คำอธิบายทฤษฎีบทเบย์แอปพลิเคชันแบบฝึกหัด

ทฤษฎีบทของเบย์ เป็นขั้นตอนที่อนุญาตให้เราแสดงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์สุ่ม A ที่กำหนด B ในแง่ของการแจกแจงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ที่กำหนด A และการแจกแจงความน่าจะเป็นเพียง A.

ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์มากเพราะต้องขอบคุณเพราะเราสามารถเชื่อมโยงความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เกิดขึ้นโดยรู้ว่า B เกิดขึ้นพร้อมความน่าจะเป็นที่ตรงกันข้ามเกิดขึ้นนั่นคือ B เกิดขึ้นเนื่องจาก A.

ทฤษฎีบทของเบย์เป็นข้อเสนอที่เป็นสีเงินโดยนายโทมัสเบย์ซึ่งเป็นนักศาสนศาสตร์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่สิบแปดซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ด้วยเช่นกัน เขาเป็นผู้ประพันธ์ผลงานทางเทววิทยาหลายประการ แต่ปัจจุบันเป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นบทความทางคณิตศาสตร์สองเล่มซึ่งทฤษฎีบทดังกล่าวของ Bayes ดังกล่าวเป็นผลหลัก.

เบส์จัดการกับทฤษฎีบทนี้ในบทความเรื่อง "การเขียนเรียงความต่อการแก้ปัญหาในหลักคำสอนของโอกาส" ตีพิมพ์ในปี 2306 และงานใหญ่ได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ไขปัญหาในหลักคำสอนของความเป็นไปได้ ศึกษาเกี่ยวกับการใช้งานในด้านความรู้ต่างๆ.

ดัชนี

• 1 คำอธิบาย
• การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเบย์ 2
  • 2.1 แบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไข
• 3 อ้างอิง

คำอธิบาย

ประการแรกเพื่อความเข้าใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นบางอย่างจำเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทการคูณสำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขซึ่งระบุว่า

สำหรับ E และ A กิจกรรมตามอำเภอใจของพื้นที่ตัวอย่าง S.

และความหมายของพาร์ติชั่นซึ่งบอกเราว่าถ้าเรามี A₁ ,₂,... , A_n เหตุการณ์ของพื้นที่ตัวอย่าง S เหล่านี้จะสร้างพาร์ติชันของ S ถ้า A_ผม พวกเขาเป็นเอกสิทธิ์เฉพาะบุคคลและสหภาพของพวกเขาคือ S.

หากมีสิ่งนี้ให้ B เป็นอีกเหตุการณ์หนึ่ง จากนั้นเราจะเห็น B เป็น

อยู่ที่ไหน_ผม ตัดกับ B เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน.

และด้วยเหตุนี้,

จากนั้นใช้ทฤษฎีบทการคูณ

ในทางกลับกันความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ Ai ให้ B ถูกกำหนดโดย

การทดแทนอย่างเพียงพอเราต้องทำเพื่อสิ่งใด

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเบย์

ต้องขอบคุณผลลัพธ์นี้กลุ่มการวิจัยและ บริษัท ที่มีความหลากหลายจึงสามารถปรับปรุงระบบที่อยู่บนพื้นฐานความรู้.

ตัวอย่างเช่นในการศึกษาโรคทฤษฎีบทของเบย์สามารถช่วยในการแยกแยะความน่าจะเป็นที่โรคจะพบได้ในกลุ่มคนที่มีลักษณะเฉพาะโดยใช้เป็นข้อมูลอัตราทั่วโลกของโรคและลักษณะเด่นดังกล่าวใน คนทั้งสุขภาพและป่วย.

ในอีกทางหนึ่งในโลกของเทคโนโลยีชั้นสูงมีอิทธิพลต่อ บริษัท ขนาดใหญ่ที่มีการพัฒนาต้องขอบคุณซอฟต์แวร์นี้ "อิงตามความรู้".

เป็นตัวอย่างในชีวิตประจำวันเรามีผู้ช่วย Microsoft Office ทฤษฎีบทของเบย์ช่วยให้ซอฟต์แวร์ประเมินปัญหาที่ผู้ใช้นำเสนอและพิจารณาว่าจะให้คำแนะนำอะไรและสามารถให้บริการที่ดีขึ้นตามนิสัยของผู้ใช้.

ควรสังเกตว่าสูตรนี้ไม่ได้รับความสนใจจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ส่วนใหญ่เป็นผลมาจากความจริงที่ว่าเมื่อผลลัพธ์นี้พัฒนาขึ้นเมื่อ 200 ปีก่อนมีการใช้งานจริงน้อยมาก อย่างไรก็ตามในยุคของเราต้องขอบคุณความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีอันยิ่งใหญ่นักวิทยาศาสตร์ได้บรรลุวิธีที่จะนำผลนี้ไปสู่การปฏิบัติ.

แบบฝึกหัดที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

บริษัท เซลลูล่าร์มีเครื่องสองเครื่อง A และ B 54% ของโทรศัพท์มือถือที่ผลิตโดยเครื่อง A และที่เหลือโดยเครื่อง B โทรศัพท์มือถือบางรุ่นที่ผลิตไม่ได้อยู่ในสภาพดี.

สัดส่วนของโทรศัพท์มือถือที่ชำรุดที่ผลิตโดย A คือ 0.2 และโดย B คือ 0.5 ความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์มือถือของโรงงานดังกล่าวเสียหรือไม่ ความน่าจะเป็นที่รู้ว่าโทรศัพท์มือถือชำรุดนั้นมาจากเครื่อง A?

ทางออก

ที่นี่คุณมีการทดสอบที่ทำในสองส่วน ในส่วนแรกเหตุการณ์เกิดขึ้น:

A: โทรศัพท์มือถือทำโดยเครื่อง.

B: โทรศัพท์มือถือทำโดยเครื่อง B.

เนื่องจากเครื่อง A ผลิตโทรศัพท์มือถือ 54% และส่วนที่เหลือผลิตโดยเครื่อง B เครื่อง B จึงผลิตโทรศัพท์ 46% ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้คือ:

P (A) = 0.54.

P (B) = 0.46.

กิจกรรมในส่วนที่สองของการทดสอบคือ:

D: เซลล์ที่ชำรุด.

E: เซลล์ไม่บกพร่อง.

ตามที่ได้กล่าวไว้ในแถลงการณ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับผลที่ได้รับในส่วนแรก:

P (D | A) = 0.2.

P (D | B) = 0.5.

การใช้ค่าเหล่านี้คุณสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของการเติมเต็มของเหตุการณ์เหล่านี้ได้นั่นคือ:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0.8

และ

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

= 0.5.

ตอนนี้เหตุการณ์ D สามารถเขียนได้ดังนี้:

การใช้ทฤษฎีการคูณสำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขผลลัพธ์ก็คือ:

คำถามแรกที่ตอบถูก.

ตอนนี้เราแค่ต้องคำนวณ P (A | D) ซึ่งทฤษฎีบทของเบย์ใช้:

ต้องขอบคุณทฤษฎีบทของ Bayes จึงอาจกล่าวได้ว่าความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์มือถือผลิตโดยเครื่อง A โดยที่รู้ว่าโทรศัพท์มือถือชำรุดคือ 0.319.

แบบฝึกหัดที่ 2

สามกล่องประกอบด้วยลูกบอลสีขาวและสีดำ องค์ประกอบของแต่ละรายการมีดังนี้: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

หนึ่งในกล่องถูกเลือกแบบสุ่มและสุ่มบอลถูกดึงออกมาจากกล่องซึ่งกลายเป็นสีขาว ช่องไหนที่มีโอกาสมากที่สุดที่จะถูกเลือก?

ทางออก

ผ่าน U1, U2 และ U3 เราจะแสดงกล่องที่เลือก.

เหตุการณ์เหล่านี้ประกอบด้วยพาร์ติชันของ S และตรวจสอบแล้วว่า P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 เนื่องจากตัวเลือกของกล่องเป็นแบบสุ่ม.

ถ้า B = ลูกบอลที่ถูกแยกเป็นสีขาว เราจะมี P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

สิ่งที่เราต้องการได้รับคือความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกนำออกจากกล่องอุ้ยรู้ว่าลูกบอลเป็นสีขาวนั่นคือ P (Ui | B) และดูว่าค่าใดในสามค่าที่สูงที่สุดที่จะรู้ว่า กล่องได้รับการสกัดลูกบอลสีขาวมากที่สุด.

การใช้ทฤษฎีบทของเบย์กับส่วนแรกของกล่อง:

และสำหรับอีกสองคน:

P (U2 | B) = 2/6 และ P (U3 | B) = 1/6.

จากนั้นกล่องแรกคือกล่องที่มีโอกาสสูงที่จะถูกเลือกเพื่อสกัดลูกบอลสีขาว.

การอ้างอิง

1. ไก่ลายจุง ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นพร้อมกระบวนการสโทแคสติก Springer-Verlag นิวยอร์กอิงค์
2. Kenneth.H Rosen. คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer ความน่าจะเป็นและการประยุกต์ทางสถิติ อิงค์ เม็กซิกันอัลฮัมบรา.
4. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องปี 2000 แก้ปัญหาได้ McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก ทฤษฎีและปัญหาความน่าจะเป็น McGraw-Hill.