การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องและแบบฝึกหัด

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดให้แต่ละองค์ประกอบของ X (S) = x1, x2, ... , xi, ... โดยที่ X เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องที่กำหนดและ S คือพื้นที่ตัวอย่างของมันความน่าจะเป็นที่กล่าวถึงเหตุการณ์จะเกิดขึ้น ฟังก์ชัน f ของ X (S) นี้ถูกนิยามเป็น f (xi) = P (X = xi) บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น.

ความน่าจะเป็นจำนวนมากนี้มักแสดงเป็นตาราง เนื่องจาก X เป็นตัวแปรสุ่มโดยสิ้นเชิง X (S) จึงมีจำนวน จำกัด ของเหตุการณ์หรืออินฟินิตี้นับได้ ในบรรดาการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่พบบ่อยที่สุดที่เรามีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ, การแจกแจงทวินามและการแจกแจงปัวซง.

ดัชนี

• 1 ลักษณะ
• 2 ประเภท
  • 2.1 การกระจายแบบสม่ำเสมอมากกว่า n จุด
  • 2.2 การกระจายแบบทวินาม
  • 2.3 การกระจาย Poisson
  • 2.4 การกระจาย hypergeometric
• 3 แบบฝึกหัดได้รับการแก้ไข
  • 3.1 การออกกำลังกายครั้งแรก
  • 3.2 การออกกำลังกายที่สอง
  • 3.3 แบบฝึกหัดที่สาม
  • 3.4 การออกกำลังกายที่สาม
• 4 อ้างอิง

คุณสมบัติ

ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

นอกจากนี้หาก X ใช้ค่าจำนวน จำกัด เท่านั้น (ตัวอย่างเช่น x1, x2, ... , xn) ดังนั้น p (xi) = 0 ถ้า i> ny ดังนั้นชุดอนันต์ของเงื่อนไข b กลายเป็น อนุกรม จำกัด.

ฟังก์ชั่นนี้ยังเติมเต็มคุณสมบัติต่อไปนี้:

ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่ม X ซึ่งหมายความว่า B มีอยู่ใน X (S) โดยเฉพาะสมมติว่า B = xi1, xi2, ... ดังนั้น:

กล่าวอีกนัยหนึ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการที่เชื่อมโยงกับ B.

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าถ้า < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

ชนิด

การกระจายสม่ำเสมอเหนือจุด n

มันบอกว่าตัวแปรสุ่ม X ตามการกระจายตัวที่โดดเด่นด้วยการเป็นเครื่องแบบในจุดที่ n หากแต่ละค่าถูกกำหนดความน่าจะเป็นที่เหมือนกัน ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ:

สมมติว่าเรามีการทดลองที่มีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มันอาจเป็นการโยนเหรียญที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือใบหน้าหรือตราประทับหรือการเลือกจำนวนเต็มซึ่งผลลัพธ์อาจเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ การทดสอบประเภทนี้เรียกว่าการทดสอบของ Bernoulli.

โดยทั่วไปผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่างเรียกว่าสำเร็จและล้มเหลวโดยที่ p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จและ 1-p ของความล้มเหลว เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของความสำเร็จ x ในการทดสอบ n Bernoulli ที่เป็นอิสระจากกันโดยมีการแจกแจงต่อไปนี้.

การกระจายแบบทวินาม

มันคือฟังก์ชั่นที่แสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะได้รับ x ความสำเร็จในการทดสอบ n Bernoulli อิสระซึ่งความน่าจะเป็นของความสำเร็จคือ p ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ:

กราฟต่อไปนี้แสดงถึงฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็นสำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม.

การกระจายต่อไปนี้เป็นหนี้ชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Simeon Poisson (1781-1840) ที่ได้รับมันเป็นข้อ จำกัด ของการกระจายทวินาม.

การกระจายปัวซอง

มันบอกว่าตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงปัวซงของพารามิเตอร์λเมื่อมันสามารถใช้ค่าจำนวนเต็มบวก 0,1,2,3, ... ด้วยความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:

ในนิพจน์นี้λคือจำนวนเฉลี่ยที่สอดคล้องกับเหตุการณ์ในแต่ละหน่วยเวลาและ x คือจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้น.

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ:

จากนั้นกราฟที่แสดงถึงฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมวลสำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบปัวซง.

โปรดทราบว่าตราบใดที่จำนวนความสำเร็จอยู่ในระดับต่ำและการทดสอบจำนวน n ที่ดำเนินการในการแจกแจงทวินามนั้นสูงเราสามารถประมาณค่าการแจกแจงเหล่านี้ได้เสมอเนื่องจากการแจกแจงปัวซองเป็นขีด จำกัด ของการแจกแจงแบบทวินาม.

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการแจกแจงสองอย่างนี้คือในขณะที่ทวินามขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สองตัวคือ n และ p - ของปัวซองนั้นขึ้นอยู่กับλซึ่งบางครั้งเรียกว่าความเข้มของการแจกแจง.

จนถึงตอนนี้เราได้พูดถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับกรณีที่การทดลองที่แตกต่างกันนั้นเป็นอิสระจากกัน กล่าวคือเมื่อผลลัพธ์ของผลลัพธ์หนึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากผลลัพธ์อื่น.

เมื่อกรณีของการทดลองที่ไม่เป็นอิสระเกิดขึ้นการแจกแจงแบบไฮเพอร์เมตริกซ์นั้นมีประโยชน์มาก.

การแจกแจงไฮเพอโรเมตริก

ให้ N เป็นจำนวนรวมของวัตถุของเซต จำกัด ซึ่งเราสามารถระบุ k ของสิ่งเหล่านี้ในบางวิธีสร้างกลุ่มย่อย K ซึ่งส่วนประกอบประกอบจะเกิดขึ้นจากองค์ประกอบ N-k ที่เหลืออยู่.

ถ้าเราสุ่มเลือกวัตถุ n ตัวแปรสุ่ม X ที่แสดงถึงจำนวนวัตถุที่เป็นของ K ในการเลือกตั้งนั้นมีการแจกแจงไฮเพอร์เมตริกซ์ของพารามิเตอร์ N, n และ k ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ:

กราฟต่อไปนี้แสดงถึงฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็นสำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบ.

การออกกำลังกายที่มีมติ

การออกกำลังกายครั้งแรก

สมมติว่าความน่าจะเป็นที่หลอดวิทยุ (ใช้กับอุปกรณ์บางประเภท) ทำงานได้นานกว่า 500 ชั่วโมงคือ 0.2 หากมีการทดสอบ 20 หลอดความน่าจะเป็นที่ k ของหลอดเหล่านี้ทำงานได้นานกว่า 500 ชั่วโมงคือเท่าไหร่ k = 0, 1,2, ... , 20?

ทางออก

หาก X คือจำนวนหลอดที่ใช้งานได้มากกว่า 500 ชั่วโมงเราจะสมมติว่า X มีการแจกแจงแบบทวินาม แล้วก็

และอื่น ๆ :

สำหรับk≥11ความน่าจะเป็นน้อยกว่า 0.001

ดังนั้นเราสามารถดูว่าความน่าจะเป็นที่ k เหล่านี้ทำงานได้นานกว่า 500 ชั่วโมงขึ้นไปอย่างไรจนถึงค่าสูงสุด (ด้วย k = 4) จากนั้นเริ่มลดลง.

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

เหรียญถูกโยน 6 ครั้ง เมื่อผลลัพธ์มีราคาแพงเราจะบอกว่าเป็นความสำเร็จ ความน่าจะเป็นของการเผชิญหน้าสองครั้งนั้นออกมาอย่างแน่นอน?

ทางออก

สำหรับกรณีนี้เรามี n = 6 และทั้งความน่าจะเป็นของความสำเร็จและความล้มเหลวคือ p = q = 1/2

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้รับสองใบหน้า (เช่น k = 2) เป็นของ

การออกกำลังกายที่สาม

ความน่าจะเป็นในการค้นหาอย่างน้อยสี่ใบหน้าคืออะไร?

ทางออก

สำหรับกรณีนี้เรามี k = 4, 5 หรือ 6

การออกกำลังกายที่สาม

สมมติว่า 2% ของบทความที่ผลิตในโรงงานนั้นมีข้อบกพร่อง ค้นหาความน่าจะเป็น P ที่มีรายการที่มีข้อบกพร่องสามตัวในตัวอย่าง 100 รายการ.

ทางออก

สำหรับกรณีนี้เราสามารถใช้การแจกแจงทวินามสำหรับ n = 100 และ p = 0.02 โดยได้ผลลัพธ์ดังนี้:

อย่างไรก็ตามเนื่องจาก p มีขนาดเล็กเราจึงใช้การประมาณปัวซองด้วยλ = np = 2 ดังนั้น,

การอ้างอิง

1. ไก่ลายจุง ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นพร้อมกระบวนการสโทแคสติก Springer-Verlag นิวยอร์กอิงค์
2. Kenneth.H Rosen. คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer ความน่าจะเป็นและการประยุกต์ทางสถิติ อิงค์ เม็กซิกันอัลฮัมบรา.
4. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องปี 2000 แก้ปัญหาได้ McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก ทฤษฎีและปัญหาความน่าจะเป็น McGraw-Hill.