วิธีกำลังสองขั้นต่ำ, แบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไขและสิ่งที่ให้บริการ



วิธีการของ สี่เหลี่ยมน้อยที่สุด เป็นหนึ่งในแอพพลิเคชั่นที่สำคัญที่สุดในการประมาณฟังก์ชั่น ความคิดคือการหาเส้นโค้งที่ให้ชุดของคู่สั่งซื้อฟังก์ชั่นนี้ดีกว่าประมาณข้อมูล ฟังก์ชั่นสามารถเป็นเส้น, เส้นโค้งกำลังสอง, ลูกบาศก์โค้ง ฯลฯ.

แนวคิดของวิธีการคือการลดผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างในส่วน (ส่วน Y) ระหว่างจุดที่สร้างขึ้นโดยฟังก์ชั่นที่เลือกและจุดที่เป็นของชุดข้อมูล.

ดัชนี

  • 1 วิธีกำลังสองน้อยสุด
  • แก้ไข 2 แบบฝึกหัด
    • 2.1 การออกกำลังกาย 1
    • 2.2 การออกกำลังกาย 2
  • 3 มีไว้เพื่ออะไร??
  • 4 อ้างอิง

วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

ก่อนที่จะให้วิธีการนั้นเราต้องมีความชัดเจนเกี่ยวกับความหมายของ "วิธีการที่ดีกว่า" ก่อน ให้เราสมมติว่าเรามองหาเส้น y = b + mx ที่แสดงถึงชุดของจุด n ได้ดีที่สุดคือ (x1, y1), (x2, y2) ... , (xn, yn).

ดังที่แสดงในรูปก่อนหน้าถ้าตัวแปร x และ y สัมพันธ์กันโดยบรรทัด y = b + mx ดังนั้นสำหรับ x = x1 ค่าที่สอดคล้องกันของ y จะเป็น b + mx1 อย่างไรก็ตามค่านี้แตกต่างจากค่าจริงของ y ซึ่งก็คือ y = y1.

จำได้ว่าในระนาบระยะทางระหว่างจุดสองจุดจะได้รับจากสูตรต่อไปนี้:

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้เพื่อกำหนดวิธีการเลือกบรรทัด y = b + mx ที่ใกล้เคียงกับข้อมูลที่กำหนดมากที่สุดมันสมเหตุสมผลที่จะใช้การเลือกบรรทัดที่ลดผลรวมของกำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดที่เป็นเกณฑ์ และตรง.

เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุด (x1, y1) และ (x1, b + mx1) คือ y1- (b + mx1) ปัญหาของเราจะลดลงเพื่อหาตัวเลข m และ b ซึ่งผลรวมต่อไปนี้มีค่าน้อยที่สุด:

บรรทัดที่ตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่า "การประมาณของกำลังสองน้อยที่สุดไปยังจุด (x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)".

เมื่อปัญหาได้รับการแก้ไขแล้วเราเพียงต้องเลือกวิธีการเพื่อหาค่ากำลังสองน้อยที่สุด หากคะแนน (x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn) อยู่ในบรรทัด y = mx + b เราจะต้องมี collinear และ:

ในการแสดงออกนี้:

ในที่สุดหากคะแนนไม่ใช่ collinear ดังนั้น y-Au = 0 และปัญหาสามารถแปลเป็นการหาเวกเตอร์หรือว่า Euclidean norm นั้นน้อยที่สุด.

การค้นหาเวกเตอร์ที่ย่อเล็กสุดนั้นไม่ใช่เรื่องยากอย่างที่คุณคิด เนื่องจาก A คือเมทริกซ์ nx2 และ u เป็นเมทริกซ์ 2 × 1 เราจึงได้ว่าเวกเตอร์ Au เป็นเวกเตอร์ใน Rn และมันเป็นของอิมเมจ A ซึ่งเป็น subspace ของ Rn ด้วยมิติไม่เกินสอง.

เราจะสมมติว่า n = 3 เพื่อแสดงว่าขั้นตอนใดที่ควรปฏิบัติตาม ถ้า n = 3 รูปภาพของ A จะเป็นระนาบหรือเส้นที่ผ่านจุดกำเนิด.

ให้ v เป็นเวกเตอร์ที่ย่อเล็กสุด ในภาพเราสังเกตว่า y-Au ถูกย่อให้เล็กสุดเมื่อมันเป็นมุมฉากกับภาพของ A นั่นคือถ้า v เป็นเวกเตอร์ที่ย่อเล็กสุดมันจะเกิดขึ้นที่:

จากนั้นเราสามารถแสดงด้านบนด้วยวิธีนี้:

สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ:

ในที่สุดการล้าง v เราต้อง:

เป็นไปได้ที่จะทำเช่นนี้ตั้งแต่ Aเสื้อA สามารถย้อนกลับได้ตราบใดที่ n จุดที่ให้ไว้เนื่องจากข้อมูลไม่ใช่ collinear.

ทีนี้ถ้าแทนที่จะมองหาเส้นเราต้องการหาพาราโบลา (ซึ่งนิพจน์จะอยู่ในรูป y = a + bx + cx2) นั่นเป็นการประมาณที่ดีกว่าสำหรับจุดข้อมูล n ขั้นตอนจะเป็นดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง.

หากจุดข้อมูล n อยู่ในรูปพาราโบลากล่าวมันจะต้อง:

แล้ว:

ในทำนองเดียวกันเราสามารถเขียน y = Au หากคะแนนทั้งหมดไม่ได้อยู่ในพาราโบลาเรามีว่า y-Au นั้นแตกต่างจากศูนย์สำหรับเวกเตอร์ u ใด ๆ และปัญหาของเราคืออีกครั้ง: หาเวกเตอร์ u ใน R3 เช่นนั้นเป็นบรรทัดฐาน || y-Au | | มีขนาดเล็กที่สุด.

ด้วยการทำซ้ำขั้นตอนก่อนหน้านี้เราสามารถไปถึงเวกเตอร์ที่ค้นหา:

การออกกำลังกายที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

ค้นหาบรรทัดที่เหมาะกับจุดมากที่สุด (1,4), (-2,5), (3, -1) และ (4,1).

ทางออก

เราต้อง:

แล้ว:

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าเส้นที่เหมาะที่สุดกับจุดที่ได้รับจาก:

แบบฝึกหัดที่ 2

สมมติว่าวัตถุนั้นหลุดจากความสูง 200 ม. ในขณะที่ล้มมาตรการต่อไปนี้จะถูกนำมาใช้:

เรารู้ว่าความสูงของวัตถุดังกล่าวหลังจากผ่านเวลา t ไปแล้วจะได้รับโดย:

ถ้าเราต้องการได้ค่า g เราสามารถหาพาราโบลาที่ดีกว่าประมาณห้าจุดที่กำหนดในตารางและดังนั้นเราจะมีสัมประสิทธิ์ที่มาพร้อมกับ2 มันจะเป็นการประมาณที่เหมาะสมกับ (-1/2) g หากการวัดมีความแม่นยำ.

เราต้อง:

แล้ว:

ดังนั้นจุดข้อมูลจะถูกปรับตามนิพจน์กำลังสองต่อไปนี้:

จากนั้นคุณต้อง:

นี่เป็นค่าที่ใกล้เคียงกับค่าที่ถูกต้องซึ่งก็คือ g = 9.81 m / s2. เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้นของ g คุณจำเป็นต้องเริ่มต้นจากการสังเกตที่แม่นยำยิ่งขึ้น.

มีไว้เพื่ออะไร??

ในปัญหาที่เกิดขึ้นในธรรมชาติหรือสังคมศาสตร์มันสะดวกที่จะเขียนความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นระหว่างตัวแปรต่าง ๆ ด้วยวิธีการแสดงออกทางคณิตศาสตร์.

ตัวอย่างเช่นเราสามารถเชื่อมโยงค่าใช้จ่าย (C) รายได้ (I) และผลกำไร (U) ทางเศรษฐศาสตร์โดยใช้สูตรอย่างง่าย:

ในฟิสิกส์เราสามารถเกี่ยวข้องกับความเร่งที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงเวลาที่วัตถุตกลงมาและความสูงของวัตถุตามกฎหมาย:

ในการแสดงออกก่อนหน้านี้หรือ คือความสูงเริ่มต้นของวัตถุนั้นและ vหรือ คือความเร็วเริ่มต้นของคุณ.

อย่างไรก็ตามการค้นหาสูตรเช่นนี้ไม่ใช่เรื่องง่าย โดยปกติแล้วมันขึ้นอยู่กับมืออาชีพที่ทำหน้าที่ในการทำงานกับข้อมูลจำนวนมากและทำการทดลองซ้ำ ๆ หลายครั้ง (เพื่อตรวจสอบว่าผลลัพธ์ที่ได้รับนั้นคงที่) เพื่อค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลที่แตกต่าง.

วิธีทั่วไปในการบรรลุเป้าหมายนี้คือการแสดงข้อมูลที่ได้รับในระนาบเป็นจุดและมองหาฟังก์ชันต่อเนื่องที่เข้าใกล้จุดเหล่านี้อย่างเหมาะสม.

อีกวิธีหนึ่งในการค้นหาฟังก์ชั่นที่ "ใกล้เคียงที่สุด" ข้อมูลที่ได้รับคือวิธีกำลังสองน้อยที่สุด.

นอกจากนี้อย่างที่เราเห็นในการออกกำลังกายด้วยวิธีนี้ทำให้เราสามารถประมาณค่าได้ใกล้เคียงกับค่าคงที่ทางกายภาพ.

การอ้างอิง

  1. Charles W Curtis พีชคณิตเชิงเส้น สปริง Velarg
  2. ไก่ลายจุง ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นพร้อมกระบวนการสโทแคสติก Springer-Verlag นิวยอร์กอิงค์
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires การวิเคราะห์เชิงตัวเลข (7ed) การเรียนรู้ของ Thompson.
  4. Stanley I. Grossman การประยุกต์เชิงพีชคณิตเชิงเส้น MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman พีชคณิตเชิงเส้น MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO