ประวัติเรขาคณิตแบบยุคลิดแนวคิดและตัวอย่างพื้นฐาน

เรขาคณิตแบบยุคลิด สอดคล้องกับการศึกษาคุณสมบัติของพื้นที่เรขาคณิตที่สัจพจน์ของ Euclid พอใจ ในขณะที่คำนี้บางครั้งใช้เพื่อล้อมรอบรูปทรงเรขาคณิตที่มีขนาดที่เหนือกว่าด้วยคุณสมบัติที่คล้ายกันก็มักจะมีความหมายเหมือนกันกับเรขาคณิตคลาสสิกหรือเรขาคณิตแบน.

ในศตวรรษที่สามก. C. Euclid และเหล่าสาวกของพระองค์เขียน องค์ประกอบ, งานที่รวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ของเวลาที่มอบให้กับโครงสร้างเชิงตรรกะ ตั้งแต่นั้นมาเรขาคณิตได้กลายเป็นวิทยาศาสตร์ในขั้นต้นในการแก้ปัญหาคลาสสิกและมีการพัฒนาเป็นวิทยาศาสตร์การก่อสร้างที่ช่วยให้เหตุผล.

ดัชนี

• 1 ประวัติ
• 2 แนวคิดพื้นฐาน
  • 2.1 ความคิดทั่วไป
  • 2.2 สมมุติฐานหรือสัจพจน์
• 3 ตัวอย่าง
  • 3.1 ตัวอย่างแรก
  • 3.2 ตัวอย่างที่สอง
  • 3.3 ตัวอย่างที่สาม
• 4 อ้างอิง

ประวัติศาสตร์

เพื่อพูดคุยเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาของเรขาคณิตแบบยุคลิดจำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยยุคลิดแห่งอเล็กซานเดรียและ องค์ประกอบ.

เมื่ออียิปต์อยู่ในมือของปโตเลมีที่ 1 หลังจากการตายของอเล็กซานเดอร์มหาราชเขาเริ่มโครงการของเขาในโรงเรียนในอเล็กซานเดรีย.

ในบรรดาปราชญ์ที่สอนที่โรงเรียนคือ Euclid มันเป็นที่คาดการณ์ว่าวันเกิดของเขาประมาณ 325 จาก C. และการตายของเขา 265 C. เรารู้ได้อย่างมั่นใจว่าเขาไปโรงเรียนของเพลโต.

เป็นเวลากว่าสามสิบปีที่ Euclid สอนที่ Alexandria สร้างองค์ประกอบที่โด่งดังของเขาเขาเริ่มเขียนคำอธิบายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในเวลาของเขาอย่างละเอียดถี่ถ้วน คำสอนของ Euclid สร้างสาวกที่ยอดเยี่ยมเช่น Archimedes และ Apollonius of Perga.

Euclid มีหน้าที่รับผิดชอบในการจัดโครงสร้างการค้นพบที่ต่างกันของชาวกรีกคลาสสิกใน องค์ประกอบ, แต่แตกต่างจากรุ่นก่อนมันไม่ได้ จำกัด ตัวเองเพื่อยืนยันว่าทฤษฎีบทเป็นจริง Euclides เสนอการสาธิต.

องค์ประกอบ พวกเขาเป็นบทสรุปของหนังสือสิบสามเล่ม หลังจากพระคัมภีร์เป็นหนังสือที่ตีพิมพ์มากที่สุดมีมากกว่าหนึ่งพันฉบับ.

องค์ประกอบ เป็นผลงานชิ้นเอกของ Euclid ในด้านเรขาคณิตและมีการรักษาเชิงเรขาคณิตสองมิติ (ระนาบ) และสามมิติ (ช่องว่าง) นี่คือจุดกำเนิดของสิ่งที่เรารู้ในฐานะเรขาคณิตแบบยุคลิด.

แนวคิดพื้นฐาน

องค์ประกอบประกอบด้วยคำจำกัดความแนวคิดทั่วไปและสมมุติฐาน (หรือสัจพจน์) ตามด้วยทฤษฎีบทสิ่งก่อสร้างและการสาธิต.

- ประเด็นก็คือสิ่งที่ไม่มีส่วนใด.

- เส้นคือความยาวที่ไม่มีความกว้าง.

- เส้นตรงคือเส้นที่อยู่เท่า ๆ กันเมื่อเทียบกับจุดที่อยู่ในนี้.

- หากตัดสองเส้นเพื่อให้มุมที่อยู่ติดกันเท่ากันมุมนั้นจะถูกเรียกว่าเป็นเส้นตรงและเส้นนั้นจะถูกเรียกว่าตั้งฉาก.

- เส้นขนานคือเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันจะไม่ถูกตัด.

หลังจากคำจำกัดความเหล่านี้และอื่น ๆ Euclid นำเสนอรายการห้า postulate และห้า notions.

แนวคิดทั่วไป

- สองสิ่งที่มีค่าเท่ากับหนึ่งในสามมีค่าเท่ากัน.

- หากมีการเพิ่มสิ่งที่เท่ากันในสิ่งเดียวกันผลลัพธ์จะเหมือนกัน.

- หากสิ่งที่เท่ากันถูกลบออกจากสิ่งเดียวกันผลลัพธ์จะเหมือนกัน.

- สิ่งที่เข้าคู่กันจะเท่ากับกัน.

- ยอดรวมมากกว่าส่วนหนึ่ง.

สมมุติหรือสัจพจน์

- สำหรับสองจุดที่แตกต่างกันหนึ่งและผ่านหนึ่งบรรทัดเท่านั้น.

- เส้นตรงสามารถยืดออกได้เรื่อย ๆ.

- คุณสามารถวาดวงกลมด้วยศูนย์กลางและรัศมีใดก็ได้.

- มุมฉากเหมือนกันทั้งหมด.

- หากเส้นตรงข้ามสองเส้นตรงเพื่อให้มุมภายในของด้านเดียวกันบวกกันน้อยกว่ามุมฉากสองมุมจากนั้นเส้นทั้งสองจะตัดกันที่ด้านนั้น.

สัจพจน์สุดท้ายนี้เรียกว่าสัจพจน์ของแนวและได้รับการจัดรูปแบบใหม่ดังนี้: "สำหรับจุดที่อยู่นอกบรรทัดคุณสามารถวาดเส้นขนานเดียวกับเส้นที่กำหนด".

ตัวอย่าง

ถัดไปบางทฤษฎีของ องค์ประกอบ พวกเขาจะให้บริการเพื่อแสดงคุณสมบัติของช่องว่างทางเรขาคณิตที่ห้าหลักของยุคลิดเป็นจริง; นอกจากนี้พวกเขายังแสดงให้เห็นถึงเหตุผลเชิงตรรกะที่ใช้โดยนักคณิตศาสตร์นี้.

ตัวอย่างแรก

ข้อเสนอ 1.4 (LAL)

หากสามเหลี่ยมสองอันมีสองด้านและมุมระหว่างพวกเขาเท่ากันจากนั้นด้านอื่น ๆ และมุมอื่น ๆ จะเท่ากัน.

แสดง

ให้ ABC และ A'B'C 'เป็นสองสามเหลี่ยมที่มี AB = A'B', AC = A'C 'และมุม BAC และ B''C' เท่ากัน ย้ายไปที่สามเหลี่ยม A'B'C 'เพื่อให้ A'B' สอดคล้องกับ AB และมุมนั้น B'A'C 'สอดคล้องกับมุม BAC.

จากนั้นบรรทัด A'C 'จะตรงกับ line AC เพื่อให้ C' สอดคล้องกับ C จากนั้นโดยการสมมุติ 1 บรรทัด BC จะต้องตรงกับ line B'C ' ดังนั้นสามเหลี่ยมทั้งสองจึงตรงกันและดังนั้นมุมและด้านข้างของพวกเขาจึงเท่ากัน.

ตัวอย่างที่สอง

ข้อเสนอ 1.5 (Pons Asinorum)

หากสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันสองด้านมุมที่อยู่ด้านข้างนั้นจะเท่ากัน.

แสดง

สมมติว่าสามเหลี่ยม ABC มีด้านเท่ากันคือ AB และ AC.

จากนั้นสามเหลี่ยม ABD และ ACD จะมีด้านเท่ากันสองด้านและมุมระหว่างพวกมันเท่ากัน ดังนั้นตามข้อเสนอ 1.4 มุม ABD และ ACD จะเท่ากัน.

ตัวอย่างที่สาม

ข้อเสนอ 1.31

คุณสามารถสร้างเส้นคู่ขนานกับเส้นที่กำหนดโดยจุดที่กำหนด.

การก่อสร้าง

กำหนดเส้น L และจุด P เส้นตรง M ถูกลากผ่าน P และตัดเป็น L จากนั้นเส้นตรง N ถูกวาดโดย P ที่ตัดไปยัง L ทีนี้เราติดตามโดย P ตรง N ที่ตัดให้ M สร้างมุมเท่ากับสิ่งที่ L ประกอบกับ M.

การยืนยัน

N ขนานกับ L.

แสดง

สมมติว่า L และ N ไม่ขนานกันและตัดกันที่จุด A ให้ B เป็นจุดที่ L เกิน A พิจารณาเส้น O ที่ผ่าน B และ P จากนั้น O ตัดมุม M ที่สร้างมุมที่เพิ่มน้อยกว่า สองตรง.

จากนั้น 1.5 เส้น O ต้องตัดเป็นเส้น L ที่อีกด้านหนึ่งของ M ดังนั้น L และ O ตัดกันที่จุดสองจุดซึ่งขัดแย้งกับจุดที่ 1 ดังนั้น L และ N ต้องขนานกัน.

การอ้างอิง

1. Euclid. องค์ประกอบของเรขาคณิต มหาวิทยาลัยอิสระแห่งชาติเม็กซิโก
2. Euclides หกเล่มแรกและองค์ประกอบที่สิบเอ็ดและสิบสองของ Euclid
3. Eugenio Filloy Yague การสอนและประวัติความเป็นมาของเรขาคณิตแบบยุคลิดกลุ่มบรรณาธิการภาษาไอเบอเรอ
4. K.Ribnikov ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์ เมียร์บรรณาธิการ
5. Viloria, N. , & Leal, J. (2005) เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์แบบเรียบ เวเนซุเอลา C.A บทบรรณาธิการ.