อนุพันธ์ต่อเนื่อง (พร้อมแบบฝึกหัดแก้ไข)

 อนุพันธ์ต่อเนื่อง คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันหลังจากอนุพันธ์อันดับสอง กระบวนการในการคำนวณอนุพันธ์ต่อเนื่องมีดังนี้: เรามีฟังก์ชัน f ซึ่งเราสามารถได้มาซึ่งทำให้ได้ฟังก์ชันอนุพันธ์ของ f ' สำหรับอนุพันธ์ของ f นี้เราสามารถหามันได้อีกครั้งรับ (f ')'.

ฟังก์ชั่นใหม่นี้เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์ทั้งหมดที่คำนวณได้จากวินาทีนั้นต่อเนื่องกัน สิ่งเหล่านี้เรียกว่าลำดับที่สูงขึ้นมีการใช้งานที่ยอดเยี่ยมเช่นการให้ข้อมูลเกี่ยวกับพล็อตของกราฟของฟังก์ชันการทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สองสำหรับสุดขั้วสัมพัทธ์และการตัดสินใจของอนุกรมอนันต์.

ดัชนี

• 1 คำจำกัดความ
  • 1.1 ตัวอย่างที่ 1
  • 1.2 ตัวอย่างที่ 2
• 2 ความเร็วและความเร่ง
  • 2.1 ตัวอย่างที่ 1
  • 2.2 ตัวอย่างที่ 2
• 3 แอปพลิเคชัน
  • 3.1 การขยายที่ได้มา
  • 3.2 ตัวอย่าง
  • 3.3 ญาติสิ้นสุด
  • 3.4 ตัวอย่าง
  • 3.5 เทย์เลอร์ซีรีส์
  • 3.6 ตัวอย่าง
• 4 อ้างอิง

คำนิยาม

การใช้สัญลักษณ์ Leibniz เราได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน "และ" ที่เกี่ยวกับ "x" คือ dy / dx ในการแสดงอนุพันธ์อันดับสองของ "และ" โดยใช้สัญลักษณ์ Leibniz เราเขียนดังต่อไปนี้:

โดยทั่วไปเราสามารถแสดงอนุพันธ์ต่อเนื่องดังต่อไปนี้ด้วยสัญกรณ์ Leibniz โดยที่ n แทนคำสั่งของอนุพันธ์.

สัญลักษณ์อื่น ๆ ที่ใช้มีดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างบางส่วนที่เราสามารถเห็นสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันคือ:

ตัวอย่างที่ 1

รับอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน f ที่นิยามโดย:

การใช้เทคนิคการสืบทอดมาตามปกติเรามีว่าอนุพันธ์ของ f คือ:

ด้วยการทำกระบวนการซ้ำเราจะได้อนุพันธ์อันดับสองอนุพันธ์อันดับสามและอื่น ๆ.

โปรดทราบว่าอนุพันธ์อันดับสี่คือศูนย์และอนุพันธ์ของศูนย์เป็นศูนย์ดังนั้นเราต้อง:

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณอนุพันธ์อันดับสี่ของฟังก์ชันต่อไปนี้:

รับฟังก์ชั่นที่กำหนดเรามีเป็นผล:

ความเร็วและความเร่ง

หนึ่งในแรงจูงใจที่นำไปสู่การค้นพบอนุพันธ์คือการค้นหาคำจำกัดความของความเร็วชั่วขณะ คำจำกัดความที่เป็นทางการมีดังต่อไปนี้:

ให้ y = f (t) เป็นฟังก์ชันที่กราฟอธิบายวิถีของอนุภาคในช่วงเวลาหนึ่ง เสื้อ, จากนั้นความเร็วในการ t ทันทีจะได้รับจาก:

เมื่อได้ความเร็วของอนุภาคแล้วเราสามารถคำนวณการเร่งแบบฉับพลันซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

ความเร่งแบบฉับพลันของอนุภาคที่วิถีให้โดย y = f (t) คือ:

ตัวอย่างที่ 1

อนุภาคเคลื่อนที่บนเส้นตามฟังก์ชันตำแหน่ง:

โดยที่ "y" วัดเป็นเมตรและ "t" ในไม่กี่วินาที.

- ความเร็วของคุณคือ 0?

- การเร่งความเร็วของคุณคือ 0?

เมื่อได้รับฟังก์ชั่นตำแหน่ง "และ" เรามีความเร็วและความเร่งตามลำดับดังนี้:

เพื่อที่จะตอบคำถามแรกมันก็เพียงพอที่จะพิจารณาว่าเมื่อใดที่ฟังก์ชัน v กลายเป็นศูนย์ นี่คือ:

เราดำเนินการกับคำถามต่อไปนี้แบบอะนาล็อก:

ตัวอย่างที่ 2

อนุภาคเคลื่อนที่บนเส้นตามสมการการเคลื่อนที่ดังนี้

กำหนด "t, y" และ "v" เมื่อ a = 0.

รู้ว่าความเร็วและความเร่งได้มาจาก

เราได้รับและดำเนินการดังนี้:

ด้วยการทำ = 0 เรามี:

เราสามารถอนุมานได้ว่าค่าของ t สำหรับ a เท่ากับศูนย์เท่ากับ t = 1.

จากนั้นประเมินฟังก์ชันตำแหน่งและฟังก์ชันความเร็วที่ t = 1 เราต้อง:

การใช้งาน

ขยายมา

นอกจากนี้ยังสามารถได้มาซึ่งอนุพันธ์โดยปริยายมา.

ตัวอย่าง

ให้วงรีต่อไปนี้ค้นหา "และ":

โดยปริยายเมื่อเทียบกับ x เรามี:

จากนั้นโดยการได้รับ x โดยปริยายอีกครั้งมันทำให้เรา:

ในที่สุดเรามี:

สิ้นสุดญาติ

การใช้งานอื่นที่เราสามารถมอบให้กับอนุพันธ์อันดับสองคือการคำนวณจุดสิ้นสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน.

เกณฑ์ของอนุพันธ์อันดับแรกสำหรับสุดขั้วบอกเราว่าถ้าเรามีฟังก์ชัน f ต่อเนื่องในช่วง (a, b) และมี c ที่อยู่ในช่วงเวลานั้นซึ่ง f'is จะโมฆะใน c (นั่นคือ c นั้น เป็นจุดวิกฤติ) หนึ่งในสามกรณีนี้อาจเกิดขึ้น:

- ถ้า f '(x)> 0 สำหรับ x ใด ๆ ที่เป็นของ (a, c) และ f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- ถ้า f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 สำหรับ x ซึ่งเป็นของ (c, b) จากนั้น f (c) เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่น.

- หาก f '(x) มีการลงชื่อเข้าใช้แบบเดียวกัน (a, c) และใน (c, b) แสดงว่า f (c) ไม่ใช่จุดสิ้นสุดในเครื่อง.

การใช้เกณฑ์ของอนุพันธ์อันดับสองเราสามารถทราบได้ว่าจำนวนที่สำคัญของฟังก์ชันนั้นเป็นจำนวนสูงสุดหรือต่ำสุดในท้องถิ่นโดยไม่ต้องดูว่าสัญญาณของฟังก์ชันในช่วงเวลาดังกล่าวคืออะไร.

เกณฑ์ของการสืบทอดที่สองบอกเราว่าถ้า f '(c) = 0 และ f "(x) นั้นต่อเนื่องใน (a, b) มันจะเกิดขึ้นว่าถ้า f" (c)> 0 ดังนั้น f (c) คือ ท้องถิ่นขั้นต่ำและถ้า f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

ถ้า f "(c) = 0 เราไม่สามารถสรุปอะไรได้เลย.

ตัวอย่าง

รับฟังก์ชั่น f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², หาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f โดยใช้เกณฑ์ของอนุพันธ์อันดับสอง.

ก่อนอื่นเราคำนวณ f '(x) และ f "(x) และเรามี:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x8

ทีนี้ f '(x) = 0 ถ้าและถ้า 4x (x + 2) (x - 1) = 0 และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ x = 0, x = 1 หรือ x = - 2.

ในการตรวจสอบว่าจำนวนวิกฤตที่ได้รับนั้นเป็นค่าสุดขีดสัมพัทธ์มันก็เพียงพอที่จะประเมินเป็น f "และสังเกตสัญญาณของมัน.

f "(0) = - 8 ดังนั้น f (0) เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่น.

f "(1) = 12 ดังนั้น f (1) จึงเป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่น.

f "(- 2) = 24 ดังนั้น f (- 2) จึงเป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่น.

ซีรีย์เทย์เลอร์

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่นิยามไว้ดังนี้:

ฟังก์ชั่นนี้มีรัศมีของการลู่เข้า R> 0 และมีอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อทั้งหมดใน (-R, R) อนุพันธ์ต่อเนื่องของ f ให้เรา:

รับ x = 0 เราสามารถรับค่าของ c_n ขึ้นอยู่กับอนุพันธ์ของมันดังต่อไปนี้:

หากเราใช้ n = 0 เป็นฟังก์ชั่น f (นั่นคือ f ^ 0 = f) จากนั้นเราสามารถเขียนฟังก์ชั่นใหม่ดังนี้:

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชั่นเป็นชุดของกำลังใน x = a:

หากเราทำการวิเคราะห์แบบอะนาล็อกกับก่อนหน้านี้เราจะต้องเขียนฟังก์ชัน f เป็น:

ชุดนี้เป็นที่รู้จักกันในนามของซีรีส์เทย์เลอร์ f ใน เมื่อ a = 0 เรามีกรณีเฉพาะที่เรียกว่าซีรี่ส์ Maclaurin ซีรี่ส์ประเภทนี้มีความสำคัญทางคณิตศาสตร์อย่างมากโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเนื่องจากเราสามารถกำหนดฟังก์ชันในคอมพิวเตอร์เช่น^x , sin (x) และ cos (x).

ตัวอย่าง

รับซีรี่ส์ Maclaurin สำหรับ e^x.

โปรดทราบว่าถ้า f (x) = e^x, จากนั้น f^(N)(x) = e^x และ f^(N)(0) = 1 ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมซีรี่ส์ Maclaurin ของเขาคือ:

การอ้างอิง

1. Frank Ayres, J. , & Mendelson, E. (s.f. ). การคำนวณ 5. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). การคำนวณด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. HARLA, S.A.
3. Purcell, E. J. , Varberg, D. , & Rigdon, S. E. (2007). การคำนวณ. เม็กซิโก: การศึกษาของเพียร์สัน.
4. Saenz, J. (2005). การคำนวณเชิงอนุพันธ์. ด้านของสามเหลี่ยม.
5. Saenz, J. (s.f. ). แคลคูลัสที่ครอบคลุม. ด้านของสามเหลี่ยม.