กฎหมายของมอร์แกน

ลดวงตาของมอร์แกน พวกเขาเป็นกฎของการอนุมานที่ใช้ในตรรกะเชิงประพจน์ซึ่งกำหนดสิ่งที่เป็นผลมาจากการปฏิเสธการแยกและการรวมของข้อเสนอหรือตัวแปรเชิงประ กฎเหล่านี้ถูกกำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ออกัสตัสเดอมอร์แกน.

กฎของมอร์แกนเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากในการแสดงเหตุผลทางคณิตศาสตร์ ต่อมาพวกเขาถูกวางนัยในแนวคิดของเซตโดยนักคณิตศาสตร์ George Boole.

ความเห็นโดยทั่วไปของ Boole นี้เทียบเท่ากับกฎหมายเริ่มต้นของมอร์แกนอย่างสมบูรณ์ แต่ได้รับการพัฒนาโดยเฉพาะสำหรับฉากแทนที่จะเป็นข้อเสนอ การวางนัยทั่วไปนี้เรียกว่ากฎของมอร์แกน.

ดัชนี

• 1 การทบทวนตรรกะเชิงประพจน์
  • 1.1 การเข้าใจผิด
  • 1.2 ข้อเสนอ
• 2 กฎหมายของมอร์แกน
  • 2.1 การสาธิต
• 3 ชุด
  • 3.1 ยูเนี่ยน, ทางแยกและการเติมเต็มของเซต
• 4 กฎของมอร์แกนสำหรับฉาก
• 5 อ้างอิง

ทบทวนตรรกะเชิงประพจน์

ก่อนที่จะดูว่ากฎหมายของมอร์แกนมีความเฉพาะเจาะจงอย่างไรและมีการนำไปใช้อย่างไรจะสะดวกในการจดจำแนวคิดพื้นฐานของตรรกะเชิงประพจน์ (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดูบทความตรรกะเชิงประพจน์).

ในด้านของตรรกะทางคณิตศาสตร์ (หรือเชิงประพจน์) การอนุมานเป็นข้อสรุปที่ถูกปล่อยออกมาจากชุดของสถานที่หรือสมมติฐาน ข้อสรุปนี้พร้อมกับสถานที่ดังกล่าวก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์.

เหตุผลนี้จะต้องสามารถแสดงหรือปฏิเสธได้ กล่าวได้ว่าการอนุมานหรือข้อสรุปทั้งหมดในการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์นั้นไม่ถูกต้องทั้งหมด.

การเข้าใจผิด

การอนุมานเท็จที่ปล่อยออกมาจากข้อสันนิษฐานบางอย่างที่ถือว่าเป็นจริงเรียกได้ว่าเป็นการเข้าใจผิด การชักนำให้เกิดความผิดปกติมีลักษณะของการขัดแย้งที่ดูเหมือนถูกต้อง แต่ในทางคณิตศาสตร์พวกเขาไม่ได้.

ตรรกะเชิงประพจน์มีหน้าที่รับผิดชอบในการพัฒนาและจัดหาวิธีการอย่างแม่นยำด้วยวิธีการที่สามารถทำได้โดยไม่ต้องคลุมเครือตรวจสอบหรือหักล้างเหตุผลทางคณิตศาสตร์ นั่นคือสรุปข้อสรุปที่ถูกต้องจากสถานที่ วิธีการเหล่านี้รู้จักกันในชื่อกฎการอนุมานซึ่งกฎของมอร์แกนเป็นส่วนหนึ่ง.

ข้อเสนอ

องค์ประกอบที่สำคัญของตรรกะเชิงประพจน์คือข้อเสนอ ข้อเสนอคือข้อความที่สามารถบอกได้ว่าพวกเขาถูกต้องหรือไม่ แต่พวกเขาไม่สามารถเป็นจริงหรือเท็จในเวลาเดียวกัน ไม่ควรมีความกำกวมในเรื่องนี้.

เช่นเดียวกับที่ตัวเลขสามารถรวมกันได้ผ่านการดำเนินการของการบวกการลบการคูณและการหารข้อเสนอสามารถดำเนินการได้ด้วยวิธีการเชื่อมต่อที่รู้จัก (หรือตัวเชื่อมต่อ) ตรรกะ: การปฏิเสธ (¬, "ไม่"), การแยก (V) , "O"), joint (Ʌ, "และ"), conditional (→, "if ... , then ... ") และ biconditional (↔, "ใช่และเฉพาะถ้า").

ในการทำงานโดยทั่วไปแทนที่จะพิจารณาข้อเสนอที่เฉพาะเจาะจงเราพิจารณาตัวแปรเชิงประพจน์ที่แสดงถึงข้อเสนอใด ๆ และมักจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวเล็ก p, q, r, s, ฯลฯ.

สูตรเชิงประพจน์คือการรวมกันของตัวแปรเชิงประพจน์ผ่านการเชื่อมต่อแบบลอจิคัลบางตัว มันคือองค์ประกอบของตัวแปรเชิงประพจน์ พวกเขามักจะเขียนด้วยตัวอักษรกรีก.

มันบอกว่าสูตรแคลคูลัสเชิงประพจน์มีความหมายอย่างอื่นเมื่อมีความจริงทุกครั้งที่เป็นจริง นี่คือ:

เมื่อความหมายเชิงตรรกะระหว่างสองสูตรเชิงประพจน์คือซึ่งกันและกัน - นั่นคือเมื่อการอนุมานก่อนหน้านี้ถูกต้องเช่นกันในทิศทางตรงกันข้าม - สูตรดังกล่าวมีความหมายเชิงตรรกะเทียบเท่ากันและแสดงแทนด้วย

ตรรกะความเท่าเทียมกันเป็นประเภทของความเท่าเทียมกันระหว่างสูตรเชิงประพจน์และช่วยให้แทนที่หนึ่งสำหรับอื่น ๆ เมื่อมีความจำเป็น.

กฎหมายของมอร์แกน

กฎของมอร์แกนประกอบด้วยสองเหตุผลเชิงตรรกะระหว่างสองรูปแบบเชิงประพจน์คือ:

กฎหมายเหล่านี้อนุญาตให้แยกการปฏิเสธของการแยกหรือการรวมเป็นการปฏิเสธของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง.

ครั้งแรกที่สามารถอ่านได้ดังต่อไปนี้: การปฏิเสธของการแยกจะเท่ากับการรวมกันของการปฏิเสธ และอันที่สองอ่านเช่นนี้การปฏิเสธของการรวมเป็นการแยกการปฏิเสธ.

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการปฏิเสธการแยกของสองตัวแปรเชิงประพจน์นั้นเทียบเท่ากับการรวมกันของการปฏิเสธของตัวแปรทั้งสอง ในทำนองเดียวกันการปฏิเสธการรวมกันของสองตัวแปรเชิงประพจน์จะเทียบเท่ากับการแยกความสัมพันธ์ของการปฏิเสธของตัวแปรทั้งสอง.

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้าการทดแทนความเท่าเทียมทางตรรกะนี้ช่วยให้เห็นผลลัพธ์ที่สำคัญพร้อมกับกฎการอนุมานอื่น ๆ ที่มีอยู่ ด้วยสิ่งเหล่านี้คุณสามารถลดความซับซ้อนของสูตรแคลคูลัสเชิงประพจน์ได้หลากหลาย.

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้กฎการอนุมานภายใต้กฎของมอร์แกนเหล่านี้ โดยเฉพาะมันแสดงให้เห็นว่าสูตร:

เทียบเท่ากับ:

หลังเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจและพัฒนา.

แสดง

เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่ากฎหมายของมอร์แกนสามารถพิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์ วิธีหนึ่งคือการเปรียบเทียบตารางความจริงของคุณ.

ชุด

กฎการอนุมานแบบเดียวกันและแนวคิดของตรรกะที่ใช้กับข้อเสนอนั้นสามารถพัฒนาได้ด้วยการพิจารณาชุด นี่คือสิ่งที่เรียกว่าพีชคณิตแบบบูลหลังจากนักคณิตศาสตร์จอร์จบูล.

เพื่อแยกความแตกต่างของกรณีมีความจำเป็นต้องเปลี่ยนสัญกรณ์และถ่ายโอนไปยังชุดความคิดทั้งหมดที่เห็นแล้วของตรรกะเชิงประพจน์.

ชุดคือชุดของวัตถุ ชุดจะแสดงด้วยตัวอักษรใหญ่ A, B, C, X, ... และองค์ประกอบของชุดจะแสดงโดยตัวอักษรพิมพ์เล็ก a, b, c, x, ฯลฯ เมื่อองค์ประกอบหนึ่งเป็นของชุด X มันจะถูกแทนด้วย:

เมื่อมันไม่ได้เป็นของ X สัญกรณ์คือ:

วิธีในการแสดงชุดคือการวางองค์ประกอบไว้ในกุญแจ ตัวอย่างเช่นชุดของตัวเลขธรรมชาติแสดงโดย:

ชุดยังสามารถแสดงโดยไม่ต้องเขียนรายการที่ชัดเจนขององค์ประกอบของพวกเขา สามารถแสดงในรูปแบบ : จุดสองจุดถูกอ่าน "แบบนั้น" ตัวแปรที่แสดงถึงองค์ประกอบของชุดนั้นจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดสองจุดและคุณสมบัติหรือเงื่อนไขที่พวกเขาตอบสนองนั้นถูกวางไว้ทางด้านขวา นี่คือ:

ตัวอย่างเช่นชุดของจำนวนเต็มมากกว่า -4 สามารถแสดงเป็น:

หรือเทียบเท่าและตัวย่ออื่น ๆ เช่น:

ในทำนองเดียวกันนิพจน์ต่อไปนี้แสดงชุดของจำนวนคู่และคี่ตามลำดับ:

ยูเนี่ยน, ทางแยกและการเติมเต็มของเซต

ต่อไปเราจะเห็น analogs ของการเชื่อมต่อแบบลอจิคัลในกรณีของชุดซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการดำเนินงานขั้นพื้นฐานระหว่างชุด.

ยูเนี่ยนและทางแยก

การรวมกันและจุดตัดของเซตถูกกำหนดไว้ตามลำดับด้วยวิธีดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่นพิจารณาชุด:

จากนั้นคุณต้อง:

ส่วนประกอบ

ส่วนประกอบของชุดประกอบด้วยส่วนประกอบที่ไม่ได้เป็นของชุดนั้น (ชนิดเดียวกับที่ชุดเดิมแสดง) ความสมบูรณ์ของเซต A แสดงโดย:

ตัวอย่างเช่นภายในตัวเลขธรรมชาติการเติมเต็มของชุดตัวเลขแม้จะเป็นตัวเลขคี่และในทางกลับกัน.

ในการกำหนดส่วนประกอบของชุดจะต้องชัดเจนตั้งแต่ต้นชุดองค์ประกอบสากลหรือชุดหลักที่กำลังพิจารณา ตัวอย่างเช่นมันไม่เท่ากับการพิจารณาส่วนประกอบของเซตตามจำนวนธรรมชาติที่อยู่บนจำนวนตรรกยะ.

ตารางต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์หรือการเปรียบเทียบที่มีอยู่ระหว่างการดำเนินการในชุดที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้และการเชื่อมต่อของตรรกะเชิงประพจน์:

กฎของมอร์แกนสำหรับฉาก

ในที่สุดกฎของมอร์แกนในเซตคือ:

ในคำพูด: การรวมกันของสหภาพเป็นจุดตัดของการเติมเต็มและการเติมเต็มของการแยกคือการรวมกันของการเติมเต็ม.

หลักฐานทางคณิตศาสตร์ของความเสมอภาคแรกจะเป็นดังนี้:

การสาธิตครั้งที่สองนั้นคล้ายคลึงกัน.

การอ้างอิง

1. Almaguer, G. (2002). คณิตศาสตร์ 1. บรรณาธิการ Limusa.
2. Aylwin, C. U. (2011). ตรรกะชุดและหมายเลข. Mérida - เวเนซุเอลา: สภาสิ่งพิมพ์ Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H. , Diaz, P. , Murillo, M. , & Soto, A. (1998). ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). หลักสูตรพื้นฐานทางทฤษฎีเชิงตัวเลข. มหาวิทยาลัยนอร์ท.
5. Cofré, A. และ Tapia, L. (1995). วิธีพัฒนาเหตุผลเชิงคณิตศาสตร์เชิงตรรกะ. บรรณาธิการมหาวิทยาลัย.
6. Guevara, M. H. (s.f. ). ทฤษฎีตัวเลข. EUNED.
7. ซาราโกซา, A.C. (s.f. ). ทฤษฎีตัวเลข. หนังสือวิสัยทัศน์บรรณาธิการ.