ขอบเขตตรีโกณมิติคืออะไร (ด้วยแบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไข)

ขีด จำกัด ตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นข้อ จำกัด ของฟังก์ชั่นดังกล่าวที่เกิดขึ้นจากฟังก์ชันตรีโกณมิติ.

มีคำจำกัดความสองประการที่ต้องทราบเพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการคำนวณขีด จำกัด ตรีโกณมิติ.

คำจำกัดความเหล่านี้คือ:

- ขีด จำกัด ของฟังก์ชัน "f" เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "b": มันประกอบด้วยการคำนวณค่าที่ f (x) เข้าใกล้เป็น "x" เข้าใกล้ "b" โดยไม่ต้องไปถึง "b".

- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติคือฟังก์ชันไซน์, โคไซน์และแทนเจนต์ซึ่งแสดงด้วย sin (x), cos (x) และ tan (x) ตามลำดับ.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ได้มาจากฟังก์ชันทั้งสามที่กล่าวถึงข้างต้น.

ขีด จำกัด ของฟังก์ชั่น

เพื่อชี้แจงแนวคิดของขีด จำกัด ของฟังก์ชั่นจะดำเนินการเพื่อแสดงตัวอย่างที่มีฟังก์ชั่นที่เรียบง่าย.

- ขีด จำกัด ของ f (x) = 3 เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "8" เท่ากับ "3" เนื่องจากฟังก์ชันนั้นจะคงที่เสมอ ไม่ว่า "x" จะมีค่าเท่าใดค่าของ f (x) จะเป็น "3" เสมอ.

- ขีด จำกัด ของ f (x) = x-2 เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "6" คือ "4" ตั้งแต่เมื่อ "x" เข้าใกล้ "6" จากนั้น "x-2" เข้าใกล้ "6-2 = 4".

- ขีด จำกัด ของ g (x) = x²เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "3" เท่ากับ 9 เนื่องจากเมื่อ "x" ใกล้ถึง "3" จากนั้น "x²" เข้าสู่ "3² = 9".

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างก่อนหน้าการคำนวณขีด จำกัด ประกอบด้วยการประเมินค่าที่ "x" มีแนวโน้มในฟังก์ชันและผลลัพธ์จะเป็นค่าของขีด จำกัด แม้ว่านี่จะเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้น.

มีข้อ จำกัด ที่ซับซ้อนกว่านี้ไหม?

คำตอบคือใช่ ตัวอย่างด้านบนเป็นตัวอย่างของข้อ จำกัด ที่ง่ายที่สุด ในหนังสือการคำนวณข้อ จำกัด ที่สำคัญคือแบบฝึกหัดที่สร้างการกำหนดประเภท 0/0, ind / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 และ (∞) ^ 0.

นิพจน์เหล่านี้เรียกว่า indeterminations เนื่องจากเป็นนิพจน์ที่ทางคณิตศาสตร์ไม่สมเหตุสมผล.

นอกจากนั้นขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องในขีด จำกัด ดั้งเดิมผลลัพธ์ที่ได้ในการแก้ปัญหาการกำหนดค่าอาจแตกต่างกันในแต่ละกรณี.

ตัวอย่างของขีด จำกัด ตรีโกณมิติอย่างง่าย

ในการแก้ปัญหาข้อ จำกัด มันมีประโยชน์มากในการรู้กราฟของฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้อง ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชันไซน์, โคไซน์และแทนเจนต์.

ตัวอย่างของขีด จำกัด ตรีโกณมิติอย่างง่ายคือ:

- คำนวณขีดจำกัดความบาป (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0".

เมื่อดูกราฟคุณจะเห็นว่าหาก "x" เข้าใกล้ "0" (ทั้งด้านซ้ายและด้านขวา) กราฟไซน์ก็จะเข้าใกล้ "0" ดังนั้นข้อ จำกัด ของ sin (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0" คือ "0".

- คำนวณขีด จำกัด cos (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0".

จากการสังเกตกราฟโคไซน์จะเห็นได้ว่าเมื่อ "x" ใกล้กับ "0" จากนั้นกราฟโคไซน์จะอยู่ใกล้กับ "1" นี่ก็หมายความว่าขีด จำกัด ของ cos (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0" เท่ากับ "1".

ขีด จำกัด มีอยู่ (เป็นตัวเลข) ตามตัวอย่างก่อนหน้า แต่สามารถเกิดขึ้นได้ว่าไม่มีอยู่ตามที่แสดงในตัวอย่างต่อไปนี้.

- ขีด จำกัด ของ tan (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "Π / 2" ทางซ้ายเท่ากับ "+ ∞" ดังที่เห็นในกราฟ ในทางกลับกันขีด จำกัด ของ tan (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "-Π / 2" ทางด้านขวาจะเท่ากับ "-∞".

อัตลักษณ์ของตรีโกณมิติ

อัตลักษณ์ที่มีประโยชน์มากสองอย่างเมื่อคำนวณขีด จำกัด ตรีโกณมิติคือ:

- ขีด จำกัด ของ "sin (x) / x" เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0" เท่ากับ "1".

- ขีด จำกัด ของ "(1-cos (x)) / x" เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0" เท่ากับ "0".

ตัวตนเหล่านี้ถูกใช้บ่อยมากเมื่อคุณมีความไม่แน่นอนบางอย่าง.

การออกกำลังกายที่มีมติ

แก้ไขข้อ จำกัด ต่อไปนี้โดยใช้ข้อมูลประจำตัวที่อธิบายข้างต้น.

- คำนวณขีด จำกัด ของ "f (x) = sin (3x) / x" เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0".

หากฟังก์ชั่น "f" ถูกประเมินใน "0" จะไม่มีการกำหนดประเภท 0/0 ดังนั้นเราจะต้องพยายามแก้ไขความไม่แน่นอนนี้โดยใช้ข้อมูลประจำตัวที่อธิบายไว้.

ข้อแตกต่างระหว่างข้อ จำกัด นี้กับข้อมูลเฉพาะตัวคือหมายเลข 3 ที่ปรากฏในฟังก์ชันไซน์ ในการใช้ข้อมูลประจำตัวฟังก์ชัน "f (x)" จะต้องเขียนใหม่ด้วยวิธีต่อไปนี้ "3 * (sin (3x) / 3x)" ทีนี้ทั้งอาร์กิวเมนต์ของไซน์และตัวส่วนนั้นเท่ากัน.

ดังนั้นเมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0" การใช้ผลการระบุตัวตนใน "3 * 1 = 3" ดังนั้นข้อ จำกัด ของ f (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0" เท่ากับ "3".

- คำนวณขีด จำกัด ของ "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0".

เมื่อ "x = 0" ถูกแทนที่ใน g (x) จะได้รับการกำหนดประเภท∞-ind ในการแก้ปัญหาเศษส่วนจะถูกลบออกซึ่งจะให้ผลลัพธ์ "(1-cos (x)) / x".

ทีนี้เมื่อใช้ตรีโกณมิติตัวที่สองเรามีข้อ จำกัด ของ g (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0" เท่ากับ 0.

- คำนวณขีด จำกัด ของ "h (x) = 4tan (5x) / 5x" เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0".

อีกครั้งถ้าคุณประเมิน h (x) ถึง "0" คุณจะได้รับการกำหนดประเภท 0/0.

การเขียนซ้ำสีแทน (5x) เป็น sin (5x) / cos (5x) ส่งผลให้ h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

การใช้ขีด จำกัด ของ 4 / cos (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้มที่จะ "0" เท่ากับ "4/1 = 4" และตัวตนตรีโกณมิติตัวแรกได้มาซึ่งขีด จำกัด ของ h (x) เมื่อ "x" มีแนวโน้ม "0" เท่ากับ "1 * 4 = 4".

การสังเกต

ขีด จำกัด ตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแก้ ในบทความนี้แสดงตัวอย่างพื้นฐานเท่านั้น.

การอ้างอิง

1. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. อี (1989). คณิตศาสตร์ precalculus. Prentice Hall PTR.
2. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. อี (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus: วิธีการแก้ปัญหา (2, ฉบับที่มีภาพประกอบ) มิชิแกน: Prentice Hall.
3. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. (1991). พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.) เรียนรู้ Cengage.
5. Leal, J. M. , & Viloria, N. G. (2005). เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์แบบแบน. Mérida - เวเนซุเอลา: บทบรรณาธิการ Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. การศึกษาของเพียร์สัน.
7. Purcell, E. J. , Varberg, D. , & Rigdon, S. E. (2007). การคำนวณ (เก้าเอ็ด) ศิษย์โถง.
8. Saenz, J. (2005). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์กับฟังก์ชันยอดเยี่ยมเบื้องต้นสำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ (ฉบับที่สอง ed.) ด้านของสามเหลี่ยม.
9. Scott, C. A. (2009). เรขาคณิตของเครื่องบินคาร์ทีเซียนส่วนที่: รูปกรวยวิเคราะห์ (1907) (พิมพ์ซ้ำ) ที่มาฟ้าผ่า.
10. ซัลลิแวน, M. (1997). Precalculus. การศึกษาของเพียร์สัน.