คุณลักษณะแบบขนานพื้นที่ชนิดปริมาตร



parallelepiped เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดขึ้นจากใบหน้าทั้งหกซึ่งมีลักษณะสำคัญคือใบหน้าทั้งหมดของพวกเขาเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไปในชีวิตประจำวันของเราเนื่องจากเราสามารถพบได้ในกล่องรองเท้ารูปร่างของอิฐรูปทรงของไมโครเวฟ ฯลฯ.

เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมขนานที่มีปริมาตร จำกัด และใบหน้าทั้งหมดแบน มันเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มของปริซึมซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ซึ่งจุดยอดทั้งหมดของพวกมันอยู่ในระนาบคู่ขนาน.

ดัชนี

  • 1 องค์ประกอบของ Parallelepiped
    • 1.1 ใบหน้า
    • 1.2 ขอบ
    • 1.3 จุดยอด
    • 1.4 Diagonal
    • 1.5 ศูนย์
  • 2 ลักษณะของ Parallelepiped
  • 3 ประเภท
    • 3.1 การคำนวณเส้นทแยงมุม
  • 4 พื้นที่
    • 4.1 พื้นที่ของ orthohedron
    • 4.2 พื้นที่ของลูกบาศก์
    • 4.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
    • 4.4 พื้นที่ของขนมเปียกปูน
  • 5 ปริมาณของการขนาน
    • 5.1 ขนานที่สมบูรณ์แบบ
  • 6 บรรณานุกรม

องค์ประกอบของ parallelepiped

Caras

แต่ละพื้นที่ที่เกิดขึ้นจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ จำกัด รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก parallelepiped มีหกใบหน้าซึ่งแต่ละหน้ามีสี่ใบหน้าที่อยู่ติดกันและอีกหนึ่งตรงกันข้าม นอกจากนี้แต่ละด้านขนานกับด้านตรงข้าม.

Aristas

พวกเขาเป็นด้านสามัญของสองใบหน้า โดยรวมแล้วขนานที่มีสิบสองขอบ.

จุดสุดยอด

มันเป็นจุดที่เหมือนกันของสามใบหน้าที่อยู่ติดกันสองถึงสอง ขนานที่มีแปดจุดยอด.

เส้นทแยงมุม

กำหนดสองด้านตรงข้ามของ parallelepiped เราสามารถวาดส่วนของเส้นตรงที่เปลี่ยนจากจุดยอดของหน้าหนึ่งไปยังจุดยอดตรงกันข้ามของอีกด้านหนึ่ง.

ส่วนนี้เรียกว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขนานกัน แต่ละเส้นขนานมีสี่เส้นทแยงมุม.

ศูนย์

มันคือจุดที่เส้นทแยงมุมทั้งหมดตัดกัน.

ลักษณะของแผ่นขนาน

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วว่าตัวเรขาคณิตนี้มีสิบสองขอบหน้าหกและแปดจุดยอด.

ในแบบคู่ขนานคุณสามารถระบุสามชุดที่เกิดขึ้นจากสี่ขอบซึ่งขนานกัน นอกจากนี้ขอบของชุดเหล่านี้ยังเติมเต็มคุณสมบัติของความยาวเท่ากัน.

คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของขนานที่มีก็คือพวกมันจะนูนนั่นคือถ้าเราจับคู่ของจุดใด ๆ ที่อยู่ภายในการขนานของขนานส่วนที่กำหนดโดยจุดคู่ดังกล่าวก็จะอยู่ในขนานที่ขนานกันด้วย.

นอกจากนี้การขนานกันของพีวีดีนั้นเป็นไปตามทฤษฎีบทของออยเลอร์สำหรับโพลีเฮดซึ่งทำให้เรามีความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนใบหน้าจำนวนขอบและจำนวนจุดยอด ความสัมพันธ์นี้มีให้ในรูปของสมการต่อไปนี้:

C + V = A + 2

คุณสมบัตินี้เป็นที่รู้จักกันในนามลักษณะของออยเลอร์.

โดยที่ C คือจำนวนใบหน้า V จำนวนจุดยอดและจำนวนขอบ.

ชนิด

เราสามารถจำแนกประเภทของขนานที่ขึ้นอยู่กับใบหน้าของพวกเขาในประเภทต่อไปนี้:

ทรงสี่เหลี่ยม

พวกเขาคือขนานที่มีใบหน้าของพวกเขาถูกสร้างขึ้นโดยหกสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละอันตั้งฉากกับที่แบ่งขอบ มันเป็นเรื่องธรรมดาที่สุดในชีวิตประจำวันของเราเพราะนี่คือวิธีการตามปกติของกล่องรองเท้าและอิฐ.

Cube หรือ hexahedron ปกติ

นี่เป็นกรณีเฉพาะของภาพก่อนหน้าโดยที่ใบหน้าแต่ละใบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส.

ลูกบาศก์ยังเป็นส่วนหนึ่งของร่างกายทางเรขาคณิตที่เรียกว่าของแข็งอย่างสงบ ของแข็งพลาโทนิกเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเพื่อให้ทั้งใบหน้าและมุมภายในมีค่าเท่ากัน.

romboedro

มันเป็นแบบคู่ขนานกับเพชรบนใบหน้าของมัน เพชรเหล่านี้ล้วนมีค่าเท่ากันขณะที่แบ่งปันขอบ.

Romboiedro

ใบหน้าทั้งหกของมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน จำได้ว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสี่ด้านและสี่มุมที่มีค่าเท่ากับสองถึงสอง รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน.

ในอีกด้านหนึ่งขนานขนานมีความสูงอย่างน้อยหนึ่งความสูงที่ไม่เห็นด้วยกับขอบ ในการจำแนกประเภทนี้เราสามารถรวมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน.

การคำนวณเส้นทแยงมุม

ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของ orthohedron เราสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ R3.

จำได้ว่า orthohedron มีลักษณะที่แต่ละด้านตั้งฉากกับด้านที่ใช้ขอบ จากข้อเท็จจริงนี้เราสามารถอนุมานได้ว่าขอบแต่ละเส้นตั้งฉากกับขอบที่แบ่งปัน.

ในการคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของ orthohedron เราดำเนินการดังนี้:

1. เราคำนวณเส้นทแยงมุมของหนึ่งใบหน้าซึ่งเราจะใส่เป็นฐาน สำหรับสิ่งนี้เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตั้งชื่อทแยงมุมนี้ข.

2. จากนั้นด้วย dข เราสามารถสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากใหม่ได้เช่นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมดังกล่าวนั้นคือเส้นทแยงมุมที่ D ต้องการ.

3. เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกครั้งและเรามีความยาวของเส้นทแยงมุมที่กล่าวคือ:

อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณเส้นทแยงมุมในรูปแบบกราฟิกที่มากขึ้นคือผลรวมของเวกเตอร์อิสระ.

จำได้ว่ามีการเพิ่มเวกเตอร์ฟรี A และ B สองตัวโดยการวางหางของเวกเตอร์ B ด้วยปลายเวกเตอร์ A.

เวกเตอร์ (A + B) เป็นเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่หางของ A และสิ้นสุดที่ปลาย B.

พิจารณาขนานที่เราต้องการคำนวณเส้นทแยงมุม.

เราระบุขอบด้วยเวกเตอร์ที่มุ่งเน้นความสะดวก.

จากนั้นเราเพิ่มเวกเตอร์เหล่านี้แล้วเวกเตอร์ที่ได้จะเป็นเส้นทแยงมุมของขนานที่มี.

พื้นที่

พื้นที่ของ parallelepiped จะได้รับจากผลรวมของแต่ละพื้นที่ของใบหน้าของพวกเขา.

ถ้าเราพิจารณาด้านใดด้านหนึ่งเป็นฐาน,

L + 2AB = พื้นที่ทั้งหมด

อยู่ที่ไหนL เท่ากับผลรวมของพื้นที่ของทุกด้านที่อยู่ติดกับฐานเรียกว่าพื้นที่ด้านข้างและ AB เป็นพื้นที่ฐาน.

ขึ้นอยู่กับชนิดของ parallelepiped ที่เรากำลังทำงานเราสามารถเขียนสูตรดังกล่าว.

พื้นที่ของ orthohedron

มันถูกกำหนดโดยสูตร

A = 2 (ab + bc + ca).

ตัวอย่างที่ 1

ให้ orthohedron ต่อไปนี้มีด้าน a = 6 ซม., b = 8 ซม. และ c = 10 ซม. คำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนานและความยาวของเส้นทแยงมุม.

การใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของออโทโธเฟนที่เราต้องทำ

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 ซม.2.

โปรดทราบว่าเนื่องจากเป็น ortohedron ความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสี่นั้นจึงเหมือนกัน.

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับพื้นที่ที่เราต้องทำ

D = (6)2 + 82 + 102)1/2 = (36 + 64 + 100)1/2 = (200)1/2

พื้นที่ของลูกบาศก์

เนื่องจากแต่ละขอบมีความยาวเท่ากันเราจึงมี a = b และ a = c การทดแทนในสูตรก่อนหน้านี้ที่เรามี

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a2) = 6a2

A = 6a2

ตัวอย่างที่ 2

กล่องของเกมคอนโซลมีรูปทรงของลูกบาศก์ ถ้าเราต้องการห่อกล่องนี้ด้วยกระดาษของขวัญเราจะใช้กระดาษเท่าไรรู้ว่าความยาวของขอบของลูกบาศก์ 45 ซม.?

การใช้สูตรของพื้นที่ลูกบาศก์เราได้สิ่งนั้น

A = 6 (45 ซม.)2 = 6 (2025 ซม2= 12150 ซม2

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เนื่องจากใบหน้าของพวกเขาเท่ากันมันก็เพียงพอที่จะคำนวณพื้นที่ของหนึ่งในนั้นและคูณด้วยหก.

เราสามารถคำนวณพื้นที่ของเพชรโดยใช้เส้นทแยงมุมด้วยสูตรต่อไปนี้

R = (Dd) / 2

การใช้สูตรนี้จะติดตามพื้นที่ทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

ตัวอย่างที่ 3

ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต่อไปนี้เกิดขึ้นจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมเป็น D = 7 ซม. และ d = 4 ซม. พื้นที่ของคุณจะเป็น

A = 3 (7 ซม.) (4 ซม.) = 84 ซม2.

พื้นที่ของขนมเปียกปูน

ในการคำนวณพื้นที่ของขนมเปียกปูนเราจะต้องคำนวณพื้นที่ของขนมเปียกปูนที่ประกอบขึ้น เนื่องจากขนานที่มีคุณสมบัติสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ด้านตรงข้ามมีพื้นที่เดียวกันเราจึงสามารถเชื่อมโยงด้านในสามคู่.

ด้วยวิธีนี้เรามีพื้นที่ของคุณว่าจะเป็น

T = 2b1ชั่วโมง1 + 2b2ชั่วโมง2 + 2b3ชั่วโมง3

ที่ไหนขผม เป็นฐานที่เกี่ยวข้องกับด้านข้างและผม ความสูงสัมพัทธ์ของมันสอดคล้องกับฐานดังกล่าว.

ตัวอย่างที่ 4

พิจารณาขนานกันดังต่อไปนี้,

โดยที่ด้าน A และด้าน A '(ฝั่งตรงข้าม) มีค่าเป็นฐาน b = 10 และสำหรับความสูง h = 6 พื้นที่ที่ทำเครื่องหมายไว้จะมีค่าเท่ากับ

1 = 2 (10) (6) = 120

B และ B 'มี b = 4 และ h = 6 จากนั้น

2 = 2 (4) (6) = 48

และ C และ C 'มี b = 10 และ h = 5 ดังนั้น

3 = 2 (10) (5) = 100

ในที่สุดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ

A = 120 + 48 + 100 = 268.

ปริมาณของขนาน

สูตรที่ให้ปริมาตรของขนานที่เราได้รับคือผลผลิตของพื้นที่หนึ่งของใบหน้าโดยความสูงที่สอดคล้องกับใบหน้าดังกล่าว.

V = ACชั่วโมงC

ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับชนิดของขนานที่กล่าวว่าสูตรสามารถทำให้ง่ายขึ้น.

ดังนั้นเราจึงมีตัวอย่างว่าปริมาตรของ orthohedron จะได้รับจาก

V = abc.

เมื่อ a, b และ c แสดงถึงความยาวของขอบออโธโธเฟน.

และในกรณีเฉพาะของลูกบาศก์คือ

V = a3

ตัวอย่างที่ 1

มีสามรุ่นที่แตกต่างกันสำหรับกล่องคุกกี้และคุณต้องการทราบว่าในรุ่นใดที่คุณสามารถจัดเก็บคุกกี้ได้มากขึ้นนั่นคือกล่องใดมีปริมาณมาก.

สิ่งแรกคือลูกบาศก์ที่ขอบมีความยาว a = 10 ซม

ปริมาณจะเป็น V = 1,000 ซม3

ที่สองมีขอบ b = 17 ซม., c = 5 ซม., d = 9 ซม

ดังนั้นปริมาตรของมันคือ V = 765 ซม3

และอันที่สามมี e = 9 ซม., f = 9 ซม. และ g = 13 ซม

และปริมาณของมันคือ V = 1053 ซม3

ดังนั้นกล่องที่มีปริมาณมากที่สุดคือที่สาม.

อีกวิธีที่จะได้ปริมาตรของ parallelepiped คือใช้พีชคณิตเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามชั้น.

หนึ่งในการตีความเชิงเรขาคณิตที่มีผลคูณสเกลาร์สามตัวคือปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมคู่ขนานซึ่งมีสามเวกเตอร์ที่มีจุดยอดเดียวกันเป็นจุดเริ่มต้น.

ด้วยวิธีนี้ถ้าเรามี parallelepiped และเราต้องการทราบว่าปริมาตรของมันคืออะไรมันก็เพียงพอที่จะแสดงมันในระบบพิกัดใน R3 การจับคู่จุดยอดหนึ่งจุดกับจุดกำเนิด.

จากนั้นเราก็แสดงขอบที่เห็นพ้องในจุดกำเนิดด้วยเวกเตอร์ดังแสดงในรูป.

และด้วยวิธีนี้เรามีปริมาตรของการขนานที่กล่าวมา

V = | AxB ∙ C |

หรือปริมาตรเท่ากับตัวกำหนดเมทริกซ์ 3 × 3 ที่เกิดจากส่วนประกอบของเวกเตอร์ขอบ.

ตัวอย่างที่ 2

โดยเป็นตัวแทนของ parallelepiped ถัดไปใน R3 เราจะเห็นว่าเวกเตอร์ที่พิจารณามันมีดังต่อไปนี้

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) และ w = (-0.25, -4, 4)

ใช้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามตัวที่เรามี

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

จากนี้เราสรุปได้ว่า V = 60

ทีนี้ลองพิจารณาถึง parallelepiped ต่อไปนี้ใน R3 ซึ่งขอบถูกกำหนดโดยเวกเตอร์

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) และ C = (3, 4, 4)

การใช้ดีเทอร์มิแนนต์ทำให้เรานั้น

เราจึงได้ว่าปริมาตรของขนานที่กล่าวมาคือ 112.

ทั้งสองเป็นวิธีการคำนวณปริมาตรที่เทียบเท่ากัน.

ขนานที่สมบูรณ์แบบ

มันเป็นที่รู้จักกันในชื่ออิฐออยเลอร์ (หรือออยเลอร์บล็อก) เพื่อ orthohedron ที่เติมเต็มคุณสมบัติที่ทั้งความยาวของขอบและความยาวของเส้นทแยงมุมของแต่ละใบหน้าเป็นจำนวนเต็ม.

ในขณะที่ออยเลอร์ไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์คนแรกที่ศึกษา orthohedrons ที่ตรงกับคุณสมบัตินั้นเขาพบผลลัพธ์ที่น่าสนใจ.

พอล Halcke ค้นพบก้อนอิฐขนาดเล็กและความยาวของขอบคือ a = 44, b = 117 และ c = 240.

ปัญหาเปิดในทฤษฎีจำนวนมีดังนี้

มี orthohedrons ที่สมบูรณ์แบบ?

ในปัจจุบันคำถามนี้ไม่สามารถตอบได้เนื่องจากมันเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ว่าร่างกายเหล่านี้ไม่ได้อยู่ แต่ไม่พบใด ๆ.

สิ่งที่แสดงให้เห็นจนถึงตอนนี้ก็คือว่ามีระบบขนานที่สมบูรณ์แบบเกิดขึ้น สิ่งแรกที่จะค้นพบมีความยาวของขอบที่มีค่า 103, 106 และ 271.

บรรณานุกรม

  1. Guy, R. (1981). ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ในทฤษฎีจำนวน. สปริงเกอร์.
  2. Landaverde, F. d. (1997). geometria. ความคืบหน้า.
  3. Leithold, L. (1992). การคำนวณด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. HARLA, S.A.
  4. Rendon, A. (2004). การเขียนทางเทคนิค: สมุดงาน 3 2nd Baccalaureate . Tebar.
  5. Resnick, R. , Halliday, D. , & Krane, K. (2001). ฟิสิกส์เล่ม 1. เม็กซิโก: แผ่นดินใหญ่.