ต้นกำเนิดตรรกะทางคณิตศาสตร์สิ่งที่ศึกษาประเภท

ตรรกะทางคณิตศาสตร์ หรือสัญลักษณ์เชิงตรรกะเป็นภาษาคณิตศาสตร์ที่รวมถึงเครื่องมือที่จำเป็นโดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สามารถยืนยันหรือปฏิเสธได้.

เป็นที่ทราบกันดีว่าในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีความคลุมเครือ รับข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์นี้ถูกต้องหรือเพียงแค่ไม่ได้ มันไม่สามารถเป็นเท็จและเป็นจริงในเวลาเดียวกัน.

แง่มุมหนึ่งของคณิตศาสตร์คือมันมีภาษาที่เป็นทางการและเข้มงวดซึ่งความถูกต้องของการใช้เหตุผลสามารถกำหนดได้ มันคืออะไรที่ทำให้การใช้เหตุผลบางอย่างหรือหลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สามารถหักล้างได้? นั่นคือเหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับ.

ดังนั้นตรรกะเป็นวินัยของคณิตศาสตร์ที่รับผิดชอบการศึกษาการใช้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์และการสาธิตและจัดเตรียมเครื่องมือเพื่อให้สามารถสรุปได้อย่างถูกต้องจากข้อความก่อนหน้าหรือข้อเสนอ.

ในการทำสิ่งนี้มันใช้ประโยชน์จากสัจพจน์และด้านคณิตศาสตร์อื่น ๆ ที่จะได้รับการพัฒนาในภายหลัง.

ดัชนี

• 1 ต้นกำเนิดและประวัติศาสตร์
  • 1.1 อริสโตเติล
• 2 อะไรคือการศึกษาตรรกะทางคณิตศาสตร์?
  • 2.1 ข้อเสนอ
  • 2.2 ตารางความจริง
• 3 ประเภทของตรรกะทางคณิตศาสตร์
  • 3.1 พื้นที่
• 4 อ้างอิง

กำเนิดและประวัติศาสตร์

วันที่แน่นอนที่เกี่ยวกับตรรกะในหลาย ๆ ด้านของคณิตศาสตร์ไม่แน่นอน อย่างไรก็ตามบรรณานุกรมส่วนใหญ่ในเรื่องติดตามร่องรอยที่มาของเรื่องนี้ไปยังกรีซโบราณ.

อริสโตเติล

จุดเริ่มต้นของการรักษาตรรกะอย่างเข้มงวดนั้นมีสาเหตุมาจากอริสโตเติลผู้เขียนชุดของงานตรรกะซึ่งต่อมาถูกรวบรวมและพัฒนาโดยนักปรัชญาและนักวิทยาศาสตร์ที่แตกต่างกันจนถึงยุคกลาง นี่อาจถือได้ว่าเป็น "ตรรกะเก่า".

จากนั้นในสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันในยุคสมัยไลบนิซถูกย้ายโดยความปรารถนาอย่างลึกล้ำในการสร้างภาษาสากลด้วยเหตุผลทางคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์อื่น ๆ เช่น Gottlob Frege และ Giuseppe Peano ได้รับอิทธิพลอย่างมาก ในหมู่พวกเขาสัจพจน์ของ Peano ซึ่งกำหนดคุณสมบัติที่ขาดไม่ได้ของจำนวนธรรมชาติ.

นักคณิตศาสตร์จอร์จบูลและจอร์จคันทอร์ก็มีอิทธิพลอย่างมากในเวลานี้ด้วยการมีส่วนร่วมที่สำคัญในทฤษฎีเซตและตารางความจริงการเน้นในด้านอื่น ๆ พีชคณิตแบบบูล (โดยจอร์จบูล) และสัจพจน์ (โดย George Cantor).

นอกจากนี้ยังมีออกัสตัสเดอมอร์แกนด้วยกฎหมายที่รู้จักกันดีของมอร์แกนซึ่งพิจารณาปฏิเสธคำสันธานคำสันธานและเงื่อนไขระหว่างข้อเสนอกุญแจสำหรับการพัฒนาสัญลักษณ์ลอจิกและจอห์นเวนน์ที่มีชื่อเสียงเวนน์ไดอะแกรม.

ในศตวรรษที่ 20 ประมาณระหว่างปี 1910 และ 1913 เบอร์ทรานด์รัสเซิลและอัลเฟรดนอร์ ธ ไวท์เฮดโดดเด่นด้วยการตีพิมพ์ ปรินชิเปียคณิตศาสตร์, ชุดหนังสือที่รวบรวมพัฒนาและยืนยันชุดของสัจพจน์และผลลัพธ์เชิงตรรกะ.

การศึกษาตรรกะทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

ข้อเสนอ

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เริ่มต้นด้วยการศึกษาข้อเสนอ ข้อเสนอเป็นการยืนยันว่าไม่มีความคลุมเครือใด ๆ ที่สามารถพูดได้ว่าเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของข้อเสนอ:

• 2 + 4 = 6.
• 5²= 35.
• ในปี 1930 มีเหตุการณ์แผ่นดินไหวในยุโรป.

ข้อแรกเป็นข้อเสนอที่แท้จริงและข้อที่สองเป็นข้อเสนอที่ผิด ที่สามแม้ว่ามันจะเป็นไปได้ที่คนที่อ่านมันไม่ทราบว่ามันเป็นเรื่องจริงหรือในทันทีมันเป็นคำสั่งที่สามารถตรวจสอบและพิจารณาได้ว่ามันเกิดขึ้นจริงหรือไม่.

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของนิพจน์ที่ไม่ใช่ข้อเสนอ:

• เธอเป็นคนบลอนด์.
• 2x = 6.
• มาเล่นกัน!
• คุณชอบโรงหนังไหม?

ในข้อเสนอแรกไม่มีการระบุว่า "เธอ" เป็นใครดังนั้นจึงไม่สามารถยืนยันได้ ในข้อเสนอที่สองสิ่งที่แสดงโดย "x" ไม่ได้ระบุไว้ หากมีการกล่าวว่า 2x = 6 สำหรับจำนวนธรรมชาติ x ในกรณีนี้มันจะสอดคล้องกับข้อเสนอตามความเป็นจริงในความเป็นจริงเนื่องจากสำหรับ x = 3 จะได้รับการเติมเต็ม.

สองข้อความสุดท้ายไม่สอดคล้องกับข้อเสนอเนื่องจากไม่มีทางที่จะปฏิเสธหรือยืนยันข้อความเหล่านั้น.

ข้อเสนอสองข้อขึ้นไปสามารถรวมกัน (หรือเชื่อมต่อ) โดยใช้ตัวเชื่อมต่อที่รู้จัก (หรือตัวเชื่อมต่อ) เหล่านี้คือ:

• ปฏิเสธ: "ฝนไม่ตก".
• ความแตกแยก: "Luisa ซื้อถุงสีขาวหรือสีเทา".
• การเชื่อมต่อ: "4²= 16 และ 2 × 5 = 10 ".
• เงื่อนไข: "ถ้าฝนตกฉันจะไม่ไปโรงยิมช่วงบ่ายนี้".
• Biconditional: "ฉันไปโรงยิมเมื่อบ่ายนี้ถ้าและก็ต่อเมื่อฝนไม่ตก".

ข้อเสนอที่ไม่ได้มีการเชื่อมต่อใด ๆ ก่อนหน้านี้เรียกว่าข้อเสนอง่าย ๆ (หรืออะตอม) ตัวอย่างเช่น "2 น้อยกว่า 4" เป็นโจทย์ที่ง่าย ข้อเสนอที่มีการเชื่อมต่อบางอย่างเรียกว่าข้อเสนอแบบรวมเช่น "1 + 3 = 4 และ 4 เป็นเลขคู่".

ข้อความที่จัดทำโดยข้อเสนอมักจะยาวดังนั้นจึงเป็นเรื่องน่าเบื่อที่จะเขียนมันขึ้นมาตามที่เราเคยเห็น ด้วยเหตุนี้จึงใช้ภาษาสัญลักษณ์ ข้อเสนอมักจะแสดงด้วยตัวอักษรพิมพ์ใหญ่เช่น P, Q, R, S, เป็นต้น และสัญลักษณ์เกี่ยวพันดังต่อไปนี้:

ดังนั้นที่

ซึ่งกันและกัน ของข้อเสนอตามเงื่อนไข

เป็นโจทย์

และก็ contrapositive (หรือ contrapositive) ของข้อเสนอ

เป็นโจทย์

ตารางความจริง

อีกแนวคิดที่สำคัญในตรรกะคือตารางความจริง ค่าความจริงของข้อเสนอมีความเป็นไปได้สองอย่างที่มีให้สำหรับข้อเสนอ: จริง (ซึ่งจะถูกแทนด้วย V และค่าความจริงของมันจะถูกกล่าวว่าเป็น V) หรือเท็จ (ซึ่งจะแทนด้วย F และมูลค่าของมันจะถูกกล่าว มันคือ F).

คุณค่าความจริงของข้อเสนอประสมขึ้นอยู่กับค่าความจริงของข้อเสนอง่าย ๆ ที่ปรากฏในนั้นเท่านั้น.

ในการทำงานโดยทั่วไปเราจะไม่พิจารณาข้อเสนอเฉพาะ แต่เป็นตัวแปรเชิงประพจน์ p, q, r, s, ฯลฯ ซึ่งจะเป็นตัวแทนข้อเสนอใด ๆ.

ด้วยตัวแปรเหล่านี้และการเชื่อมต่อแบบลอจิคัลสูตรที่เป็นที่รู้จักที่เป็นที่รู้จักนั้นถูกสร้างขึ้นเช่นเดียวกับการสร้างคำสั่งผสม.

หากตัวแปรแต่ละตัวที่ปรากฏในสูตรเชิงประพจน์ถูกแทนที่ด้วยข้อเสนอจะได้รับข้อเสนอเชิงประกอบ.

ด้านล่างคือตารางความจริงสำหรับการเชื่อมต่อแบบลอจิคัล:

มีสูตรเชิงประพจน์ที่ได้รับเฉพาะค่า V ในตารางความจริงของพวกเขานั่นคือคอลัมน์สุดท้ายของตารางความจริงของพวกเขาเท่านั้นที่มีค่า V สูตรประเภทนี้เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นคำพูดซ้ำซาก ตัวอย่างเช่น

ต่อไปนี้เป็นตารางความจริงของสูตร

มันบอกว่าสูตรαเหตุผลหมายถึงสูตรอื่นβถ้าαเป็นจริงทุกครั้งβเป็นจริง นั่นคือในตารางความจริงของαและβแถวที่αมี V, βยังมี V เฉพาะแถวที่αมีค่า V เป็นที่สนใจสัญลักษณ์สำหรับการอธิบายเชิงตรรกะมีดังต่อไปนี้ :

ตารางต่อไปนี้สรุปคุณสมบัติของความหมายเชิงตรรกะ:

มันบอกว่าสองสูตรแคลคูลัสเชิงประพจน์มีเหตุผลเทียบเท่าถ้าตารางความจริงของพวกเขาเหมือนกัน สัญกรณ์ต่อไปนี้ใช้เพื่อแสดงความเท่าเทียมกันทางตรรกะ:

ตารางต่อไปนี้สรุปคุณสมบัติของการเทียบเท่าเชิงตรรกะ:

ประเภทของตรรกะทางคณิตศาสตร์

มีประเภทของตรรกะที่แตกต่างกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีการคำนึงถึงตรรกะในทางปฏิบัติหรือตรรกะที่ไม่เป็นทางการที่ชี้ไปที่ปรัชญาในพื้นที่อื่น ๆ.

เท่าที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ประเภทของตรรกะสามารถสรุปได้ดังนี้:

• ลอจิกแบบเป็นทางการหรืออริสโตเติ้ล (ลอจิกโบราณ).
• ตรรกะเชิงประพจน์: มีหน้าที่รับผิดชอบในการศึกษาทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับความถูกต้องของข้อโต้แย้งและข้อเสนอโดยใช้ภาษาที่เป็นทางการและเป็นสัญลักษณ์.
• Symbolic logic: มุ่งเน้นไปที่การศึกษาเซตและคุณสมบัติของมันรวมถึงภาษาทางการและสัญลักษณ์และมีการเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับตรรกะเชิงประพจน์.
• ตรรกะเชิงผสม: หนึ่งในการพัฒนาล่าสุดที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่สามารถพัฒนาโดยอัลกอริทึม.
• การเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะ: ใช้ในแพ็คเกจและภาษาการเขียนโปรแกรมต่างๆ.

พื้นที่

ในส่วนที่ใช้ประโยชน์จากตรรกะทางคณิตศาสตร์ในทางที่ขาดไม่ได้ในการพัฒนาเหตุผลและข้อโต้แย้งพวกเขาเน้นปรัชญาทฤษฎีเซตทฤษฎีจำนวนทฤษฎีคณิตศาสตร์พีชคณิตเชิงสร้างสรรค์และภาษาโปรแกรม.

การอ้างอิง

1. Aylwin, C. U. (2011). ตรรกะชุดและหมายเลข. Mérida - เวเนซุเอลา: สภาสิ่งพิมพ์ Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H. , Diaz, P. , Murillo, M. , & Soto, A. (1998). ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). หลักสูตรพื้นฐานทางทฤษฎีเชิงตัวเลข. มหาวิทยาลัยนอร์ท.
4. Cofré, A. และ Tapia, L. (1995). วิธีพัฒนาเหตุผลเชิงคณิตศาสตร์เชิงตรรกะ. บรรณาธิการมหาวิทยาลัย.
5. ซาราโกซา, A.C. (s.f. ). ทฤษฎีตัวเลข. หนังสือวิสัยทัศน์บรรณาธิการ.