คุณสมบัติของความเสมอภาค

คุณสมบัติของความเสมอภาค พวกมันอ้างถึงความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทางคณิตศาสตร์สองตัวไม่ว่าจะเป็นตัวเลขหรือตัวแปร มันแสดงด้วยสัญลักษณ์ "=" ซึ่งมักจะอยู่ระหว่างวัตถุทั้งสองนี้ นิพจน์นี้ใช้เพื่อกำหนดว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์สองรายการแสดงวัตถุเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งว่าวัตถุสองอย่างนั้นเหมือนกัน.

มีหลายกรณีที่มันไม่สำคัญที่จะใช้ความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่นเป็นที่ชัดเจนว่า 2 = 2 อย่างไรก็ตามเมื่อพูดถึงตัวแปรมันไม่สำคัญอีกต่อไปและมีการใช้งานเฉพาะ ตัวอย่างเช่นหากคุณมี y = x และในทางกลับกัน x = 7 คุณสามารถสรุปได้ว่า y = 7 ด้วย.

ตัวอย่างก่อนหน้านี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งของความเสมอภาคตามที่จะเห็นในไม่ช้า คุณสมบัติเหล่านี้มีความสำคัญสำหรับการแก้สมการ (ความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร) ซึ่งเป็นส่วนสำคัญในคณิตศาสตร์.

ดัชนี

• 1 คุณสมบัติของความเสมอภาคคืออะไร?
  • 1.1 คุณสมบัติสะท้อนแสง
  • 1.2 คุณสมบัติสมมาตร
  • 1.3 ทรัพย์สินสกรรมกริยา
  • 1.4 คุณสมบัติเหมือนกัน
  • 1.5 คุณสมบัติการยกเลิก
  • 1.6 คุณสมบัติการแทนที่
  • 1.7 ทรัพย์สินของพลังงานในความเสมอภาค
  • 1.8 คุณสมบัติของรูทในความเท่าเทียมกัน
• 2 อ้างอิง

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันคืออะไร?

คุณสมบัติสะท้อนแสง

คุณสมบัติการสะท้อนแสงในกรณีของความเสมอภาคระบุว่าทุกหมายเลขมีค่าเท่ากันและแสดงเป็น b = b สำหรับจำนวนจริงใด ๆ b.

ในกรณีเฉพาะของความเท่าเทียมกันคุณสมบัตินี้ดูเหมือนจะชัดเจน แต่ในความสัมพันธ์ประเภทอื่นระหว่างตัวเลขมันไม่ได้เป็น กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่ใช่ว่าทุกความสัมพันธ์ของจำนวนจริงจะเป็นจริงตามคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่นกรณีของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" (<); ningún número es menor que sí mismo.

คุณสมบัติสมมาตร

คุณสมบัติสมมาตรสำหรับความเท่าเทียมบอกว่าถ้า a = b ดังนั้น b = a ไม่ว่าจะใช้ลำดับใดในตัวแปรสิ่งนี้จะถูกรักษาไว้โดยความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน.

ความคล้ายคลึงของคุณสมบัตินี้สามารถสังเกตได้ด้วยคุณสมบัติการสับเปลี่ยนในกรณีของการเพิ่ม ตัวอย่างเช่นเนื่องจากคุณสมบัตินี้เทียบเท่ากับการเขียน y = 4 หรือ 4 = y.

คุณสมบัติสกรรมกริยา

คุณสมบัติสกรรมกริยาในความเสมอภาคระบุว่าถ้า a = b และ b = c ดังนั้น a = c ตัวอย่างเช่น 2 + 7 = 9 และ 9 = 6 + 3; ดังนั้นโดยคุณสมบัติสกรรมกริยาเรามี 2 + 7 = 6 + 3.

แอปพลิเคชันแบบง่าย ๆ มีดังต่อไปนี้สมมติว่า Julian อายุ 14 ปีและ Mario นั้นมีอายุเท่ากับ Rosa ถ้า Rosa อายุเท่าจูเลียนแล้วมาริโอมีอายุเท่าไหร่??

เบื้องหลังสถานการณ์นี้คุณสมบัติการถ่ายทอดจะถูกใช้สองครั้ง ในทางคณิตศาสตร์มันถูกตีความเช่นนี้: เป็น "a" อายุของมาริโอ "b" อายุของ Rosa และ "c" อายุของ Julian เป็นที่รู้จักกันว่า b = c และ c = 14.

สำหรับสมบัติสกรรมกริยาเรามี b = 14; นั่นคือ Rosa อายุ 14 ปี ตั้งแต่ a = b และ b = 14 การใช้คุณสมบัติ transitive อีกครั้งเราจึงมี a = 14; นั่นคืออายุของมาริโอนั้นก็ 14 ปีเช่นกัน.

คุณสมบัติเหมือนกัน

คุณสมบัติที่เหมือนกันคือถ้าทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันถูกเพิ่มหรือคูณด้วยจำนวนเดียวกันความเท่าเทียมกันจะถูกรักษาไว้ ตัวอย่างเช่นถ้า 2 = 2 ดังนั้น 2 + 3 = 2 + 3 ซึ่งเป็นที่ชัดเจนแล้ว 5 = 5 คุณสมบัตินี้มียูทิลิตี้เพิ่มเติมเมื่อมันมาถึงการแก้สมการ.

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณถูกขอให้แก้สมการ x-2 = 1 มันสะดวกที่จะจำได้ว่าการแก้สมการประกอบด้วยการกำหนดตัวแปร (หรือตัวแปร) ที่เกี่ยวข้องอย่างชัดเจนขึ้นอยู่กับจำนวนเฉพาะหรือตัวแปรที่ระบุก่อนหน้านี้.

กลับไปที่สมการ x-2 = 1 สิ่งที่ต้องทำคือการค้นหาอย่างชัดเจนว่า x มีค่าเท่าใด ในการทำเช่นนี้ตัวแปรจะต้องถูกเคลียร์.

มันได้รับการสอนอย่างผิด ๆ ว่าในกรณีนี้เมื่อหมายเลข 2 เป็นค่าลบมันจะผ่านไปยังอีกด้านหนึ่งของความเสมอภาคพร้อมกับเครื่องหมายบวก แต่มันก็ไม่ถูกต้องที่จะพูดแบบนั้น.

โดยทั่วไปสิ่งที่กำลังดำเนินการคือการใช้ทรัพย์สินที่มีรูปแบบเหมือนที่เราจะเห็นด้านล่าง แนวคิดคือการล้าง "x"; นั่นคือปล่อยให้อยู่คนเดียวที่ด้านหนึ่งของสมการ โดยทั่วไปแล้วจะมีการประชุมทางด้านซ้าย.

สำหรับจุดประสงค์นี้จำนวนที่คุณต้องการ "กำจัด" คือ -2 วิธีที่จะทำคือเพิ่ม 2 ตั้งแต่ -2 + 2 = 0 และ x + 0 = 0 เพื่อให้สามารถทำสิ่งนี้ได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงความเสมอภาคการดำเนินการเดียวกันจะต้องถูกนำไปใช้ในอีกด้านหนึ่ง.

สิ่งนี้ช่วยให้คุณสมบัติของเครื่องแบบได้รับการตระหนักว่า: เมื่อ x-2 = 1, ถ้าหมายเลข 2 ถูกเพิ่มทั้งสองด้านของความเสมอภาค, คุณสมบัติของเครื่องแบบบอกว่าเหมือนกันไม่เปลี่ยนแปลง จากนั้นเรามี x-2 + 2 = 1 + 2 ซึ่งเทียบเท่ากับบอกว่า x = 3 ด้วยสมการนี้จะได้รับการแก้ไข.

ในทำนองเดียวกันหากคุณต้องการแก้สมการ (1/5) y-1 = 9 คุณสามารถใช้คุณสมบัติเหมือนกันได้ดังนี้:

โดยทั่วไปแล้วข้อความต่อไปนี้สามารถทำได้:

- ถ้า a-b = c-b ดังนั้น a = c.

- ถ้า x-b = y ดังนั้น x = y + b.

- ถ้า (1 / a) z = b ดังนั้น z = a ×

- ถ้า (1 / c) a = (1 / c) b ดังนั้น a = b.

คุณสมบัติการยกเลิก

คุณสมบัติการยกเลิกเป็นกรณีเฉพาะของความเป็นเจ้าของชุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาถึงกรณีของการลบและการหาร (ซึ่งในที่สุดก็สอดคล้องกับการบวกและการคูณ) สถานที่ให้บริการนี้ปฏิบัติต่อกรณีนี้แยกต่างหาก.

ตัวอย่างเช่นถ้า 7 + 2 = 9 ดังนั้น 7 = 9-2 หรือถ้า 2y = 6 ดังนั้น y = 3 (หารด้วยสองทั้งสองด้าน).

คล้ายกับกรณีก่อนหน้าผ่านคุณสมบัติการยกเลิกสามารถสร้างข้อความต่อไปนี้:

- ถ้า a + b = c + b ดังนั้น a = c.

- ถ้า x + b = y ดังนั้น x = y-b.

- ถ้า az = b ดังนั้น z = b / a.

- หาก ca = cb ดังนั้น a = b.

คุณสมบัติทดแทน

ถ้าเรารู้ค่าของวัตถุทางคณิตศาสตร์คุณสมบัติการแทนที่จะระบุว่าค่านี้สามารถทดแทนได้ในสมการหรือนิพจน์ใด ๆ ตัวอย่างเช่นถ้า b = 5 และ a = bx ดังนั้นแทนที่ค่าของ "b" ในความเสมอภาคที่สองเรามี a = 5x.

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ: ถ้า "m" หาร "n" และ "n" หาร "m" ดังนั้นจะต้องเป็น m = n.

มีผลบังคับใช้เพื่อบอกว่า "m" หาร "n" (หรือเท่ากันนั่นคือ "m" คือตัวหารของ "n") หมายความว่าส่วน m ÷ n นั้นแน่นอน นั่นคือโดยการหาร "m" ด้วย "n" คุณจะได้จำนวนเต็มไม่ใช่ตัวเลขทศนิยม สิ่งนี้สามารถแสดงออกได้โดยบอกว่ามีจำนวนเต็ม "k" เช่นนั้น m = k × n.

ตั้งแต่ "n" ก็หารด้วย "m" ดังนั้นจึงมีจำนวนเต็ม "p" เช่นนั้น n = p × m สำหรับคุณสมบัติการแทนที่เรามี n = p × k × n และสิ่งนี้เกิดขึ้นมีความเป็นไปได้สองอย่าง: n = 0 ซึ่งในกรณีนี้เราจะมีเอกลักษณ์ 0 = 0; หรือ p × k = 1 โดยที่ตัวตนจะต้องเป็น n = n.

สมมติว่า "n" ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นจำเป็นต้องมี p × k = 1; ดังนั้น p = 1 และ k = 1 การใช้คุณสมบัติการแทนที่อีกครั้งเมื่อแทนที่ k = 1 ในความเท่าเทียมกัน m = k × n (หรือเทียบเท่า p = 1 ใน n = p × m) ในที่สุดก็ได้มาซึ่ง m = n ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องการแสดงให้เห็น.

การเป็นเจ้าของอำนาจในความเท่าเทียมกัน

ก่อนหน้านี้จะเห็นว่าถ้าการดำเนินการเสร็จสิ้นเป็นผลรวมการคูณการลบหรือการหารในทั้งสองแง่ของความเสมอภาคมันจะถูกเก็บรักษาไว้ในลักษณะเดียวกับการดำเนินการอื่น ๆ ที่สามารถนำมาใช้ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงความเท่าเทียมกัน.

กุญแจสำคัญคือการทำมันบนทั้งสองด้านของความเสมอภาคและเพื่อให้แน่ใจล่วงหน้าว่าสามารถดำเนินการได้ นี่เป็นกรณีของการเสริมอำนาจ นั่นคือถ้าทั้งสองด้านของสมการยกกำลังเดียวกันก็ยังมีความเสมอภาค.

ตัวอย่างเช่นเป็น 3 = 3 แล้ว 3²= 3² (9 = 9) โดยทั่วไปกำหนดจำนวนเต็ม "n" ถ้า x = y ดังนั้น xⁿ= yⁿ.

สมบัติของรูตในความเท่าเทียมกัน

นี่เป็นกรณีพิเศษของ potentiation และใช้เมื่อพลังงานเป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเช่น½ซึ่งแสดงถึงรากที่สอง คุณสมบัตินี้ระบุว่าหากใช้รูทเดียวกันบนทั้งสองด้านของความเสมอภาค (เท่าที่จะทำได้) ความเสมอภาคจะถูกเก็บรักษาไว้.

แตกต่างจากกรณีก่อนหน้านี้ที่นี่คุณจะต้องระมัดระวังด้วยความเท่าเทียมกันของรากที่จะนำไปใช้เพราะเป็นที่รู้จักกันดีว่ารากที่เป็นเลขคู่ยังไม่ได้กำหนดไว้อย่างดี.

ในกรณีที่รุนแรงถึงแม้จะไม่มีปัญหา ตัวอย่างเช่นถ้า x³= -8 แม้ว่ามันจะเป็นความเท่าเทียมกัน แต่คุณไม่สามารถใช้สแควร์รูททั้งสองข้างได้ อย่างไรก็ตามหากคุณสามารถใช้ลูกบาศก์รูทได้ (ซึ่งจะสะดวกกว่าถ้าคุณต้องการทราบค่าของ x อย่างชัดเจน) ให้รับ x = -2.

การอ้างอิง

1. Aylwin, C. U. (2011). ตรรกะชุดและหมายเลข. Mérida - เวเนซุเอลา: สภาสิ่งพิมพ์ Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J. , Rofríguez, M. , & Estrada, R. (2005). คณิตศาสตร์ 1 ก.ย.. ธรณีประตู.
3. Lira, M. L. (1994). Simon and Mathematics: ข้อความคณิตศาสตร์สำหรับปีพื้นฐานที่สอง: หนังสือของนักเรียน. อันเดรสเบลโล.
4. Preciado, C. T. (2005). วิชาคณิตศาสตร์ 3o. บรรณาธิการ Progreso.
5. เซโกเวีย, B. ร. (2012). กิจกรรมและเกมคณิตศาสตร์กับ Miguel และ Lucia. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C. , & Preciado, M. (1985). หลักสูตรคณิตศาสตร์ 2. บรรณาธิการ Progreso.