อนุพันธ์เชิงพีชคณิต (พร้อมตัวอย่าง)



อนุพันธ์เชิงพีชคณิต มันประกอบไปด้วยการศึกษาอนุพันธ์ในกรณีเฉพาะของฟังก์ชันพีชคณิต ที่มาของความคิดของอนุพันธ์กลับไปกรีกโบราณ การพัฒนาความคิดนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากความจำเป็นที่จะต้องแก้ปัญหาที่สำคัญสองประการปัญหาหนึ่งคือวิชาฟิสิกส์และอีกวิชาหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์.

ในวิชาฟิสิกส์อนุพันธ์จะแก้ปัญหาการกำหนดความเร็วของวัตถุเคลื่อนที่ ในคณิตศาสตร์คุณสามารถหาเส้นสัมผัสแทนเส้นโค้งที่จุดที่กำหนด.

แม้ว่าจะมีปัญหาอีกมากที่แก้ไขได้โดยใช้อนุพันธ์เช่นเดียวกับการสรุปทั่วไปผลที่เกิดขึ้นหลังจากการแนะนำแนวคิด.

ผู้บุกเบิกแคลคูลัสต่างกันคือนิวตันและไลบนิซ ก่อนที่จะให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการเราจะพัฒนาความคิดเบื้องหลังจากมุมมองทางคณิตศาสตร์และทางกายภาพ.

ดัชนี

  • 1 อนุพันธ์เป็นความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง
  • 2 อนุพันธ์เป็นความเร็วชั่วขณะของวัตถุเคลื่อนที่
    • 2.1 ฟังก์ชันพีชคณิต
  • 3 กฎการสืบทอด
    • 3.1 มาจากค่าคงที่
    • 3.2 อนุพันธ์ของพลังงาน
    • 3.3 ได้มาจากการบวกและการลบ
    • 3.4 อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
    • 3.5 มาจากความฉลาดทาง
    • 3.6 กฎของโซ่
  • 4 อ้างอิง

อนุพันธ์เป็นความชันของเส้นสัมผัสแทนเส้นโค้ง

สมมติว่ากราฟของฟังก์ชัน y = f (x) เป็นกราฟต่อเนื่อง (โดยไม่มียอดหรือจุดยอดหรือแยก) และให้ A = (a, f (a)) เป็นจุดคงที่ เราต้องการหาสมการของเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด A.

ใช้จุดอื่น P = (x, f (x)) ของกราฟใกล้กับจุด A และวาดเส้นตัดวงกลมที่ผ่าน A และ P เส้นตัดตัดวงกลมเป็นเส้นตัดที่กราฟของเส้นโค้งในหนึ่ง หรือมากกว่าคะแนน.

ในการรับเส้นสัมผัสที่เราต้องการเราจะต้องคำนวณความชันเพราะเรามีจุดอยู่บนเส้นแล้ว: จุด A.

หากเราเลื่อนจุด P ไปตามกราฟและนำเข้าใกล้จุด A มากขึ้นเส้นตัดแกนที่กล่าวถึงข้างต้นจะเข้าใกล้เส้นสัมผัสที่เราต้องการค้นหา การ จำกัด เมื่อ "P มีแนวโน้มที่จะ" ทั้งสองเส้นจะตรงกันดังนั้นความลาดชันของมันยัง.

ความชันของเส้นตัดตัดวงกลมนั้นได้มาจาก

การบอกว่า P approach A เทียบเท่ากับการบอกว่า "x" เข้าใกล้ "a" ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสกับกราฟของ f ที่จุด A จะเท่ากับ:

นิพจน์ด้านบนแสดงโดย f '(a) และถูกนิยามเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด "a" เราเห็นแล้วว่าการวิเคราะห์อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นในจุดนั้นมีขีด จำกัด แต่ในเชิงเรขาคณิตมันคือความชันของเส้นสัมผัสที่กราฟของฟังก์ชันในจุดนั้น.

ตอนนี้เราจะเห็นความคิดนี้จากมุมมองของฟิสิกส์ เราจะมาถึงการแสดงออกที่เหมือนกันของข้อ จำกัด ก่อนหน้านี้แม้ว่าจะมีวิธีที่แตกต่างกัน แต่ได้รับความเป็นเอกฉันท์ของคำจำกัดความ.

อนุพันธ์เป็นความเร็วชั่วขณะของวัตถุเคลื่อนที่

เรามาดูตัวอย่างสั้น ๆ ของความหมายความเร็วทันที ยกตัวอย่างเช่นเมื่อมีการกล่าวเช่นรถที่ไปถึงจุดหมายปลายทางนั้นทำได้ด้วยความเร็ว 100 กม. ต่อชั่วโมงซึ่งหมายความว่าในหนึ่งชั่วโมงจะเดินทางได้ 100 กม..

นี่ไม่ได้หมายความว่าตลอดทั้งชั่วโมงรถอยู่ห่างออกไป 100 กม. เสมอมาตรวัดความเร็วของรถสามารถทำได้ในบางช่วงเวลาไม่มากก็น้อย หากเขาต้องการหยุดรถที่สัญญาณไฟจราจรความเร็วในขณะนั้นคือ 0 กม. อย่างไรก็ตามหลังจากผ่านไปหนึ่งชั่วโมงเส้นทางก็ 100 กิโลเมตร.

นี่คือสิ่งที่เรียกว่าความเร็วเฉลี่ยและได้รับจากความฉลาดของระยะทางที่เดินทางระหว่างเวลาที่ผ่านไปตามที่เราเพิ่งเห็น ในทางกลับกันความเร็วนั้นเป็นสิ่งที่ทำเครื่องหมายเข็มของมาตรวัดความเร็วของรถยนต์ในเวลาที่กำหนด.

ลองดูที่ตอนนี้โดยทั่วไปแล้ว สมมติว่าวัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นและการกระจัดนี้แสดงด้วยสมการ s = f (t) โดยที่ตัวแปร t วัดเวลาและตัวแปรของการกระจัดโดยคำนึงถึงจุดเริ่มต้นใน t = 0 ทันทีซึ่งในเวลานั้นก็เป็นศูนย์เช่นกันนั่นคือ f (0) = 0.

ฟังก์ชัน f (t) นี้เรียกว่าฟังก์ชันตำแหน่ง.

การแสดงออกที่ถูกแสวงหาสำหรับความเร็วชั่วขณะของวัตถุในทันทีคงที่ "a" ด้วยความเร็วนี้เราจะแสดงว่าเป็น V (a).

อย่าอยู่ใกล้กับ "a" ในทันที ในช่วงเวลาระหว่าง "a" และ "t" การเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุจะถูกกำหนดโดย f (t) -f (a).

ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลานี้คือ:

ซึ่งเป็นการประมาณค่าความเร็วชั่วขณะ V (a) การประมาณนี้จะดีกว่าเมื่อเข้าใกล้ "a" ดังนั้น,

สังเกตว่าการแสดงออกนี้เท่ากับที่ได้รับในกรณีก่อนหน้า แต่จากมุมมองที่แตกต่าง นี่คือสิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ณ จุด "a" และแสดงโดย f '(a) ตามที่ระบุข้างต้น.

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลง h = x-a เรามีเมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "a", "h" มีแนวโน้มที่ 0 และขีด จำกัด ก่อนหน้านี้จะถูกเปลี่ยน (เทียบเท่า) เป็น:

ทั้งสองนิพจน์นั้นเทียบเท่ากัน แต่บางครั้งก็เป็นการดีกว่าถ้าจะใช้อีกอันหนึ่งแทนอีกอันหนึ่ง.

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่น f นั้นถูกนิยามไว้โดยทั่วไป ณ จุดใด ๆ "x" ซึ่งเป็นของโดเมนในฐานะ

สัญกรณ์ปกติที่สุดสำหรับการแสดงถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f (x) คือสิ่งที่เราเพิ่งเห็น (f 'o และ') อย่างไรก็ตามอีกหนึ่งสัญกรณ์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือสัญกรณ์ Leibniz ที่แสดงเป็นหนึ่งในการแสดงออกต่อไปนี้:

ในมุมมองของความจริงที่ว่าอนุพันธ์นั้นเป็นข้อ จำกัด มันอาจหรืออาจไม่มีอยู่จริงเพราะข้อ จำกัด นั้นไม่ได้มีอยู่เสมอ ถ้ามันมีอยู่มันก็บอกว่าฟังก์ชั่นที่เป็นปัญหาจะแตกต่างกันในจุดที่กำหนด.

ฟังก์ชันพีชคณิต

ฟังก์ชันเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นการรวมกันของพหุนามโดยใช้ผลบวกลบจำนวนผลคูณหารหารพลังและอนุมูล.

พหุนามเป็นการแสดงออกของแบบฟอร์ม

Pn= anxn+ ไปยังn-1xn-1+ ไปยังn-2xn-2+... + a2x2+ ไปยัง1x + a0

โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติและ a ทั้งหมดผม, ด้วย i = 0,1, ... , n, เป็นจำนวนตรรกยะและ an≠ 0 ในกรณีนี้มีการกล่าวกันว่าระดับของพหุนามนี้คือ n.

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันพีชคณิต:

ฟังก์ชั่นเลขชี้กำลังลอการิทึมและตรีโกณมิติไม่รวมอยู่ที่นี่ กฎของการสืบทอดที่เราจะเห็นด้านล่างนั้นใช้ได้สำหรับฟังก์ชั่นทั่วไป แต่เราจะ จำกัด ตัวเองและนำไปใช้ในกรณีของฟังก์ชันพีชคณิต.

บายพาสกฎ

มาจากค่าคงที่

มันพิสูจน์ได้ว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ นั่นคือถ้า f (x) = c ดังนั้น f '(x) = 0 ตัวอย่างเช่นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ 2 เท่ากับ 0.

มาจากพลัง

ถ้า f (x) = xn, จากนั้น f '(x) = nxn-1. ตัวอย่างเช่นอนุพันธ์ของ x3 มันคือ 3x2. ด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกลักษณ์ f (x) = x คือ f '(x) = 1x1-1= x0= 1.

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ: f (x) = 1 / x2, ดังนั้น f (x) = x-2 และ f '(x) = - 2x-2-1= -2x-3.

สถานที่ให้บริการนี้ยังเป็นรากที่ถูกต้องเพราะรากเป็นพลังที่มีเหตุผลและคุณสามารถใช้ด้านบนในกรณีนั้น ตัวอย่างเช่นอนุพันธ์ของสแควร์รูทจะถูกกำหนดโดย

มาจากผลรวมและการลบ

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ใน x ดังนั้นผลรวมของ f + g ก็แตกต่างกันและ (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

เรามี (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x) กล่าวอีกนัยหนึ่งอนุพันธ์ของผลรวม (การลบ) คือผลรวม (หรือการลบ) ของอนุพันธ์.

ตัวอย่าง

ถ้า h (x) = x2+x-1 แล้ว

h '(x) = (x2) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

มาจากผลิตภัณฑ์

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชั่นที่เปลี่ยนแปลงได้ใน x ดังนั้นผลิตภัณฑ์ fg ก็สามารถจำแนกได้ใน x และเป็นจริงที่

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

ด้วยเหตุนี้เรามีว่าถ้า c เป็นค่าคงที่และ f เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ใน x ดังนั้น cf จึงหาอนุพันธ์ได้ใน x และ (cf) '(x) = cf' (X).

ตัวอย่าง

ถ้า f (x) = 3x (x2+1) จากนั้น

f '(x) = (3x)' (x2+1) + (3x) (x2+1) '= 3 (x)' (x2+1) + 3x [(x2) '+ (1)']

= 3 (1) (x2+1) + 3x [(2x2-1) +0] = 3 (x2+1) + 3x (2x) = 3x2+3 + 6x2

= 9x2+3.

มาจากความฉลาด

ถ้า f และ g หาอนุพันธ์ได้ใน x และ g (x) ≠ 0 ดังนั้น f / g ก็หาอนุพันธ์ได้ใน x และเป็นจริงที่

ตัวอย่างเช่น: ถ้า h (x) = x3/ (x2-5x) จากนั้น

h '(x) = [(x3) '(x5-5x) - (x3) (x5-5x) '] / (x5-5x)2= [(3x2) (x5-5x) - (x3) (5x4-5)] / (x5-5x)2.

กฎลูกโซ่

กฎนี้อนุญาตให้มีการสืบทอดองค์ประกอบของฟังก์ชัน มันกำหนดสิ่งต่อไปนี้: ถ้า y = f (u) เป็น differentiable ใน u, yu = g (x) เป็นอนุพันธ์ใน x แล้วฟังก์ชันผสม f (g (x)) เป็น differentiable ใน x และเป็นที่พอใจว่า [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

นั่นคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิตคือผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (อนุพันธ์ภายนอก) โดยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน (อนุพันธ์ภายใน).

ตัวอย่าง

ถ้า f (x) = (x4-2x)3, แล้วก็

f '(x) = 3 (x4-2x)2(x4-2x) '= 3 (x4-2x)2(4x3-2).

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ในการคำนวณอนุพันธ์ของค่าผกผันของฟังก์ชันเช่นเดียวกับการวางนัยทั่วไปของอนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้น แอพพลิเคชั่นมีมากมาย ในหมู่พวกเขาพวกเขาเน้นอรรถประโยชน์ของพวกเขาในปัญหาของการเพิ่มประสิทธิภาพและฟังก์ชั่นสูงสุดและต่ำสุด.

การอ้างอิง

  1. Alarcon, S. , González, M. , & Quintana, H. (2008). การคำนวณเชิงอนุพันธ์. ITM.
  2. Cabrera, V. M. (1997). การคำนวณ 4000. บรรณาธิการ Progreso.
  3. Castaño, H. F. (2005). คณิตศาสตร์ก่อนการคำนวณ. มหาวิทยาลัย Medellin.
  4. Eduardo, N. A. (2003). การคำนวณเบื้องต้น. รุ่นเกณฑ์.
  5. แหล่งที่มา, A. (2016). คณิตศาสตร์พื้นฐาน บทนำสู่การคำนวณ. Lulu.com.
  6. เพอร์เซลล์, E. J. , Rigdon, S. E. , & Varberg, D. E. (2007). การคำนวณ. การศึกษาของเพียร์สัน.
  7. Saenz, J. (2005). การคำนวณเชิงอนุพันธ์ (ฉบับที่สอง) Barquisimeto: ด้านตรงข้ามมุมฉาก.
  8. โทมัส, G. บี, และฝาย, M. D. (2006). การคำนวณ: ตัวแปรหลายตัว. การศึกษาของเพียร์สัน.