พื้นฐานพีชคณิตเวกเตอร์, ขนาด, เวกเตอร์

พีชคณิตเวกเตอร์ เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่รับผิดชอบในการศึกษาระบบสมการเชิงเส้นเวกเตอร์เมทริกซ์ปริภูมิเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้น มันเกี่ยวข้องกับสาขาต่าง ๆ เช่นวิศวกรรมการแก้สมการเชิงอนุพันธ์การวิเคราะห์หน้าที่การวิจัยการดำเนินงานคอมพิวเตอร์กราฟิกและอื่น ๆ.

อีกพื้นที่หนึ่งที่ใช้พีชคณิตเชิงเส้นคือฟิสิกส์เพราะผ่านสิ่งนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อศึกษาปรากฏการณ์ทางกายภาพอธิบายพวกมันผ่านการใช้เวกเตอร์ สิ่งนี้ทำให้เกิดความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับจักรวาล.

ดัชนี

• 1 ความรู้พื้นฐาน
  • 1.1 เรขาคณิต
  • 1.2 การวิเคราะห์
  • 1.3 Axiomatically
• 2 ขนาด
  • 2.1 ขนาดเกลา
  • 2.2 ขนาดของเวกเตอร์
• 3 เวกเตอร์คืออะไร?
  • 3.1 โมดูล
  • 3.2 ที่อยู่
  • 3.3 ความรู้สึก
• 4 การจำแนกประเภทของเวกเตอร์
  • 4.1 เวกเตอร์คงที่
  • 4.2 เวกเตอร์ฟรี
  • 4.3 เวกเตอร์เลื่อน
• 5 คุณสมบัติของเวกเตอร์
  • 5.1 equipolentes Vectors
  • 5.2 เวกเตอร์ที่เทียบเท่ากัน
  • 5.3 ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์
  • 5.4 เวกเตอร์ตรงข้าม
  • 5.5 หน่วยเวกเตอร์
  • 5.6 Null Vector
• 6 ส่วนประกอบของเวกเตอร์
  • 6.1 ตัวอย่าง
• 7 การทำงานกับเวกเตอร์
  • 7.1 การเพิ่มและการลบเวกเตอร์
  • 7.2 การคูณเวกเตอร์
• 8 อ้างอิง

ฐานราก

พีชคณิตเวกเตอร์มาจากการศึกษาของ quaternions (ส่วนขยายของจำนวนจริง) 1, i, j, และ k, เช่นเดียวกับเรขาคณิตคาร์ทีเซียนเลื่อนโดย Gibbs และ Heaviside ซึ่งตระหนักว่าเวกเตอร์จะใช้เป็นเครื่องมือสำหรับ เป็นตัวแทนของปรากฏการณ์ทางกายภาพต่างๆ.

พีชคณิตเวกเตอร์ถูกศึกษาผ่านสามฐานราก:

เรขาคณิต

เวกเตอร์แสดงด้วยเส้นที่มีการวางแนวและการดำเนินการเช่นการบวกการลบและการคูณด้วยจำนวนจริงถูกกำหนดโดยวิธีทางเรขาคณิต.

วิเคราะห์

คำอธิบายของเวกเตอร์และการดำเนินการของพวกเขาจะทำกับตัวเลขที่เรียกว่าส่วนประกอบ คำอธิบายประเภทนี้เป็นผลมาจากการเป็นตัวแทนทางเรขาคณิตเพราะใช้ระบบพิกัด.

axiomatically

คำอธิบายของเวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นโดยไม่คำนึงถึงระบบพิกัดหรือการแสดงเรขาคณิตใด ๆ.

การศึกษาตัวเลขในอวกาศนั้นกระทำผ่านการเป็นตัวแทนในระบบอ้างอิงซึ่งสามารถเป็นหนึ่งหรือหลายมิติ ท่ามกลางระบบหลักคือ:

- ระบบหนึ่งมิติซึ่งเป็นเส้นที่จุดหนึ่ง (O) หมายถึงจุดกำเนิดและอีกจุดหนึ่ง (P) เป็นตัวกำหนดขนาด (ความยาว) และทิศทางของมัน:

- ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (สองมิติ) ซึ่งประกอบด้วยเส้นตั้งฉากสองเส้นที่เรียกว่าแกน x และแกน y ซึ่งผ่านจุดกำเนิดจุด (O) ด้วยวิธีนี้เครื่องบินถูกแบ่งออกเป็นสี่ส่วนเรียกว่าควอดเรนท์ ในกรณีนี้จุด (P) ในระนาบจะได้รับโดยระยะทางที่มีอยู่ระหว่างแกนและ P.

- ระบบพิกัดโพลาร์ (สองมิติ) ในกรณีนี้ระบบประกอบด้วยจุด O (จุดกำเนิด) ที่เรียกว่าขั้วและรังสีที่มีจุดกำเนิด O เรียกว่าแกนขั้วโลก ในกรณีนี้จุด P ของเครื่องบินโดยอ้างอิงกับเสาและแกนขั้วโลกจะได้รับจากมุม (Ɵ) ซึ่งเกิดขึ้นจากระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดและจุด P.

- ระบบสามมิติรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสร้างขึ้นโดยเส้นตั้งฉากสามเส้น (x, y, z) ที่มีจุดกำเนิดเป็นจุด O ในอวกาศ มีการสร้างระนาบพิกัดสามระนาบ: xy, xz และ yz; พื้นที่จะถูกแบ่งออกเป็นแปดภูมิภาคเรียกว่า octants การอ้างอิงจุด P ของอวกาศนั้นกำหนดโดยระยะทางที่มีอยู่ระหว่างระนาบกับ P.

เคาะ

ขนาดเป็นปริมาณทางกายภาพที่สามารถนับหรือวัดผ่านค่าตัวเลขเช่นในกรณีของปรากฏการณ์ทางกายภาพบางอย่าง อย่างไรก็ตามมันก็มักจะจำเป็นต้องสามารถอธิบายปรากฏการณ์เหล่านี้กับปัจจัยอื่น ๆ ที่ไม่ได้เป็นตัวเลข นั่นคือเหตุผลที่ขนาดถูกแบ่งออกเป็นสองประเภท:

ขนาดเกลา

มันคือปริมาณที่กำหนดและแทนด้วยตัวเลข นั่นคือโดยโมดูลพร้อมกับหน่วยของการวัด ตัวอย่างเช่น

a) เวลา: 5 วินาที.

b) มวล: 10 กก.

c) ปริมาตร: 40 มล.

d) อุณหภูมิ: 40ºC.

ขนาดเวกเตอร์

พวกมันคือปริมาณที่ถูกกำหนดและแสดงโดยโมดูลพร้อมกับหน่วยรวมทั้งความรู้สึกและทิศทาง ตัวอย่างเช่น

a) ความเร็ว: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) การเร่งความเร็ว: 13 m / s²; S 45º.

c) แรง: 280 N, 120º.

d) น้ำหนัก: -40 ĵ kg-f.

ขนาดเวกเตอร์แสดงด้วยกราฟิกโดยเวกเตอร์.

เวกเตอร์คืออะไร?

เวกเตอร์เป็นภาพกราฟิกของเวกเตอร์ขนาด กล่าวคือพวกมันเป็นส่วนของเส้นตรงที่ปลายสุดท้ายของพวกเขาคือปลายลูกศร.

สิ่งเหล่านี้ถูกกำหนดโดยโมดูลหรือความยาวส่วนของพวกเขาความรู้สึกของพวกเขาซึ่งถูกระบุด้วยปลายลูกศรและทิศทางของพวกเขาตามสายที่พวกเขาอยู่ จุดกำเนิดของเวกเตอร์นั้นรู้จักกันในชื่อจุดใช้งาน.

องค์ประกอบของเวกเตอร์มีดังต่อไปนี้:

โมดูล

มันคือระยะทางจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ซึ่งแสดงด้วยจำนวนจริงพร้อมหน่วย ตัวอย่างเช่น

| OM | = | A | = A = 6 ซม

ที่อยู่

มันคือการวัดมุมที่มีอยู่ระหว่างแกน x (จากบวก) และเวกเตอร์รวมถึงจุดสำคัญ (ทิศเหนือ, ทิศใต้, ทิศตะวันออกและทิศตะวันตก).

ความรู้สึก

มันถูกกำหนดโดยหัวลูกศรซึ่งอยู่ที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์ซึ่งบ่งบอกว่ามันอยู่ตรงไหน.

การจำแนกประเภทเวกเตอร์

โดยทั่วไปเวกเตอร์จัดเป็น:

เวกเตอร์คงที่

เป็นจุดที่แอปพลิเคชัน (จุดเริ่มต้น) ได้รับการแก้ไข กล่าวคือมันยังคงเชื่อมโยงกับจุดของพื้นที่เหตุผลว่าทำไมมันไม่สามารถถูกแทนที่ในเรื่องนี้.

ฟรีเวกเตอร์

มันสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระในอวกาศเพราะต้นกำเนิดของมันเคลื่อนที่ไปที่จุดใดก็ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนโมดูลความรู้สึกหรือทิศทาง.

เวกเตอร์เลื่อน

มันเป็นสิ่งที่สามารถเคลื่อนย้ายจุดกำเนิดของมันไปตามแนวการกระทำโดยไม่ต้องเปลี่ยนโมดูลความรู้สึกหรือทิศทางของมัน.

คุณสมบัติของเวกเตอร์

ในบรรดาคุณสมบัติหลักของเวกเตอร์มีดังต่อไปนี้:

เวกเตอร์ Equipolentes

พวกมันคือเวกเตอร์อิสระที่มีโมดูลทิศทาง (หรือขนานกัน) และรู้สึกว่าเวกเตอร์เลื่อนหรือเวกเตอร์คงที่.

เวกเตอร์ที่เทียบเท่า

มันเกิดขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวมีที่อยู่เดียวกัน (หรือขนานกัน) ความรู้สึกเดียวกันและแม้ว่าจะมีโมดูลและจุดการใช้งานที่แตกต่างกัน.

ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์

พวกเขามีโมดูลทิศทางและความรู้สึกที่เหมือนกันแม้ว่าจุดเริ่มต้นของพวกเขาจะแตกต่างกันซึ่งอนุญาตให้เวกเตอร์แบบขนานเคลื่อนที่โดยไม่มีผลกระทบ.

ฝั่งตรงข้ามเวกเตอร์

พวกเขาคือผู้ที่มีโมดูลและทิศทางเดียวกัน แต่ความรู้สึกของพวกเขาตรงกันข้าม.

หน่วยเวกเตอร์

มันเป็นสิ่งหนึ่งที่โมดูลเท่ากับหน่วย (1) สิ่งนี้ได้มาจากการหารเวกเตอร์ด้วยโมดุลและใช้เพื่อกำหนดทิศทางและความรู้สึกของเวกเตอร์ไม่ว่าจะอยู่ในระนาบหรือในอวกาศโดยใช้ฐานหรือเวกเตอร์ที่ทำให้เป็นสเกลปกติ

Null เวกเตอร์

มันเป็นโมดูลที่มีค่าเท่ากับ 0; กล่าวคือจุดกำเนิดและจุดเกิดของพวกเขาตรงจุดเดียวกัน.

ส่วนประกอบของเวกเตอร์

ส่วนประกอบของเวกเตอร์คือค่าเหล่านั้นของเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนของระบบอ้างอิง ขึ้นอยู่กับการสลายตัวของเวกเตอร์ซึ่งสามารถอยู่ในแกนสองหรือสามมิติส่วนประกอบสองหรือสามจะได้รับตามลำดับ.

ส่วนประกอบของเวกเตอร์เป็นจำนวนจริงซึ่งอาจเป็นบวกลบหรือเป็นศูนย์ได้ (0).

ดังนั้นถ้าเรามีเวกเตอร์Āซึ่งกำเนิดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในระนาบ xy (สองมิติ) การฉายภาพบนแกน x คือĀxและการฉายบนแกน y คือĀy ดังนั้นเวกเตอร์จะแสดงเป็นผลรวมขององค์ประกอบเวกเตอร์ของมัน.

ตัวอย่าง

ตัวอย่างแรก

เรามีเวกเตอร์Āที่เริ่มต้นจากจุดกำเนิดและพิกัดของจุดสิ้นสุดนั้นได้รับ ดังนั้นเวกเตอร์Ā = (Ā_x;_และ) = (4; 5) ซม.

ถ้าเวกเตอร์Āทำหน้าที่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดสามเหลี่ยมสามมิติ (ในอวกาศ) x, y, z, ไปยังอีกจุดหนึ่ง (P) การประมาณบนแกนของมันจะเป็นĀx, ĀyและĀz; ดังนั้นเวกเตอร์จะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์องค์ประกอบสามตัว.

ตัวอย่างที่สอง

เรามีเวกเตอร์Āที่เริ่มต้นจากจุดกำเนิดและพิกัดของจุดสิ้นสุดนั้นได้รับ ดังนั้นเวกเตอร์Ā = (A_x;_{และ; Z}) = (4; 6; -3) ซม.

เวกเตอร์ที่มีพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถแสดงได้ในรูปของเวกเตอร์ฐาน สำหรับการนั้นแต่ละพิกัดเท่านั้นที่จะถูกคูณด้วยเวกเตอร์หน่วยของมันในแบบที่สำหรับระนาบและพื้นที่พวกมันจะเป็นดังนี้:

สำหรับเครื่องบิน: Ā = A_xฉัน + A_และJ.

สำหรับพื้นที่: Ā = A_xฉัน + A_และj + A_Zk.

ประกอบกิจการเกี่ยวกับพาหะ

มีหลายขนาดที่มีโมดูลความรู้สึกและทิศทางเช่นความเร่งความเร็วความเร็วการกระจัดกระจายแรงและอื่น ๆ.

สิ่งเหล่านี้ถูกนำไปใช้ในด้านวิทยาศาสตร์ต่าง ๆ และเพื่อนำไปใช้ในบางกรณีจำเป็นต้องดำเนินการเช่นการบวกการลบการคูณและการหารเวกเตอร์และสเกลาร์.

การบวกและการลบเวกเตอร์

การบวกและลบของเวกเตอร์ถือเป็นการดำเนินงานเชิงพีชคณิตเดียวเนื่องจากการลบสามารถเขียนเป็นผลรวมได้ ตัวอย่างเช่นการลบเวกเตอร์ĀและĒสามารถแสดงเป็น:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

มีวิธีการที่แตกต่างกันในการดำเนินการบวกและการลบเวกเตอร์: พวกเขาสามารถเป็นกราฟิกหรือการวิเคราะห์.

วิธีการกราฟิก

ใช้เมื่อเวกเตอร์มีโมดูลความรู้สึกและทิศทาง เมื่อต้องการทำเช่นนี้เส้นจะถูกวาดในรูปแบบที่ช่วยในการกำหนดผลลัพธ์ในภายหลัง ในบรรดาที่รู้จักกันดีที่สุดดังต่อไปนี้โดดเด่น:

วิธีการสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในการเพิ่มหรือลบเวกเตอร์สองตัวจุดจะถูกเลือกร่วมกันบนแกนพิกัด - ซึ่งจะเป็นตัวแทนของจุดกำเนิดของเวกเตอร์ - โดยรักษาโมดุลทิศทางและทิศทางของมัน.

จากนั้นเส้นจะถูกลากขนานกับเวกเตอร์เพื่อสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ที่ได้คือเส้นทแยงมุมที่ออกจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์ทั้งสองไปจนถึงจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

วิธีสามเหลี่ยม

ในวิธีนี้เวกเตอร์จะถูกวางไว้ถัดจากอีกอันหนึ่งโดยคงไว้ซึ่งโมดูลทิศทางและทิศทาง เวกเตอร์ที่ได้จะเป็นผลรวมของต้นกำเนิดของเวกเตอร์แรกกับการสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง:

วิธีการวิเคราะห์

คุณสามารถเพิ่มหรือลบเวกเตอร์สองตัวหรือมากกว่าได้ด้วยวิธีเรขาคณิตหรือเวกเตอร์:

วิธีการทางเรขาคณิต

เมื่อเวกเตอร์สองรูปเป็นสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านขนานโมดูลัสและทิศทางของเวกเตอร์ที่ได้จะถูกกำหนดโดยใช้กฎของไซน์และโคไซน์ ดังนั้นโมดูลของผลเวกเตอร์ที่ใช้กฎของโคไซน์และโดยวิธีสามเหลี่ยมได้รับจาก:

ในสูตรนี้βคือมุมตรงข้ามกับด้าน R และนี่เท่ากับ180º - Ɵ.

ในทางตรงกันข้ามโดยวิธีสี่เหลี่ยมด้านขนานโมดูลเวกเตอร์ที่ได้คือ:

ทิศทางของเวกเตอร์ที่ได้จะถูกกำหนดโดยมุม (α) ซึ่งก่อให้เกิดผลลัพธ์กับเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่ง.

ตามกฎของไซน์การบวกหรือลบเวกเตอร์สามารถทำได้โดยวิธีสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านขนานรู้ว่าในทุก ๆ ด้านสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับหน้าอกของมุม:

วิธีการของเวกเตอร์

วิธีนี้สามารถทำได้สองวิธี: ขึ้นอยู่กับพิกัดสี่เหลี่ยมหรือเวกเตอร์ฐาน.

มันสามารถทำได้โดยการถ่ายโอนเวกเตอร์ที่จะเพิ่มหรือลบไปที่ต้นกำเนิดของพิกัดแล้วประมาณการทั้งหมดในแต่ละแกนสำหรับเครื่องบิน (x, y) หรือช่องว่าง (x, และ, z); ในที่สุดส่วนประกอบของพีชคณิตจะถูกเพิ่มเข้ามา ดังนั้นสำหรับเครื่องบินมันคือ:

โมดูลของเวกเตอร์ที่ได้คือ:

ในขณะที่พื้นที่มันเป็น:

โมดูลของเวกเตอร์ที่ได้คือ:

เมื่อดำเนินการกับผลรวมเวกเตอร์คุณสมบัติหลายประการจะถูกนำไปใช้ซึ่ง ได้แก่ :

- คุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง: ผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลงโดยการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวก่อนจากนั้นจึงเพิ่มเวกเตอร์ที่สาม.

- Commutative property: ลำดับของเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์.

- สมบัติการกระจายเวกเตอร์: ถ้าสเกลาร์คูณด้วยผลรวมของเวกเตอร์สองตัวมันจะเท่ากับการคูณสเกลาร์ของแต่ละเวกเตอร์.

- คุณสมบัติการกระจายสเกลาร์: หากเวกเตอร์คูณด้วยผลรวมของสองสเกลาร์ก็เท่ากับการคูณเวกเตอร์ของสเกลาร์แต่ละตัว.

การคูณเวกเตอร์

การคูณหรือผลคูณของเวกเตอร์สามารถทำได้เช่นการบวกหรือลบ แต่ในการทำเช่นนั้นจะสูญเสียความหมายทางกายภาพและแทบจะไม่เคยพบในแอปพลิเคชันเลย ดังนั้นโดยทั่วไปผลิตภัณฑ์ที่ใช้มากที่สุดคือผลิตภัณฑ์สเกลาร์และเวกเตอร์.

ผลิตภัณฑ์เกลา

มันเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นผลคูณของสองเวกเตอร์ เมื่อโมดูลของเวกเตอร์สองตัวคูณด้วยโคไซน์ของมุมเล็ก ๆ ที่เกิดขึ้นระหว่างพวกมันจะได้สเกลาร์มา ในการวางผลิตภัณฑ์สเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์สองตัวจุดจะถูกวางไว้ระหว่างพวกมันและนี่สามารถนิยามได้เป็น:

ค่าของมุมที่มีอยู่ระหว่างเวกเตอร์สองตัวนั้นขึ้นอยู่กับว่ามันขนานหรือตั้งฉาก ดังนั้นคุณต้อง:

- หากเวกเตอร์ขนานกันและมีความรู้สึกเหมือนกันโคไซน์0º = 1.

- ถ้าเวกเตอร์นั้นขนานกันและมีความรู้สึกตรงกันข้ามโคไซน์180º = -1.

- ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉากตั้งฉากโคไซน์90º = 0.

มุมนั้นสามารถคำนวณได้โดยรู้ว่า:

ผลิตภัณฑ์เซนต์คิตส์และเนวิสมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

- Commutative property: ลำดับของเวกเตอร์ไม่ได้เปลี่ยนสเกลาร์.

-คุณสมบัติการกระจาย: ถ้าสเกลาร์ถูกคูณด้วยผลรวมของเวกเตอร์สองตัวมันจะเท่ากับการคูณสเกลาร์สำหรับแต่ละเวกเตอร์.

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

การคูณเวกเตอร์หรือผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัว A และ B จะส่งผลให้เวกเตอร์ C ใหม่และแสดงโดยใช้การไขว้ระหว่างเวกเตอร์:

เวกเตอร์ใหม่จะมีลักษณะเป็นของตัวเอง ด้วยวิธีนี้:

- ทิศทาง: เวกเตอร์ใหม่นี้จะตั้งฉากกับระนาบซึ่งถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ดั้งเดิม.

- ความรู้สึก: สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยกฎของมือขวาซึ่งเวกเตอร์ A หมุนไปทาง B โดยชี้ทิศทางของการหมุนด้วยนิ้วมือและด้วยนิ้วหัวแม่มือความรู้สึกของเวกเตอร์จะถูกทำเครื่องหมาย.

- โมดูล: ถูกกำหนดโดยการคูณของโมดูลของเวกเตอร์ AxB โดยไซน์ของมุมที่เล็กที่สุดที่มีอยู่ระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ มันแสดง:

ค่าของมุมที่มีอยู่ระหว่างเวกเตอร์สองตัวนั้นขึ้นอยู่กับว่ามันขนานหรือตั้งฉาก จากนั้นเป็นไปได้ที่จะยืนยันสิ่งต่อไปนี้:

- หากเวกเตอร์ขนานกันและมีความรู้สึกเดียวกันบาป 0, = 0.

- ถ้าเวกเตอร์นั้นขนานกันและมีความรู้สึกตรงกันข้ามไซน์180º = 0.

- ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก, ไซน์90º = 1.

เมื่อผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แสดงในรูปของเวกเตอร์ฐานนั้นจะต้อง:

ผลิตภัณฑ์เซนต์คิตส์และเนวิสมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

- มันไม่ใช่การสลับ: ลำดับของเวกเตอร์จะเปลี่ยนสเกลาร์.

- คุณสมบัติการกระจาย: ถ้าสเกลาร์ถูกคูณด้วยผลรวมของเวกเตอร์สองตัวมันจะเท่ากับการคูณสเกลาร์สำหรับแต่ละเวกเตอร์.

การอ้างอิง

1. Altman Naomi, M. K. (2015) "การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย" วิธีธรรมชาติ .
2. Angel, A. R. (2007) พีชคณิตเบื้องต้น การศึกษาของเพียร์สัน,.
3. Arthur Goodman, L. H. (1996) พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การศึกษาของเพียร์สัน.
4. Gusiatnikov, P. , & Reznichenko, S. (s.f. ) Algebr to Vectorial ในตัวอย่าง มอสโก: เมียร์.
5. เลย์, D. C. (2007) พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ การศึกษาของเพียร์สัน.
6. Llinares, J. F. (2009) พีชคณิตเชิงเส้น: ปริภูมิเวกเตอร์ ปริภูมิแบบยุคลิด มหาวิทยาลัยอลิกันเต้.
7. Mora, J. F. (2014) พีชคณิตเชิงเส้น ปิตุภูมิ.