วิธีการแบ่งสังเคราะห์และแบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไข

กองสังเคราะห์ มันเป็นวิธีง่าย ๆ ในการหารพหุนาม P (x) โดยหนึ่งในรูปแบบ d (x) = x - c มันเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากตั้งแต่นอกเหนือจากการอนุญาตให้เราหารพหุนามมันยังช่วยให้เราประเมินพหุนาม P (x) ในจำนวนใด ๆ c ซึ่งจะบอกเราได้อย่างแม่นยำว่าตัวเลขนี้เป็นศูนย์หรือไม่ของพหุนาม.

ขอบคุณอัลกอริทึมการหารเรารู้ว่าถ้าเรามีพหุนามสองอัน P (x) และ d (x) ไม่คงที่มีหลายชื่อ q (x) และ r (x) มีลักษณะเฉพาะที่เป็นจริงที่ P (x) = q (x) d (x) + r (x) โดยที่ r (x) เป็นศูนย์หรือน้อยกว่า q (x) ชื่อพหุนามเหล่านี้รู้จักกันในนามเชาวน์ปัญญาและเศษเหลือหรือส่วนที่เหลือ.

ในบางครั้งเมื่อพหุนาม d (x) อยู่ในรูปแบบ x-c ส่วนการสังเคราะห์จะทำให้เราค้นพบว่าใครคือ q (x) และ r (x).

ดัชนี

• 1 วิธีการแบ่งสังเคราะห์
• แก้ไข 2 แบบฝึกหัด
  • 2.1 ตัวอย่างที่ 1
  • 2.2 ตัวอย่างที่ 2
  • 2.3 ตัวอย่างที่ 3
  • 2.4 ตัวอย่างที่ 4
• 3 อ้างอิง

วิธีการแบ่งสังเคราะห์

ให้ P (x) = a_nxⁿ+ไปยัง_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ พหุนามที่เราต้องการหารและ d (x) = x-c ตัวหาร หากต้องการหารด้วยวิธีการหารแบบสังเคราะห์เราดำเนินการดังนี้:

1- เราเขียนสัมประสิทธิ์ของ P (x) ในแถวแรก หากพลังของ X ใด ๆ ไม่ปรากฏขึ้นเราจะใส่ค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์.

2- ในแถวที่สองทางซ้ายของ_n วาง c และวาดเส้นแบ่งตามที่แสดงในรูปต่อไปนี้:

3- เราลดสัมประสิทธิ์นำไปสู่แถวที่สาม.

ในนิพจน์นี้ b_n-1= a_n

4- เราคูณ c ด้วยค่าสัมประสิทธิ์นำ_n-1 และผลลัพธ์จะถูกเขียนในแถวที่สอง แต่คอลัมน์ทางด้านขวา.

5- เราเพิ่มคอลัมน์ที่เราเขียนผลลัพธ์ก่อนหน้าและผลลัพธ์ที่เราวางไว้ใต้ผลรวมนั้น นั่นคือในคอลัมน์เดียวกันแถวที่สาม.

โดยการเพิ่มเรามีผล_n-1+c * b_n-1, ซึ่งเพื่อความสะดวกเราจะโทร b_n-2

6- เราคูณ c ด้วยผลลัพธ์ก่อนหน้าและเขียนผลลัพธ์ไปทางขวาในแถวที่สอง.

7- เราทำซ้ำขั้นตอนที่ 5 และ 6 จนกว่าจะถึงสัมประสิทธิ์₀.

8- เขียนคำตอบ; นั่นคือความฉลาดทางและสารตกค้าง เนื่องจากเรากำลังทำการแยกส่วนของพหุนามของดีกรี n ระหว่างพหุนามของดีกรี 1 เราจึงมีความเฉลียวฉลาดที่จริงจังของดีกรี n-1.

สัมประสิทธิ์ของความฉลาดทางพหุนามจะเป็นตัวเลขของแถวที่สามยกเว้นอันสุดท้ายซึ่งจะเป็นพหุนามที่เหลือหรือส่วนที่เหลือของการหาร.

การออกกำลังกายที่มีมติ

ตัวอย่างที่ 1

ดำเนินการหารต่อไปนี้โดยวิธีการแบ่งสังเคราะห์:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

ทางออก

ก่อนอื่นเราเขียนสัมประสิทธิ์การจ่ายเงินปันผลดังนี้:

จากนั้นเราเขียน c ทางซ้ายในแถวที่สองพร้อมกับเส้นหาร ในตัวอย่างนี้ c = -1.

เราลดค่าสัมประสิทธิ์นำ (ในกรณีนี้ b)_n-1 = 1) และคูณด้วย -1:

เราเขียนผลลัพธ์ของคุณไปทางขวาในแถวที่สองดังที่แสดงด้านล่าง:

เราเพิ่มตัวเลขในคอลัมน์ที่สอง:

เราคูณ 2 ด้วย -1 แล้วเขียนผลลัพธ์ในคอลัมน์ที่สามแถวที่สอง:

เราเพิ่มในคอลัมน์ที่สาม:

เราดำเนินการแบบอะนาล็อกจนกว่าจะถึงคอลัมน์สุดท้าย:

ดังนั้นเราจึงได้ว่าจำนวนสุดท้ายที่ได้รับคือส่วนที่เหลือและส่วนที่เหลือเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามหาร นี่คือเขียนดังนี้:

หากเราต้องการตรวจสอบว่าผลลัพธ์นั้นถูกต้องก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าสมการต่อไปนี้เป็นจริง:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

ดังนั้นเราสามารถตรวจสอบได้ว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นถูกต้อง.

ตัวอย่างที่ 2

ดำเนินการแบ่งส่วนของพหุนามต่อไปโดยวิธีการแบ่งสังเคราะห์

(7 เท่า³-x + 2): (x + 2)

ทางออก

ในกรณีนี้เรามีคำว่า x² มันไม่ปรากฏดังนั้นเราจะเขียน 0 เป็นสัมประสิทธิ์ของมัน พหุนามจะเป็น 7x³+0x²-x + 2.

เราเขียนสัมประสิทธิ์ของพวกเขาเป็นแถวนี่คือ:

เราเขียนค่า C = -2 ไปทางด้านซ้ายในแถวที่สองและวาดเส้นหาร.

เราลดค่าสัมประสิทธิ์นำ_n-1 = 7 และเราคูณมันด้วย -2 เขียนผลลัพธ์ในแถวที่สองทางด้านขวา.

เราเพิ่มและดำเนินการตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้จนกว่าเราจะไปถึงคำสุดท้าย:

ในกรณีนี้ส่วนที่เหลือคือ r (x) = - 52 และผลหารที่ได้รับคือ q (x) = 7x²-14x + 27.

ตัวอย่างที่ 3

อีกวิธีในการใช้การแบ่งสังเคราะห์คือ: สมมติว่าเรามีพหุนาม P (x) ของดีกรี n และเราต้องการรู้ว่าอะไรคือค่าเมื่อประเมินมันใน x = c.

โดยอัลกอริทึมของการหารเรามีที่เราสามารถเขียนพหุนาม P (x) ด้วยวิธีต่อไปนี้

ในนิพจน์นี้ q (x) และ r (x) คือความฉลาดทางและส่วนที่เหลือตามลำดับ ทีนี้ถ้า d (x) = x- c, เมื่อประเมินใน c ในพหุนามเราพบสิ่งต่อไปนี้:

สำหรับสิ่งนี้เราต้องหา r (x) เท่านั้นและเราสามารถทำได้ด้วยการแบ่งสังเคราะห์.

ตัวอย่างเช่นเรามีพหุนาม P (x) = x⁷-9x⁶+19X⁵+12X⁴-3x³+19X²-37x-37 และเราต้องการทราบค่าของมันคืออะไรเมื่อประเมินมันใน x = 5 สำหรับสิ่งนี้เราทำการหารระหว่าง P (x) และ d (x) = x -5 โดยวิธีการแบ่งสังเคราะห์:

เมื่อการดำเนินการเสร็จสิ้นเรารู้ว่าเราสามารถเขียน P (x) ด้วยวิธีต่อไปนี้:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

ดังนั้นเมื่อทำการประเมินเราจะต้อง:

P (5) = (5-4 (5) -5 +7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 +7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

อย่างที่เราเห็นมันเป็นไปได้ที่จะใช้แผนกสังเคราะห์เพื่อค้นหาค่าของพหุนามเมื่อประเมินมันใน c แทนการแทนที่ c ด้วย x. 

หากเราพยายามประเมิน P (5) ในแบบดั้งเดิมเราจะต้องทำการคำนวณบางอย่างที่มีแนวโน้มที่จะน่าเบื่อ.

ตัวอย่างที่ 4

อัลกอริธึมของการหารสำหรับชื่อพหุนามนั้นเป็นจริงสำหรับพหุนามด้วยสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อนและด้วยเหตุนี้เราจึงมีวิธีการแบ่งสังเคราะห์ที่ใช้สำหรับพหุนามดังกล่าวด้วย ต่อไปเราจะเห็นตัวอย่าง.

เราจะใช้วิธีการหารแบบสังเคราะห์เพื่อแสดงว่า z = 1+ 2i เป็นศูนย์ของพหุนาม P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); นั่นคือส่วนที่เหลือของการแบ่ง P (x) ระหว่าง d (x) = x - z เท่ากับศูนย์.

เราดำเนินการเหมือนก่อนหน้า: ในแถวแรกเราเขียนสัมประสิทธิ์ของ P (x) จากนั้นในวินาทีที่เราเขียน z และวาดเส้นแบ่ง.

เราแบ่งกันเหมือนเมื่อก่อน นี่คือ:

เราจะเห็นว่าสารตกค้างเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า z = 1+ 2i เป็นศูนย์ของ P (x).

การอ้างอิง

1. Baldor Aurelio. พีชคณิต. กองบรรณาธิการ Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: กราฟ, ตัวเลข, พีชคณิต 7th เอ็ดการศึกษาของเพียร์สัน.
3. Flemming W & Varserg D. พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตวิเคราะห์ ศิษย์โถง
4. Michael Sullivan. Precalculus วันที่ 4 เอ็ด การศึกษาของเพียร์สัน.
5. สีแดง Armando O. พีชคณิต 1 6th เอ็ด The Athenaeum.