เปลี่ยนนิยาม Laplace, ประวัติ, คุณสมบัติของมัน

เปลี่ยนจาก Laplace ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมามีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาวิศวกรรมคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ท่ามกลางวิทยาศาสตร์อื่น ๆ เช่นเดียวกับความสนใจในทฤษฎีให้วิธีง่าย ๆ ในการแก้ปัญหาที่มาจากวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม.

เดิมการแปลง Laplace ถูกนำเสนอโดย Pierre-Simon Laplace ในการศึกษาของเขาในทฤษฎีของความน่าจะเป็นและเริ่มแรกถือว่าเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจทางทฤษฎีเพียง.

การใช้งานปัจจุบันเกิดขึ้นเมื่อนักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามที่จะให้เหตุผลอย่างเป็นทางการกับ "กฎการดำเนินงาน" ที่ใช้โดย Heaviside ในการศึกษาสมการของทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า.

ดัชนี

• 1 คำจำกัดความ
  • 1.1 ตัวอย่าง
  • 1.2 ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่)
  • 1.3 Laplace transform ของฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง
• 2 ประวัติศาสตร์
  • 2.1 1782, Laplace
  • 2.2 Oliver Heaviside
• 3 คุณสมบัติ
  • 3.1 ลิเนียริตี้
  • 3.2 ทฤษฎีการแปลครั้งแรก
  • 3.3 ทฤษฎีบทการแปลที่สอง
  • 3.4 การเปลี่ยนขนาด
  • 3.5 ransformation ของ Laplace ของอนุพันธ์
  • 3.6 การแปลงลาปซจากอินทิกรัล
  • 3.7 การคูณด้วย tn
  • 3.8 หมวดที
  • 3.9 ฟังก์ชันตามงวด
  • 3.10 พฤติกรรมของ F (s) เมื่อ s มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด
• 4 การแปลงผกผัน
  • 4.1 การออกกำลังกาย
• 5 การประยุกต์ใช้การแปลง Laplace
  • 5.1 สมการเชิงอนุพันธ์
  • 5.2 ระบบสมการเชิงอนุพันธ์
  • 5.3 กลศาสตร์และวงจรไฟฟ้า
• 6 อ้างอิง

คำนิยาม

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้สำหรับ t ≥ 0 การแปลง Laplace ถูกกำหนดดังนี้:

มันบอกว่ามีการแปลง Laplace อยู่ถ้าอินทิกรัลรวมก่อนหน้ามิฉะนั้นจะกล่าวว่าไม่มีการแปลง Laplace.

โดยทั่วไปหากต้องการแสดงฟังก์ชันที่ต้องการแปลงจะใช้ตัวอักษรพิมพ์เล็กและอักษรตัวพิมพ์ใหญ่สอดคล้องกับการแปลง ด้วยวิธีนี้เราจะได้:

ตัวอย่าง

ลองพิจารณาฟังก์ชั่นค่าคงที่ f (t) = 1 เราได้ว่าการแปลงของมันคือ:

เมื่อใดก็ตามที่อินทิกรัลลู่เข้าจะถูกจัดเตรียมไว้ว่า s> 0 เสมอมิฉะนั้น s < 0, la integral diverge.

ให้ g (t) = t Laplace transform ของคุณมอบให้โดย

โดยบูรณาการโดยชิ้นส่วนและรู้ว่าคุณ^{-เซนต์} มันมีแนวโน้มที่ 0 เมื่อ t มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดและ s> 0 พร้อมกับตัวอย่างก่อนหน้านี้เรามี:

การแปลงอาจหรืออาจไม่มีอยู่ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน f (t) = 1 / t อินทิกรัลที่นิยามการแปลง Laplace ไม่ได้มาบรรจบกันดังนั้นจึงไม่มีการแปลง.

เงื่อนไขที่เพียงพอเพื่อให้แน่ใจว่าการแปลง Laplace ของฟังก์ชัน f มีอยู่นั่นคือ f เป็นส่วนต่อเนื่องสำหรับ t ≥ 0 และเป็นลำดับเลขชี้กำลัง.

มันบอกว่าฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องในชิ้นส่วนสำหรับ t ≥ 0 เมื่อช่วงเวลาใด ๆ [a, b] กับ> 0 มีจำนวน จำกัด ของคะแนน t_k, โดยที่ f มีความไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องในแต่ละช่วงย่อย [t_K-1,เสื้อ_k].

ในทางตรงกันข้ามมันก็บอกว่าฟังก์ชั่นของการชี้แจงเพื่อคถ้ามีค่าคงที่จริง M> 0, c และ T> 0 เช่นนั้น:

ตัวอย่างเช่นเรามี f (t) = t² เป็นของคำสั่งอธิบายตั้งแต่ | t²| < e^3t สำหรับทุกคน> 0.

อย่างเป็นทางการเรามีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่)

ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องต่อส่วนสำหรับ t> 0 และของคำสั่งเลขชี้กำลัง c ดังนั้นจะมีการแปลง Laplace สำหรับ s> c.

มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเน้นว่านี่เป็นเงื่อนไขของความเพียงพอนั่นคือมันอาจเป็นไปได้ว่ามีฟังก์ชั่นที่ไม่ตรงกับเงื่อนไขเหล่านี้และถึงแม้จะมีการแปลง Laplace.

ตัวอย่างของสิ่งนี้คือฟังก์ชัน f (t) = t^-1/2 ที่ไม่ต่อเนื่องในชิ้นส่วนสำหรับ t ≥ 0 แต่การแปลง Laplace มีอยู่.

Laplace transform ของฟังก์ชั่นพื้นฐานบางอย่าง

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลง Laplace ของฟังก์ชันทั่วไป.

ประวัติศาสตร์

Laplace transform นั้นเป็นชื่อของ Pierre-Simon Laplace นักดาราศาสตร์เชิงทฤษฎีและนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่เกิดในปี 1749 และเสียชีวิตในปี 1827 ชื่อเสียงของเขาเป็นที่รู้จักในฐานะนิวตันของฝรั่งเศส.

ใน 1,744 Leonard Euler อุทิศการศึกษาของเขาเพื่อรวมกับรูปแบบ

เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ แต่ได้ยกเลิกการตรวจสอบนี้อย่างรวดเร็ว ต่อมาโจเซฟหลุยส์ลากรองจ์ผู้ชื่นชมออยเลอร์ได้ตรวจสอบอินทิกรัลประเภทนี้และเชื่อมโยงพวกเขากับทฤษฎีความน่าจะเป็น.

2325, Laplace

ในปี ค.ศ. 1782 Laplace เริ่มศึกษา integrals เหล่านี้เพื่อหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์และตามที่นักประวัติศาสตร์ในปี 1785 เขาตัดสินใจที่จะปฏิรูปปัญหาซึ่งต่อมาได้ให้กำเนิด Laplace ที่พวกเขาเข้าใจในวันนี้.

หลังจากได้รับการแนะนำให้รู้จักกับทฤษฎีความน่าจะเป็นมันเป็นที่สนใจของนักวิทยาศาสตร์ในเวลาเพียงเล็กน้อยและถูกมองว่าเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีความสนใจเชิงทฤษฎีเท่านั้น.

Oliver Heaviside

ในช่วงกลางศตวรรษที่สิบเก้าเมื่อวิศวกรชาวอังกฤษโอลิเวอร์เฮวิไซด์ค้นพบว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สามารถถือว่าเป็นตัวแปรเชิงพีชคณิตได้ดังนั้นจึงทำให้แอปพลิเคชันสมัยใหม่ของพวกเขาเปลี่ยน Laplace.

Oliver Heaviside เป็นนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษวิศวกรไฟฟ้าและนักคณิตศาสตร์ที่เกิดในปี 1850 ในลอนดอนและเสียชีวิตในปี 1925 ในขณะที่พยายามแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์ที่ใช้กับทฤษฎีการสั่นสะเทือนและใช้การศึกษาของ Laplace เขาเริ่มสร้างรูปร่าง แอปพลิเคชั่นที่ทันสมัยของ Laplace transforms.

ผลลัพธ์ที่แสดงโดย Heaviside แพร่กระจายอย่างรวดเร็วทั่วชุมชนวิทยาศาสตร์ของเวลา แต่เป็นงานที่ไม่เข้มงวดมันถูกวิจารณ์อย่างรวดเร็วโดยนักคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมมากขึ้น.

อย่างไรก็ตามประโยชน์ของการทำงานของ Heaviside ในการแก้สมการฟิสิกส์ทำให้วิธีการของเขาเป็นที่นิยมของนักฟิสิกส์และวิศวกร.

ทั้งๆที่ความพ่ายแพ้เหล่านี้และหลังจากความพยายามที่ล้มเหลวมานานหลายสิบปีในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 ก็มีเหตุผลที่เข้มงวดในการปฏิบัติตามกฎของเฮฟวิไซด์.

ความพยายามเหล่านี้ได้รับการตอบแทนด้วยความพยายามของนักคณิตศาสตร์ที่มีความหลากหลายเช่น Bromwich, Carson, van der Pol และอื่น ๆ.

สรรพคุณ

ในบรรดาคุณสมบัติของการแปลง Laplace ดังต่อไปนี้โดดเด่น:

เป็นเส้นตรง

ให้ c1 และ c2 เป็นค่าคงที่และฟังก์ชัน f (t) และ g (t) ซึ่งการแปลง Laplace เป็น F (s) และ G (s) ตามลำดับจากนั้นเราต้อง:

เนื่องจากคุณสมบัตินี้มีการกล่าวกันว่าการแปลง Laplace เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น.

ตัวอย่าง

ทฤษฎีการแปลครั้งแรก

ถ้ามันเกิดขึ้นที่:

และ 'a' คือจำนวนจริงใด ๆ จากนั้น:

ตัวอย่าง

เมื่อ Laplace transform ของ cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) แล้ว:

ทฤษฎีการแปลที่สอง

ถ้า

แล้วก็

ตัวอย่าง

ถ้า f (t) = t ^ 3 ดังนั้น F (s) = 6 / s ^ 4 และดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของ

คือ G (s) = 6e^-2s/ s ^ 4

การเปลี่ยนขนาด

ถ้า

และ 'a' เป็นของจริงที่ไม่เป็นศูนย์เราต้องทำ

ตัวอย่าง

เนื่องจากการแปลงของ f (t) = sin (t) คือ F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) จะต้องมี

ransformation ของ Laplace ของอนุพันธ์

ถ้า f, f ', f ", ... , f^(N) มีความต่อเนื่องสำหรับ t ≥ 0 และเป็นคำสั่งเลขชี้กำลังและ f^(N)(t) ต่อเนื่องเป็นส่วน ๆ สำหรับ t ≥ 0 จากนั้น

Laplace transform ของอินทิกรัล

ถ้า

แล้วก็

การคูณด้วย tⁿ

หากเราต้อง

แล้วก็

หารด้วยต

หากเราต้อง

แล้วก็

ฟังก์ชั่นเป็นระยะ

ให้ f เป็นฟังก์ชันตามรอบเวลาด้วยจุด T> 0 นั่นคือ f (t + T) = f (t) จากนั้น

พฤติกรรมของ F (s) เมื่อ s มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ถ้า f ต่อเนื่องในชิ้นส่วนและของเลขชี้กำลังและ

แล้วก็

การแปลงผกผัน

เมื่อเราใช้ Laplace transform กับฟังก์ชัน f (t) เราจะได้ F (s) ซึ่งแสดงถึงการแปลงนั้น ในทำนองเดียวกันเราสามารถพูดได้ว่า f (t) คือการแปลง Laplace ผกผันของ F (s) และเขียนเป็น

เรารู้ว่าการแปลง Laplace ของ f (t) = 1 และ g (t) = t คือ F (s) = 1 / s และ G (s) = 1 / s² ตามลำดับดังนั้นเราต้อง

Laplace transform ที่กลับกันบางอย่างมีดังนี้

นอกจากนี้การแปลง Laplace แบบผกผันเป็นแบบเชิงเส้นกล่าวคือเป็นจริงที่

การออกกำลังกาย

พบ

ในการแก้แบบฝึกหัดนี้เราจะต้องจับคู่ฟังก์ชั่น F กับหนึ่งในตารางก่อนหน้า ในกรณีนี้ถ้าเราหา n + 1 = 5 และใช้คุณสมบัติ linearity ของการแปลงผกผันเราจะคูณและหารด้วย 4! ได้รับ

สำหรับการแปลงผกผันครั้งที่สองเราใช้เศษส่วนบางส่วนเพื่อเขียนฟังก์ชัน F (s) อีกครั้งและจากนั้นคุณสมบัติของ linearity ได้รับ

ดังที่เราเห็นได้จากตัวอย่างเหล่านี้เป็นเรื่องปกติที่ฟังก์ชัน F (s) ที่ได้รับการประเมินไม่เห็นด้วยกับฟังก์ชั่นใด ๆ ที่ให้ไว้ในตาราง สำหรับกรณีเหล่านี้เมื่อสังเกตพบแล้วก็เพียงพอที่จะเขียนฟังก์ชันใหม่จนกว่าจะถึงแบบฟอร์มที่เหมาะสม.

การประยุกต์ใช้การแปลง Laplace

สมการเชิงอนุพันธ์

การประยุกต์หลักของการแปลง Laplace คือการแก้สมการเชิงอนุพันธ์.

การใช้คุณสมบัติของการแปลงของอนุพันธ์นั้นชัดเจนว่า

และจากอนุพันธ์ของ n-1 ประเมินที่ t = 0.

คุณสมบัตินี้ทำให้การแปลงมีประโยชน์อย่างมากสำหรับการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้นที่สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่เกี่ยวข้อง.

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีการใช้ Laplace transform เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์.

ตัวอย่างที่ 1

รับปัญหาค่าเริ่มต้นดังต่อไปนี้

ใช้ Laplace transform เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหา.

เราใช้ Laplace transform กับสมาชิกแต่ละคนของสมการอนุพันธ์

สำหรับคุณสมบัติของการแปลงของอนุพันธ์เรามี

โดยการพัฒนาการแสดงออกและการล้างและ (s) เราจะเหลือ

การใช้เศษส่วนบางส่วนเพื่อเขียนด้านขวาของสมการที่เราได้รับ

ในที่สุดเป้าหมายของเราคือการหาฟังก์ชั่น y (t) ที่ตรงกับสมการอนุพันธ์ การใช้การแปลง Laplace แบบผกผันทำให้เราได้ผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 2

แก้

ดังเช่นในกรณีก่อนหน้านี้เราใช้การแปลงทั้งสองด้านของสมการและคำที่แยกจากกันโดยคำ.

ด้วยวิธีนี้เรามีผลลัพธ์

การแทนที่ด้วยค่าเริ่มต้นที่กำหนดและการหักล้าง Y (s)

การใช้เศษส่วนอย่างง่ายทำให้เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้

และการใช้การแปลงผกผันของ Laplace ทำให้เราได้ผลลัพธ์

ในตัวอย่างเหล่านี้เราอาจได้ข้อสรุปที่ผิดว่าวิธีนี้ไม่ได้ดีไปกว่าวิธีดั้งเดิมในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์.

ข้อดีที่นำเสนอโดยการแปลง Laplace คือไม่จำเป็นต้องใช้การแปรผันของพารามิเตอร์หรือกังวลเกี่ยวกับกรณีต่าง ๆ ของวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน.

นอกเหนือจากการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้นด้วยวิธีนี้ตั้งแต่ต้นเราใช้เงื่อนไขเริ่มต้นดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณอื่น ๆ เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ.

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์

Laplace transform ยังสามารถใช้เพื่อค้นหาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญพร้อมกันดังตัวอย่างต่อไปนี้แสดง.

ตัวอย่าง

แก้

ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น x (0) = 8 e และ (0) = 3.

หากเราต้อง

แล้วก็

การแก้ไขผลลัพธ์ในตัวเรา

และเมื่อใช้การแปลงผกผัน Laplace เรามี

กลศาสตร์และวงจรไฟฟ้า

Laplace transform มีความสำคัญอย่างยิ่งในฟิสิกส์ส่วนใหญ่มีการใช้งานสำหรับวงจรเครื่องกลและไฟฟ้า.

วงจรไฟฟ้าที่เรียบง่ายประกอบด้วยองค์ประกอบดังต่อไปนี้

สวิตช์แบตเตอรี่หรือแหล่งกำเนิดไฟฟ้าตัวเหนี่ยวนำตัวต้านทานและตัวเก็บประจุ เมื่อปิดสวิตช์กระแสไฟฟ้าจะถูกผลิตโดย i (t) ค่าตัวเก็บประจุถูกแทนด้วย q (t).

ตามกฎข้อที่สองของ Kirchhoff แรงดันไฟฟ้าที่ผลิตโดยแหล่งกำเนิด E ต่อวงจรปิดจะต้องเท่ากับผลรวมของแรงดันไฟฟ้าแต่ละหยด.

กระแสไฟฟ้า i (t) เกี่ยวข้องกับประจุ q (t) ในตัวเก็บประจุโดย i = dq / dt ในทางกลับกันแรงดันไฟฟ้าตกนั้นถูกกำหนดไว้ในแต่ละองค์ประกอบดังนี้:

แรงดันไฟฟ้าตกในตัวต้านทานคือ iR = R (dq / dt)

แรงดันไฟฟ้าตกในตัวเหนี่ยวนำคือ L (di / dt) = L (d²q / dt²)

แรงดันไฟฟ้าตกในตัวเก็บประจุคือ q / C

ด้วยข้อมูลนี้และการใช้กฎเคิร์ชฮอฟฟ์ที่สองกับวงจรแบบปิดง่ายสมการอนุพันธ์อันดับสองจะได้รับซึ่งอธิบายระบบและช่วยให้เราสามารถกำหนดค่าของ q (t).

ตัวอย่าง

ตัวเหนี่ยวนำตัวเก็บประจุและตัวต้านทานเชื่อมต่อกับแบตเตอรี่ E ดังแสดงในรูป ตัวเหนี่ยวนำเป็น 2 เฮนรี่ส์ตัวเก็บประจุของ 0.02 ฟาร์ดและความต้านทาน 16 โอห์ม ในเวลา t = 0 วงจรจะปิด ค้นหาโหลดและกระแสได้ตลอดเวลา t> 0 ถ้า E = 300 โวลต์.

เรามีสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายวงจรนี้ดังต่อไปนี้

โดยที่เงื่อนไขเริ่มต้นคือ q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

การนำ Laplace transform มาใช้เราได้สิ่งนั้น

และการล้าง Q (t)

จากนั้นใช้การแปลงลาปลาสแบบผกผันที่เรามี

การอ้างอิง

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace transform สำหรับวิศวกรอิเล็กทรอนิกส์. Limusa.
2. Ruiz, L. M. , & Hernandez, M. P. (2006). สมการเชิงอนุพันธ์และการแปลงลาปลาซกับแอปพลิเคชัน. บทบรรณาธิการ UPV.
3. ซิมมอนส์กรัมเอฟ. (2536). สมการเชิงอนุพันธ์กับแอปพลิเคชันและบันทึกทางประวัติศาสตร์. McGraw-Hill.
4. Spiegel, M. R. (1991). Laplace Transforms. McGraw-Hill.
5. Zill, D. G. , & Cullen, M. R. (2008). สมการเชิงอนุพันธ์กับปัญหาค่านิยมที่ชายแดน. Cengage Learning Editores, S.A..