โดเมนและคอนโดมิเนียมของฟังก์ชั่นคืออะไร? (ด้วยตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว)

แนวคิดของ โดเมนและโดเมนตัวนับของฟังก์ชัน พวกเขาได้รับการสอนโดยทั่วไปในหลักสูตรแคลคูลัสที่สอนเมื่อเริ่มอาชีพของมหาวิทยาลัย.

ก่อนกำหนดโดเมนและโดเมนคุณต้องทราบว่าฟังก์ชันคืออะไร ฟังก์ชั่น f เป็นกฎหมาย (กฎ) ของการติดต่อที่เกิดขึ้นระหว่างองค์ประกอบของสองชุด.

ชุดขององค์ประกอบที่ถูกเลือกเรียกว่าโดเมนของฟังก์ชั่นและชุดที่องค์ประกอบเหล่านี้จะถูกส่งผ่าน f จะเรียกว่าเคาน์เตอร์โดเมน.

ในวิชาคณิตศาสตร์ฟังก์ชันที่มีโดเมน A และตัวนับโดเมน B นั้นแทนด้วยนิพจน์ f: A → B.

การแสดงออกข้างต้นบอกว่าองค์ประกอบของชุด A ถูกส่งไปยังชุด B ตามกฏหมายการติดต่อทางจดหมาย f.

ฟังก์ชั่นกำหนดองค์ประกอบของชุดแต่ละองค์ประกอบองค์ประกอบเดียวของชุด B.

โดเมนและโดเมนตัวนับ

รับฟังก์ชั่นจริงของตัวแปรจริง f (x), เรามีโดเมนของฟังก์ชันนั้นเป็นจำนวนจริงทั้งหมดเช่นนั้นเมื่อประเมินใน f ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจริง.

โดยทั่วไปแล้ว counterdomain ของฟังก์ชั่นคือชุดของจำนวนจริงอาร์ contradomain เรียกอีกอย่างว่าชุดขาเข้าหรือโคโดเมนของฟังก์ชัน f.

เคาน์เตอร์โดเมนของฟังก์ชันคือ R เสมอ?

ไม่ได้ตราบใดที่ฟังก์ชันไม่ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดมันมักจะถูกนำมาใช้เป็นชุดตอบโต้โดเมนของจำนวนจริง R.

แต่เมื่อศึกษาฟังก์ชั่นแล้วจะสามารถใช้เซตที่เหมาะสมกว่าเป็นตัวนับโดเมนซึ่งจะเป็นเซตย่อยของ R.

ชุดที่เหมาะสมที่กล่าวถึงในวรรคก่อนหน้าตรงกับภาพของฟังก์ชั่น.

คำจำกัดความของรูปภาพหรือช่วงของฟังก์ชัน f หมายถึงค่าทั้งหมดที่มาจากการประเมินองค์ประกอบของโดเมนใน f.

ตัวอย่าง

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงวิธีการคำนวณโดเมนของฟังก์ชั่นและภาพของมัน.

ตัวอย่างที่ 1

ให้ f เป็นฟังก์ชันจริงที่กำหนดโดย f (x) = 2.

โดเมนของ f คือจำนวนจริงทั้งหมดเช่นนั้นเมื่อประเมินเป็น f ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจริง ขณะนี้เคาน์เตอร์โดเมนเท่ากับ R.

เนื่องจากฟังก์ชันที่กำหนดนั้นมีค่าคงที่ (เท่ากับ 2 เสมอ) จึงไม่สำคัญว่าจะเลือกจำนวนจริงใดเนื่องจากเมื่อทำการประเมินใน f ผลลัพธ์จะเท่ากับ 2 เสมอซึ่งเป็นจำนวนจริง.

ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชันที่กำหนดจึงเป็นจำนวนจริงทั้งหมด นั่นคือ A = R.

ตอนนี้เป็นที่ทราบกันแล้วว่าผลลัพธ์ของฟังก์ชันนั้นเท่ากับ 2 เสมอเราได้ภาพของฟังก์ชันนั้นมีเพียงจำนวน 2 เท่านั้นดังนั้น counterdomain ของฟังก์ชันจึงสามารถนิยามใหม่เป็น B = Img (f) = 2.

ดังนั้น f: R → 2.

ตัวอย่างที่ 2

ให้ g เป็นฟังก์ชันจริงที่กำหนดโดย g (x) = √x.

ในขณะที่ไม่รู้จักรูปภาพของ g แต่โดเมนตัวนับของ g คือ B = R.

ด้วยฟังก์ชั่นนี้คุณจะต้องคำนึงถึงว่าสแควร์รูทนั้นถูกกำหนดสำหรับตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น นั่นคือสำหรับตัวเลขที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น√-1 ไม่ใช่จำนวนจริง.

ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชัน g ต้องเป็นตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ นี่คือ x ≥ 0.

ดังนั้น A = [0, + ∞).

ในการคำนวณช่วงควรสังเกตว่าผลลัพธ์ใด ๆ ของ g (x) ซึ่งเป็นสแควร์รูทจะมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ นั่นคือ B = [0, + ∞).

โดยสรุป g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

ตัวอย่างที่ 3

หากเรามีฟังก์ชั่น h (x) = 1 / (x-1) เรามีว่าฟังก์ชั่นนี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับ x = 1 เนื่องจากในศูนย์จะได้รับและหารด้วยศูนย์จะไม่ได้กำหนด.

ในทางกลับกันสำหรับมูลค่าที่แท้จริงอื่น ๆ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจริง ดังนั้นโดเมนจึงเป็น reals ทั้งหมดยกเว้นโดเมนเดียว นั่นคือ A = R \ 1.

ในทำนองเดียวกันสามารถสังเกตได้ว่าค่าเดียวที่ไม่สามารถรับได้เป็นผลลัพธ์คือ 0 เนื่องจากเศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ตัวเศษต้องเป็นศูนย์.

ดังนั้นอิมเมจของฟังก์ชันคือชุดของ reals ทั้งหมดยกเว้นศูนย์ดังนั้นจึงใช้เป็นตัวนับโดเมน B = R \ 0.

สรุปแล้ว h: R \ 1 → R \ 0.

ข้อคิดเห็น

โดเมนและรูปภาพไม่จำเป็นต้องเป็นชุดเดียวกันดังที่แสดงในตัวอย่างที่ 1 และ 3.

เมื่อฟังก์ชั่นถูกพล็อตบนระนาบคาร์ทีเซียนโดเมนจะถูกแทนด้วยแกน X และโดเมนตัวนับหรือช่วงจะถูกแทนด้วยแกน Y.

การอ้างอิง

1. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. อี (1989). คณิตศาสตร์ precalculus. Prentice Hall PTR.
2. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. อี (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus: วิธีการแก้ปัญหา (2, ฉบับที่มีภาพประกอบ) มิชิแกน: Prentice Hall.
3. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. (1991). พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.) เรียนรู้ Cengage.
5. Leal, J. M. , & Viloria, N. G. (2005). เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์แบบแบน. Mérida - เวเนซุเอลา: บทบรรณาธิการ Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. การศึกษาของเพียร์สัน.
7. Purcell, E. J. , Varberg, D. , & Rigdon, S. E. (2007). การคำนวณ (เก้าเอ็ด) ศิษย์โถง.
8. Saenz, J. (2005). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์กับฟังก์ชันยอดเยี่ยมเบื้องต้นสำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ (ฉบับที่สอง ed.) ด้านของสามเหลี่ยม.
9. Scott, C. A. (2009). เรขาคณิตของเครื่องบินคาร์ทีเซียนส่วนที่: รูปกรวยวิเคราะห์ (1907) (พิมพ์ซ้ำ) ที่มาฟ้าผ่า.
10. ซัลลิแวน, M. (1997). Precalculus. การศึกษาของเพียร์สัน.