Product Cross Properties, Applications และแบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไข

ข้ามผลิตภัณฑ์หรือเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์ มันเป็นวิธีคูณเวกเตอร์สองตัวหรือมากกว่านั้น การคูณเวกเตอร์มีสามวิธี แต่ไม่มีวิธีการคูณในความหมายปกติของคำ หนึ่งในฟอร์มเหล่านี้เรียกว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ซึ่งส่งผลให้เกิดเวกเตอร์ที่สาม.

ผลิตภัณฑ์เวคเตอร์ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าผลิตภัณฑ์ครอสหรือผลิตภัณฑ์ภายนอกมีคุณสมบัติเชิงพีชคณิตและเรขาคณิตที่แตกต่างกัน คุณสมบัติเหล่านี้มีประโยชน์มากโดยเฉพาะในการศึกษาวิชาฟิสิกส์.

ดัชนี

1 คำจำกัดความ
2 คุณสมบัติ
- 2.1 คุณสมบัติ 1
- 2.2 คุณสมบัติ 2
- 2.3 คุณสมบัติ 3
- 2.4 คุณสมบัติ 4 (ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามตัว)
- 2.5 คุณสมบัติ 5 (ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามชั้น)
- 2.6 ทรัพย์สิน 6
- 2.7 ทรัพย์สิน 7
- 2.8 ทรัพย์สิน 8
3 แอปพลิเคชัน
- 3.1 การคำนวณปริมาณของขนาน
แก้ไข 4 แบบฝึกหัด
- 4.1 การออกกำลังกาย 1
- 4.2 การออกกำลังกาย 2
5 อ้างอิง

คำนิยาม

คำนิยามอย่างเป็นทางการของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีดังต่อไปนี้: ถ้า A = (a1, a2, a3) และ B = (b1, b2, b3) เป็นเวกเตอร์ดังนั้นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของ A และ B ซึ่งเราจะแสดงเป็น AxB คือ

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

เนื่องจากสัญกรณ์ AxB มันอ่านว่า "A cross B".

ตัวอย่างของวิธีใช้ผลิตภัณฑ์ภายนอกคือถ้า A = (1, 2, 3) และ B = (3, -2, 4) เป็นเวกเตอร์จากนั้นใช้คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่เรามี:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

อีกวิธีในการแสดงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นั้นได้มาจากสัญกรณ์ดีเทอร์มิแนนต์.

การคำนวณของตัวกำหนดลำดับที่สองได้รับจาก:

ดังนั้นสูตรของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่ให้ในนิยามสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

สิ่งนี้มักจะทำให้ง่ายขึ้นในดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามดังนี้:

โดยที่ i, j, k แทนเวกเตอร์ที่เป็นพื้นฐานของ R³.

การใช้วิธีการแสดงผลิตภัณฑ์ไขว้นี้เรามีตัวอย่างก่อนหน้านี้ที่สามารถเขียนใหม่เป็น:

สรรพคุณ

คุณสมบัติบางอย่างที่ผลิตภัณฑ์เวคเตอร์มีดังต่อไปนี้:

คุณสมบัติ 1

ถ้า A เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ใน R³, เราต้อง:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

คุณสมบัติเหล่านี้ง่ายต่อการตรวจสอบโดยใช้คำจำกัดความเท่านั้น ถ้า A = (a1, a2, a3) เราต้อง:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

ถ้า i, j, k แสดงถึงหน่วยพื้นฐานของ R³, เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

จากนั้นเราจะต้องปฏิบัติตามคุณสมบัติต่อไปนี้:

ตามกฎช่วยในการจำคุณสมบัติเหล่านี้มักจะใช้วงกลมต่อไปนี้:

ที่นั่นเราควรทราบว่าเวกเตอร์ใด ๆ ที่มีผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ 0 และส่วนที่เหลือของผลิตภัณฑ์สามารถรับได้ด้วยกฎต่อไปนี้:

ครอสโปรดัคของเวกเตอร์สองตัวต่อเนื่องกันในทิศทางตามเข็มนาฬิกาจะให้เวกเตอร์ต่อไปนี้ และเมื่อพิจารณาทิศทางทวนเข็มนาฬิกาผลที่ได้คือเวกเตอร์ต่อไปนี้ที่มีเครื่องหมายลบ.

ต้องขอบคุณคุณสมบัติเหล่านี้เราจะเห็นได้ว่าผลิตภัณฑ์เวคเตอร์ไม่ได้สลับกัน ตัวอย่างเช่นมันเพียงพอที่จะสังเกตเห็นว่าฉัน x j ≠ j x i คุณสมบัติต่อไปนี้บอกเราว่า AxB และ BxA เกี่ยวข้องกันอย่างไร.

คุณสมบัติ 2

ถ้า A และ B เป็นเวกเตอร์ R³, เราต้อง:

AxB = - (BxA).

แสดง

ถ้า A = (a1, a2, a3) และ B = (b1, b2, b3) โดยคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ภายนอกเรามี:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

เรายังสามารถสังเกตได้ว่าผลิตภัณฑ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับตัวอย่างต่อไปนี้:

ix (ixj) = ixk = - j แต่ (ixi) xj = 0xj = 0

จากนี้เราสามารถสังเกตได้ว่า:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

คุณสมบัติ 3

ถ้า A, B, C เป็นเวกเตอร์ R³ และ r คือจำนวนจริงต่อไปนี้เป็นจริง:

- Axe (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Axe (rB)

ด้วยคุณสมบัติเหล่านี้เราสามารถคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์โดยใช้กฎของพีชคณิตโดยมีเงื่อนไขว่าคำสั่งนั้นเป็นที่เคารพ ตัวอย่างเช่น

ถ้า A = (1, 2, 3) และ B = (3, -2, 4), เราสามารถเขียนมันใหม่ตามพื้นฐานของ R³.

ดังนั้น A = i + 2j + 3k และ B = 3i - 2j + 4k จากนั้นใช้คุณสมบัติก่อนหน้านี้:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

คุณสมบัติ 4 (ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามตัว)

ดังที่เราได้กล่าวไว้ในตอนต้นมีวิธีอื่น ๆ ในการคูณเวกเตอร์นอกเหนือจากผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ หนึ่งในวิธีเหล่านี้คือผลิตภัณฑ์เซนต์คิตส์และเนวิสซึ่งแสดงเป็น A ∙ B และคำจำกัดความคือ:

ถ้า A = (a1, a2, a3) และ B = (b1, b2, b3) ดังนั้น A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์ทั้งสองนั้นเป็นที่รู้จักกันในชื่อผลิตภัณฑ์สามเกลา.

ถ้า A, B และ C เป็นเวกเตอร์ R³, ดังนั้น A A BxC = AxB ∙ C

จากตัวอย่างเรามาดูกันว่าเมื่อกำหนด A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) และ C = (- 5, 1, - 4) คุณสมบัตินี้จะสำเร็จ.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

ในทางกลับกัน:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

อีกผลิตภัณฑ์สามคือ Axe (BxC) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชื่อผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สาม.

คุณสมบัติ 5 (ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามตัว)

ถ้า A, B และ C เป็นเวกเตอร์ R³, แล้ว:

Axe (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

จากตัวอย่างก่อนหน้านี้เรารู้ว่า BxC = (- 18, - 22, 17) ลองคำนวณ Axe (BxC):

Axe (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

ในทางกลับกันเราต้อง:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + 1 - + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - - 4 = - 3

ดังนั้นเราต้อง:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

ทรัพย์สิน 6

มันเป็นหนึ่งในคุณสมบัติทางเรขาคณิตของเวกเตอร์ ถ้า A และ B เป็นเวกเตอร์สองตัวใน R³ และΘคือมุมที่เกิดขึ้นระหว่างสิ่งเหล่านี้จากนั้น:

|| AxB || = || A |||| B || บาป (Θ), ที่ไหน || ∙ || หมายถึงโมดูลหรือขนาดของเวกเตอร์.

การตีความทางเรขาคณิตของคุณสมบัตินี้เป็นดังนี้:

ให้ A = PR และ B = PQ จากนั้นมุมที่เกิดจากเวกเตอร์ A และ B คือมุม P ของสามเหลี่ยม RQP ดังแสดงในรูปต่อไปนี้.

ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิดกัน PR และ PQ คือ || A |||| B || sin (sin) เนื่องจากเราสามารถใช้เป็นพื้นฐาน || A || และความสูงของมันถูกกำหนดโดย || B || sin (Θ).

ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถสรุปได้ว่า || AxB || คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กล่าวมา.

ตัวอย่าง

เมื่อพิจารณาจากจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) และ S (5,7, -3) แสดงว่ารูปสี่เหลี่ยม เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและค้นหาพื้นที่ของมัน.

สำหรับสิ่งนี้เราจะหาเวกเตอร์ที่กำหนดทิศทางของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยม นี่คือ:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

เนื่องจากเราสามารถสังเกต A และ C มีผู้กำกับเวคเตอร์เดียวกันซึ่งเรามีว่าทั้งคู่ขนานกัน ในลักษณะเดียวกับที่เกิดขึ้นกับ B และ D ดังนั้นเราสรุปได้ว่า PQRS เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

หากต้องการให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าวเราคำนวณ BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

ดังนั้นพื้นที่กำลังสองจะเป็น:

|| BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

สรุปได้ว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นสแควร์รูทของ 89.

ทรัพย์สิน 7

เวกเตอร์สองตัว A และ B ขนานกันใน R³ ใช่และเฉพาะในกรณีที่ AxB = 0

แสดง

เป็นที่ชัดเจนว่าถ้า A หรือ B เป็นเวกเตอร์โมฆะมันจะตามมาว่า AxB = 0 เนื่องจากเวกเตอร์ที่เป็นศูนย์ขนานกับเวกเตอร์อื่น ๆ ดังนั้นคุณสมบัติจึงใช้ได้.

หากไม่มีเวกเตอร์สองตัวใดเป็นเวกเตอร์ศูนย์เรามีขนาดที่แตกต่างจากศูนย์ นั่นคือทั้ง | | A || ≠ 0 เป็น || B || ≠ 0 ดังนั้นเราจะต้อง || AxB || = 0 ถ้าและถ้า sin (Θ) = 0 และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นหาก and = πหรือΘ = 0 เท่านั้น.

ดังนั้นเราสามารถสรุป AxB = 0 ได้หาก only = πหรือΘ = 0 เท่านั้นซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อเวกเตอร์ทั้งคู่ขนานกัน.

ทรัพย์สิน 8

ถ้า A และ B เป็นเวกเตอร์สองตัวใน R³, ดังนั้น AxB จะตั้งฉากกับ A และ B.

แสดง

สำหรับการสาธิตนี้จำไว้ว่าเวกเตอร์สองตัวนั้นตั้งฉากถ้า A ∙ B เท่ากับศูนย์ นอกจากนี้เรารู้ว่า:

A ∙ AxB = AxA ∙ B แต่ AxA เท่ากับ 0 ดังนั้นเราต้อง:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่า A และ AxB ตั้งฉากกัน ในทางที่คล้ายคลึงเราต้อง:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

ในฐานะ BxB = 0 เราต้อง:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

ดังนั้น AxB และ B จะตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ และด้วยคุณสมบัตินี้จะแสดงให้เห็น สิ่งนี้มีประโยชน์มากเพราะมันช่วยให้เรากำหนดสมการของระนาบ.

ตัวอย่างที่ 1

รับสมการของระนาบที่ผ่านจุด P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) และ R (2, 1, 3).

ให้ A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) และ B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2) จากนั้น A = - i + 3j + k และ B = i - 2j + k เพื่อหาระนาบที่เกิดขึ้นจากสามจุดนั้นมันก็เพียงพอแล้วที่จะหาเวกเตอร์ที่เป็นเรื่องปกติของระนาบซึ่งก็คือ AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

ด้วยเวกเตอร์นี้และหาจุด P (1, 3, 2) เราสามารถหาสมการของระนาบได้ดังนี้:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

ดังนั้นเรามีสมการของระนาบเท่ากับ 5x + 2y - z - 9 = 0.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาสมการของระนาบที่มีจุด P (4, 0, - 2) และนั่นตั้งฉากกับระนาบ x - y + z = 0 และ 2x + y - 4z - 5 = 0 .

เมื่อรู้ว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ ax + โดย + cz + d = 0 คือ (a, b, c) เรามี (1, -1,1) เป็นเวกเตอร์ปกติของ x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) เป็นเวกเตอร์ปกติของ 2x + y - 4z - 5 = 0.

ดังนั้นเวกเตอร์ปกติถึงระนาบที่ต้องการจะต้องตั้งฉากกับ (1, -1,1) และ a (2, 1, - 4) เวกเตอร์ที่กล่าวคือ:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

จากนั้นเรามีระนาบที่ต้องการคือสิ่งที่มีจุด P (4,0, - 2) และมีเวกเตอร์ (3,6,3) เป็นเวกเตอร์ปกติ.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

การใช้งาน

การคำนวณปริมาตรของ parallelepiped

แอปพลิเคชันที่มีผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามตัวจะสามารถคำนวณปริมาตรของขนานที่มีขอบโดยเวกเตอร์ A, B และ C ดังแสดงในรูปที่:

เราสามารถอนุมานแอปพลิเคชันนี้ด้วยวิธีต่อไปนี้: ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วเวกเตอร์ AxB เป็นเวกเตอร์ที่เป็นเรื่องปกติของระนาบ A และ B นอกจากนี้เรายังได้ว่าเวกเตอร์ - (AxB) เป็นเวกเตอร์ทั่วไป.

เราเลือกเวกเตอร์ปกติที่ประกอบเป็นมุมที่เล็กที่สุดด้วยเวกเตอร์ C ให้ AxB เป็นเวกเตอร์ที่มีมุมกับ C น้อยที่สุด.

เรามีทั้ง AxB และ C ที่มีจุดเริ่มต้นเหมือนกัน นอกจากนี้เรารู้ว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เป็นฐานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ || AxB || ดังนั้นหากความสูงของ parallelepiped ถูกกำหนดโดย h เราจะได้ปริมาตรของมัน:

V = || AxB || h.

ในอีกทางหนึ่งให้พิจารณาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ระหว่าง AxB และ C ซึ่งสามารถอธิบายได้ดังต่อไปนี้:

อย่างไรก็ตามด้วยคุณสมบัติตรีโกณมิติเรามี h = || C || cos (Θ) ดังนั้นเราต้อง:

ด้วยวิธีนี้เราต้อง:

โดยทั่วไปแล้วเรามีปริมาณขนานที่ได้จากค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามชนิด AxB ∙ C.

การออกกำลังกายที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

ให้คะแนน P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) และ S = (2, 6, 9), จุดเหล่านี้กลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีขอบขนาน พวกเขาคือ PQ, PR และ PS กำหนดปริมาณของขนานดังกล่าว.

ทางออก

ถ้าเราใช้:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

ด้วยคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามตัวเราต้อง:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

ดังนั้นเราจึงได้ปริมาตรของ parallelepiped ที่กล่าวคือ 52.

แบบฝึกหัดที่ 2

กำหนดปริมาตรของ parallelepiped ที่ขอบถูกกำหนดโดย A = PQ, B = PR และ C = PS โดยที่จุด P, Q, R และ S คือ (1, 3, 4), (3, 5, 3) (2, 1, 6) และ (2, 2, 5) ตามลำดับ.

ทางออก

ก่อนอื่นเรามี A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

เราคำนวณ AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

จากนั้นเราคำนวณ AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าปริมาตรของขนานที่กล่าวมาคือ 1 ลูกบาศก์หน่วย.

การอ้างอิง

Leithold, L. (1992). การคำนวณด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. HARLA, S.A.
Resnick, R. , Halliday, D. , & Krane, K. (2001). ฟิสิกส์เล่ม 1. เม็กซิโก: แผ่นดินใหญ่.
Saenz, J. (s.f. ). การคำนวณเวกเตอร์ 1ed. ด้านของสามเหลี่ยม.
Spiegel, M. R. (2011). การวิเคราะห์เวกเตอร์ 2ed. Mc Graw Hill.
Zill, D. G. , & Wright, W. (2011). การคำนวณตัวแปรต่างๆ 4. Mc Graw Hill.

คณิตศาสตร์

« ประเภทผลผลิตปัจจัยทางธุรกิจความสำคัญ คำนิยามผลิตภัณฑ์แห่งชาติสุทธิวิธีคำนวณ (ตัวอย่าง) »