ประวัติความเป็นมาของระบบเลขฐานแปดและระบบการแปลง

ระบบฐานแปด มันเป็นระบบการนับตำแหน่งของฐานแปด (8); นั่นคือมันประกอบด้วยตัวเลขแปดหลัก ได้แก่ : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 ดังนั้นแต่ละหลักของตัวเลขฐานแปดสามารถมีค่าใด ๆ ตั้งแต่ 0 ถึง 7 ตัวเลขฐานแปด มันถูกสร้างขึ้นจากเลขฐานสอง.

นี่เป็นเพราะฐานของมันคือพลังที่แน่นอนของสอง (2) นั่นคือตัวเลขที่เป็นของระบบเลขฐานแปดจะเกิดขึ้นเมื่อตัวเลขเหล่านี้ถูกจัดกลุ่มเป็นตัวเลขสามหลักติดต่อกันจัดเรียงจากขวาไปซ้ายได้มาซึ่งค่าทศนิยม.

ดัชนี

• 1 ประวัติ
• 2 ระบบเลขฐานแปด
• 3 การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นทศนิยม
  • 3.1 ตัวอย่างที่ 1
  • 3.2 ตัวอย่างที่ 2
• 4 การแปลงระบบทศนิยมให้เป็นฐานแปด
  • 4.1 ตัวอย่าง
• 5 การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นไบนารี่
• 6 การแปลงระบบเลขฐานสองเป็นฐานแปด
• 7 การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นเลขฐานสิบหกและในทางกลับกัน
  • 7.1 ตัวอย่าง
• 8 อ้างอิง

ประวัติศาสตร์

ระบบฐานแปดมีต้นกำเนิดในสมัยโบราณเมื่อผู้คนใช้มือนับสัตว์แปดถึงแปด.

ตัวอย่างเช่นเพื่อนับจำนวนวัวในยุ้งฉางหนึ่งเริ่มนับในมือขวาเข้าร่วมนิ้วหัวแม่มือด้วยนิ้วก้อย; จากนั้นให้นับสัตว์ตัวที่สองนิ้วโป้งถูกรวมเข้ากับนิ้วชี้และอื่น ๆ ด้วยนิ้วมือที่เหลือของแต่ละมือจนกระทั่งครบ 8.

มีความเป็นไปได้ว่าในสมัยโบราณระบบเลขฐานแปดจะถูกใช้ก่อนหน้าทศนิยมเพื่อให้สามารถนับช่องว่าง interdigital; นั่นคือนับนิ้วทั้งหมดยกเว้นนิ้วหัวแม่มือ.

ต่อจากนั้นระบบเลขฐานแปดได้ถูกสร้างขึ้นซึ่งมาจากระบบเลขฐานสองเพราะมันต้องการตัวเลขจำนวนมากเพื่อเป็นตัวแทนของตัวเลขเดียวเท่านั้น จากนั้นเป็นต้นมาระบบแปดเหลี่ยมและหกเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นซึ่งไม่ต้องการตัวเลขจำนวนมากและสามารถแปลงเป็นระบบไบนารีได้อย่างง่ายดาย.

ระบบเลขฐานแปด

ระบบเลขฐานแปดประกอบด้วยตัวเลขแปดหลักตั้งแต่ 0 ถึง 7 ค่าเหล่านี้มีค่าเหมือนกันในกรณีของระบบทศนิยม แต่ค่าสัมพัทธ์จะเปลี่ยนไปตามตำแหน่งที่พวกมันครอบครอง ค่าของแต่ละตำแหน่งจะได้รับจากพลังฐาน 8.

ตำแหน่งของตัวเลขในจำนวนฐานแปดมีน้ำหนักดังต่อไปนี้:

8⁴, 8³, 8², 8¹, 8⁰, จุดแปด, 8^-1, 8^-2, 8^-3, 8^-4, 8^-5.

เลขฐานแปดที่ใหญ่ที่สุดคือ 7; ด้วยวิธีนี้เมื่อระบบนี้ถูกนับตำแหน่งหนึ่งหลักจะเพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง 7 เมื่อมันมาถึง 7 มันจะถูกรีไซเคิลเป็น 0 สำหรับการนับต่อไป วิธีการที่ตำแหน่งต่อไปของตัวเลขจะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่นในการนับลำดับในระบบฐานแปดจะเป็น:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

มีทฤษฎีบทพื้นฐานที่ใช้กับระบบฐานแปดและแสดงดังนี้

ในนิพจน์นี้ di หมายถึงตัวเลขที่คูณด้วยกำลังพื้นฐาน 8 ซึ่งระบุค่าตำแหน่งของแต่ละหลักในแบบเดียวกับที่สั่งในระบบเลขฐานสิบ.

ตัวอย่างเช่นคุณมีหมายเลข 543.2 เพื่อนำไปใช้กับระบบฐานแปดมันจะถูกจำแนกตามวิธีต่อไปนี้:

N = Σ [(5) _{* * * *} 8²) + (4 _{* * * *} 8¹) + (3 _{* * * *}8⁰) + (2 _{* * * *}8^-1)] = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0.125)

N = 320 +32 + 2 + 0.25 = 354 + 0.25_d

ด้วยวิธีนี้คุณต้อง 543.2_Q = 354.25_d. ตัวห้อย q บ่งชี้ว่ามันเป็นเลขฐานแปดที่สามารถแทนด้วยหมายเลข 8 ได้เช่นกัน และตัวห้อย d หมายถึงตัวเลขทศนิยมซึ่งสามารถแทนได้ด้วยหมายเลข 10.

การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นทศนิยม

ในการแปลงหมายเลขระบบฐานแปดให้เท่ากับในระบบเลขฐานสิบคุณจะต้องคูณแต่ละหลักฐานแปดด้วยค่าสถานที่โดยเริ่มจากด้านขวา.

ตัวอย่างที่ 1

732₈ = (7_{* * * *} 8²) + (3_{* * * *} 8¹) + (2_{* * * *} 8⁰) = (7 _{* * * *} 64) + (3 _{* * * *} 8) + (2 _{* * * *} 1)

732₈= 448 +24 +2

732₈= 474₁₀

ตัวอย่างที่ 2

26.9₈ = (2 _{* * * *}8¹) + (6_{* * * *} 8⁰) + (9)_{* * * *} 8^-1) = (2 _{* * * *} 8) + (6 _{* * * *} 1) + (9 _{* * * *} 0.125)

26.9₈ = 16 + 6 + 1,125

26.9₈= 23,125₁₀

การแปลงระบบทศนิยมให้เป็นฐานแปด

เลขจำนวนเต็มฐานสิบสามารถแปลงเป็นเลขฐานแปดโดยใช้วิธีการหารซ้ำโดยที่เลขจำนวนเต็มฐานสิบจะหารด้วย 8 จนกระทั่งผลหารหารเท่ากับ 0 และค่าเศษของแต่ละส่วนจะแทนเลขฐานแปด.

ของเสียจะถูกเรียงลำดับจากครั้งสุดท้ายไปก่อน นั่นคือสารตกค้างแรกจะเป็นเลขนัยสำคัญน้อยที่สุดของเลขฐานแปด ด้วยวิธีนี้ตัวเลขที่สำคัญที่สุดจะเป็นสารตกค้างสุดท้าย.

ตัวอย่าง

เลขฐานแปดของเลขทศนิยม 266₁₀

- แบ่งจำนวนทศนิยม 266 ระหว่าง 8 = 266/8 = 33 + ส่วนที่เหลือ 2.

- จากนั้น 33 ถูกหารด้วย 8 = 33/8 = 4 + กากของ 1.

- หาร 4 ด้วย 8 = 4/8 = 0 + ส่วนที่เหลือของ 4.

เช่นเดียวกับส่วนสุดท้ายที่หารได้ผลหารน้อยกว่า 1 หมายความว่าได้รับผลลัพธ์แล้ว มีเพียงส่วนที่เหลือเท่านั้นที่จะต้องเรียงลำดับแบบย้อนกลับเพื่อให้เลขฐานแปดของทศนิยม 266 คือ 412 ดังที่เห็นในภาพต่อไปนี้:

การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นไบนารี

การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นไบนารีจะดำเนินการโดยการแปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสองที่เทียบเท่ากันซึ่งเกิดขึ้นจากสามหลัก มีตารางที่แสดงวิธีแปลงค่าตัวเลขแปดหลักที่เป็นไปได้:

จากการแปลงเหล่านี้สามารถเปลี่ยนจำนวนใดก็ได้จากระบบฐานแปดไปเป็นไบนารี่เพื่อแปลงหมายเลข 572₈ รายการเทียบเท่าของคุณจะถูกค้นหาในตาราง ดังนั้นคุณต้อง:

5₈ = 101

7₈= 111

2₈ = 10

ดังนั้น, 572₈ เทียบเท่าในระบบเลขฐานสองถึง 10111110.

การแปลงระบบเลขฐานสองเป็นฐานแปด

กระบวนการของการแปลงเลขจำนวนเต็มไบนารีเป็นจำนวนเต็มฐานแปดเป็นการดำเนินการผกผันกับกระบวนการก่อนหน้า.

นั่นคือบิตของเลขฐานสองจะถูกจัดกลุ่มเป็นสองกลุ่มสามบิตโดยเริ่มจากขวาไปซ้าย จากนั้นทำการแปลงไบนารีเป็นฐานแปดกับตารางก่อนหน้า.

ในบางกรณีเลขฐานสองจะไม่มีกลุ่ม 3 บิต เพื่อให้สมบูรณ์ให้เพิ่มหนึ่งหรือสองศูนย์ทางด้านซ้ายของกลุ่มแรก.

ตัวอย่างเช่นในการเปลี่ยนเลขฐานสอง 11010110 เป็นฐานแปดจะดำเนินการดังนี้:

- กลุ่มของ 3 บิตเริ่มต้นจากด้านขวา (บิตสุดท้าย):

11010110

- เนื่องจากกลุ่มแรกไม่สมบูรณ์จึงมีการเพิ่มศูนย์ทางด้านซ้าย:

011010110

- การแปลงทำจากตาราง:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

ดังนั้นเลขฐานสอง 011010110 จึงเท่ากับ 326₈.

การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นเลขฐานสิบหกและในทางกลับกัน

ในการเปลี่ยนจากเลขฐานแปดเป็นระบบเลขฐานสิบหกหรือเปลี่ยนจากฐานสิบหกเป็นฐานแปดจำเป็นต้องแปลงตัวเลขเป็นไบนารีก่อนแล้วจึงเปลี่ยนเป็นระบบที่ต้องการ.

สำหรับสิ่งนี้มีตารางที่แต่ละเลขฐานสิบหกหลักแสดงด้วยเทียบเท่าในระบบเลขฐานสองซึ่งประกอบด้วยสี่หลัก.

ในบางกรณีเลขฐานสองจะไม่มีกลุ่ม 4 บิต เพื่อให้สมบูรณ์ให้เพิ่มหนึ่งหรือสองศูนย์ทางด้านซ้ายของกลุ่มแรก

ตัวอย่าง

แปลงเลขฐานแปด 1646 ให้เป็นเลขฐานสิบหก:

- จำนวนจากฐานแปดถึงไบนารีถูกแปลง

1₈ = 1

6₈ = 110

4₈ = 100

6₈ = 110

- ดังนั้น 1646₈ = 1110100110.

- ในการแปลงจากเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหกพวกเขาจะได้รับคำสั่งก่อนเป็นกลุ่ม 4 บิตเริ่มจากขวาไปซ้าย:

11 1010 0110

- กลุ่มแรกเสร็จสมบูรณ์ด้วยเลขศูนย์เพื่อให้สามารถมี 4 บิต:

0011 1010 0110

- การแปลงระบบเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหกเสร็จสิ้นแล้ว ความเท่าเทียมกันจะถูกแทนที่ด้วยวิธีการของตาราง:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

ดังนั้นเลขฐานแปด 1646 จึงเท่ากับ 3A6 ในระบบเลขฐานสิบหก.

การอ้างอิง

1. Bressan, A. E. (1995) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับระบบการกำหนดหมายเลข มหาวิทยาลัยธุรกิจอาร์เจนตินา.
2. แฮร์ริส, J. N. (1957) รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับระบบเลขฐานสองและเลขฐานแปด: เล็กซิงตัน, แมสซาชูเซตส์หน่วยงานบริการข้อมูลด้านเทคนิค.
3. Kumar, A. A. (2016) ความรู้พื้นฐานของวงจรดิจิตอล การเรียนรู้ Pvt.
4. Peris, X. C. (2009) ระบบปฏิบัติการ Monopuesto.
5. Ronald J. Tocci, N. S. (2003) ระบบดิจิตอล: หลักการและการใช้งาน การศึกษาของเพียร์สัน.