วิธีการแก้ไขเชิงเส้น, แบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไข

การแก้ไขเชิงเส้น เป็นวิธีการที่มาจากการประมาณค่าทั่วไปของนิวตันและอนุญาตให้ตรวจสอบโดยประมาณค่าที่ไม่รู้จักที่อยู่ระหว่างสองตัวเลขที่กำหนด; นั่นคือมีค่ากลาง นอกจากนี้ยังใช้กับฟังก์ชันโดยประมาณที่ค่า f_(A) และ f_(B) พวกมันเป็นที่รู้จักและคุณต้องการทราบค่ากลางของ f_(X).

การแก้ไขมีหลายประเภทเช่นเส้นตรง, กำลังสอง, ลูกบาศก์และเกรดที่สูงกว่าการประมาณเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดคือ ราคาที่ต้องชำระด้วยการแก้ไขเชิงเส้นคือผลลัพธ์จะไม่แม่นยำเท่ากับการประมาณโดยฟังก์ชันของเกรดที่สูงกว่า.

ดัชนี

• 1 คำจำกัดความ
• 2 วิธี
• 3 แบบฝึกหัดได้รับการแก้ไข
  • 3.1 การออกกำลังกาย 1
  • 3.2 การออกกำลังกาย 2
• 4 อ้างอิง

คำนิยาม

การแก้ไขเชิงเส้นคือกระบวนการที่ให้คุณสามารถอนุมานค่าระหว่างค่าที่กำหนดไว้สองค่าซึ่งสามารถอยู่ในตารางหรือในกราฟเชิงเส้น.

ตัวอย่างเช่นหากคุณรู้ว่านม 3 ลิตรมีค่า $ 4 และ 5 ลิตรนั้นมีมูลค่า $ 7 แต่คุณต้องการที่จะรู้ว่ามูลค่าของนม 4 ลิตรคืออะไรสอดแทรกเพื่อกำหนดค่าระดับกลางนั้น.

วิธี

ในการประมาณค่ากลางของฟังก์ชันฟังก์ชัน f จะประมาณ_(X) โดยใช้เส้นตรง r_(X), ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชั่นจะแปรผันเป็นเส้นตรงกับ "x" สำหรับการยืด "x = a" และ "x = b"; นั่นคือสำหรับค่า "x" ในช่วงเวลา (x₀, x₁) และ (และ₀, และ₁) ค่าของ "y" กำหนดโดยเส้นแบ่งระหว่างคะแนนและแสดงตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

(และ - และ₀) ÷ (x - x₀) = (และ₁ - และ₀) ÷ (x₁ - x₀)

เพื่อให้การประมาณค่าเป็นเชิงเส้นจำเป็นต้องให้พหุนามการสอดแทรกเป็นระดับหนึ่ง (n = 1) ดังนั้นจึงปรับค่าของ x₀ และ x_1.

การแก้ไขเชิงเส้นขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมเพื่อให้ได้มาจากการแสดงออกทางเรขาคณิตก่อนหน้านี้เราสามารถรับค่าของ "y" ซึ่งหมายถึงค่าที่ไม่รู้จักสำหรับ "x".

ด้วยวิธีนี้คุณจะต้อง:

a = tan Ɵ = (ฝั่งตรงข้าม₁ leg ขาที่อยู่ติดกัน₁) = (ฝั่งตรงข้าม₂ leg ขาที่อยู่ติดกัน₂)

แสดงในอีกวิธีหนึ่งคือ:

(และ - และ₀) ÷ (x - x₀) = (และ₁ - และ₀) ÷ (x₁ - x₀)

การล้าง "และ" ของนิพจน์คุณมี:

(และ - และ₀) _{* * * *} (x₁ - x₀) = (x - x₀) _{* * * *} (และ₁ - และ₀)

(และ - และ₀) = (และ₁ - และ₀) _{* * * *} [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

ดังนั้นเราจึงได้สมการทั่วไปสำหรับการประมาณเชิงเส้น:

y = y_{0 +} (และ₁ - และ₀) _{* * * *} [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

โดยทั่วไปการแก้ไขเชิงเส้นจะให้ข้อผิดพลาดเล็ก ๆ น้อย ๆ กับมูลค่าที่แท้จริงของฟังก์ชันที่แท้จริงแม้ว่าข้อผิดพลาดจะน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับถ้าคุณเลือกตัวเลขที่ใกล้เคียงกับที่คุณต้องการค้นหา.

ข้อผิดพลาดนี้เกิดขึ้นเมื่อคุณพยายามประมาณค่าของเส้นโค้งด้วยเส้นตรง สำหรับกรณีเหล่านั้นจะต้องลดขนาดของช่วงเวลาเพื่อให้การประมาณแม่นยำยิ่งขึ้น.

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นเกี่ยวกับวิธีการแนะนำให้ใช้เกรด 2, 3 หรือฟังก์ชั่นเกรดที่สูงขึ้นเพื่อทำการแก้ไข สำหรับกรณีเหล่านี้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มาก.

การออกกำลังกายที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

จำนวนแบคทีเรียต่อหน่วยปริมาตรที่มีอยู่ในการบ่มหลังจาก x ชั่วโมงแสดงในตารางต่อไปนี้ คุณต้องการทราบปริมาณของแบคทีเรียในเวลา 3.5 ชั่วโมง.

ทางออก

ตารางอ้างอิงไม่ได้สร้างค่าที่ระบุจำนวนแบคทีเรียเป็นเวลา 3.5 ชั่วโมง แต่มีค่าสูงและต่ำกว่าที่สอดคล้องกับเวลา 3 และ 4 ชั่วโมงตามลำดับ ด้วยวิธีนี้:

x₀ = 3 และ₀ = 91

x = 3.5 y =?

x₁ = 4 และ₁ = 135

ตอนนี้สมการทางคณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้เพื่อค้นหาค่าที่ถูกแทรกซึ่งมีดังต่อไปนี้:

y = y_{0 +} (และ₁ - และ₀) _{* * * *} [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

จากนั้นค่าที่เกี่ยวข้องจะถูกแทนที่:

y = 91 + (135 - 91) _{* * * *} [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_{* * * *} [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _{* * * *} 0.5

y = 113.

ดังนั้นจึงได้รับเป็นเวลา 3.5 ชั่วโมงปริมาณของแบคทีเรียคือ 113 ซึ่งหมายถึงระดับกลางระหว่างปริมาณของแบคทีเรียที่มีอยู่ในเวลา 3 และ 4 ชั่วโมง.

แบบฝึกหัดที่ 2

หลุยส์มีโรงงานผลิตไอศครีมและเขาต้องการศึกษาเพื่อกำหนดรายได้ที่เขามีในเดือนสิงหาคมจากค่าใช้จ่ายที่เกิดขึ้น ผู้จัดการของ บริษัท ทำกราฟที่แสดงความสัมพันธ์นั้น แต่ Luis ต้องการทราบ:

รายได้ของเดือนสิงหาคมเป็นอย่างไรหากมีค่าใช้จ่าย $ 55,000?

ทางออก

กราฟแสดงค่าของรายได้และค่าใช้จ่าย หลุยส์อยากรู้ว่ารายได้สิงหาคมเป็นอย่างไรถ้าโรงงานมีค่าใช้จ่าย 55,000 ดอลลาร์ ค่านี้ไม่ได้สะท้อนโดยตรงในกราฟ แต่ค่าที่สูงกว่าและต่ำกว่านี้คือ.

ก่อนอื่นทำตารางเพื่อให้สัมพันธ์กับค่าได้อย่างง่ายดาย:

ตอนนี้สูตรการแก้ไขถูกใช้เพื่อกำหนดค่าของ y

y = y_{0 +} (และ₁ - และ₀) _{* * * *} [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

จากนั้นค่าที่เกี่ยวข้องจะถูกแทนที่:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) _{* * * *} [(55,000 - 45,000) ÷ (62,000 - 45,000)]

y = 56,000 + (22,000) _{* * * *} [(10,000) ÷ (17,000)]

y = 56,000 + (22,000) _{* * * *} (0.588)

y = 56,000 + 12,936

y = $ 68,936.

หากมีค่าใช้จ่าย 55,000 ดอลลาร์ในเดือนสิงหาคมรายได้อยู่ที่ 68,936 ดอลลาร์.

การอ้างอิง

1. Arthur Goodman, L. H. (1996) พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การศึกษาของเพียร์สัน.
2. Harpe, P. d. (2000) หัวข้อในทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิต มหาวิทยาลัยชิคาโกสื่อมวลชน.
3. Hazewinkel, M. (2001) การสอดแทรกเชิงเส้น ", สารานุกรมคณิตศาสตร์.
4. , J. M. (1998) องค์ประกอบของวิธีเชิงตัวเลขสำหรับวิศวกรรม UASLP.
5. , E. (2002) เหตุการณ์การแก้ไข: จากดาราศาสตร์โบราณไปจนถึงสัญญาณที่ทันสมัยและการประมวลผลภาพ การดำเนินการของ IEEE.
6. ตัวเลข a. (2006) Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.