผลรวมของการคูณเทอมที่ไม่ธรรมดา.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_{* * * *}8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24.

การอ้างอิง

1. Angel, A. R. (2007). พีชคณิตเบื้องต้น. การศึกษาของเพียร์สัน,.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
3. Das, S. (s.f. ). เลขบวก 8. สหราชอาณาจักร: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). พีชคณิตระดับต้นและระดับกลาง: วิธีการแบบรวม. ฟลอริดา: การเรียนรู้ Cengage.
5. Pérez, C. D. (2010) การศึกษาของเพียร์สัน.