คุณสมบัติและประเภทของ Homothety

homotecia คือการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตในระนาบที่จากจุดคงที่ที่เรียกว่า center (O) ระยะทางจะถูกคูณด้วยปัจจัยทั่วไป ด้วยวิธีนี้แต่ละจุด P สอดคล้องกับจุดอีกจุดหนึ่งของผลิตภัณฑ์ของการแปลงและสิ่งเหล่านี้จะสอดคล้องกับจุด O.

จากนั้น homothety ก็คือการติดต่อกันระหว่างรูปทรงเรขาคณิตสองอันซึ่งจุดเปลี่ยนที่เรียกว่า homothetic และสิ่งเหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกันกับจุดคงที่และส่วนที่ขนานกัน.

ดัชนี

• 1 Homotecia
• 2 คุณสมบัติ
• 3 ประเภท
  • 3.1 Direct homothety
  • 3.2 ย้อนกลับ homothety
• 4 องค์ประกอบ
• 5 ตัวอย่าง
  • 5.1 ตัวอย่างแรก
  • 5.2 ตัวอย่างที่สอง
• 6 อ้างอิง

homotecia

homothety คือการเปลี่ยนแปลงที่ไม่มีภาพที่สมภาคกันเพราะจากตัวเลขหนึ่งหรือมากกว่านั้นที่มีขนาดใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าที่ร่างเดิมจะได้รับ กล่าวคือ homothety ที่แปลงรูปหลายเหลี่ยมเป็นอีกหนึ่งที่คล้ายกัน.

สำหรับ homothety ที่จะบรรลุพวกเขาจะต้องสอดคล้องกันชี้ไปที่จุดและตรงไปตรงเพื่อให้คู่ของคะแนน homologous จะชิดกับจุดคงที่ที่สามซึ่งเป็นศูนย์กลางของ homothety.

ในทำนองเดียวกันคู่ของเส้นที่เข้าร่วมพวกเขาจะต้องขนานกัน ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนดังกล่าวเป็นค่าคงที่ที่เรียกว่าอัตราส่วน homothety (k); ในลักษณะที่ homothety สามารถกำหนดเป็น:

เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงประเภทนี้คุณเริ่มต้นด้วยการเลือกจุดโดยพลการซึ่งจะเป็นศูนย์กลางของ homothety.

จากจุดนี้ส่วนของเส้นจะถูกวาดสำหรับแต่ละจุดยอดของรูปที่จะถูกเปลี่ยนรูป สเกลที่ทำซ้ำของร่างใหม่นั้นถูกกำหนดโดยเหตุผลของ homothety (k).

สรรพคุณ

หนึ่งในคุณสมบัติหลักของ homothety ก็คือเพื่อเหตุผลของ homothety (k) ตัวเลข homothetic ทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน คุณสมบัติที่โดดเด่นอื่น ๆ ได้แก่ :

- จุดศูนย์กลางของ homothety (O) เป็นจุดสองจุดเท่านั้นและจะแปลงเป็นตัวของมันเอง; นั่นคือมันไม่แตกต่างกัน.

- เส้นที่ผ่านจุดกึ่งกลางเปลี่ยนตัวเอง (พวกเขาเป็นสองเท่า) แต่จุดที่เขียนมันไม่ได้เป็นสองเท่า.

- Straights ที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางจะถูกแปลงเป็นเส้นขนาน ด้วยวิธีนี้มุมของ homothety ยังคงเหมือนเดิม.

- ภาพของเซ็กเมนต์โดย homothety ของ center O และอัตราส่วน k คือเซ็กเมนต์ที่ขนานกับสิ่งนี้และมี k คูณความยาวของมัน ตัวอย่างเช่นตามที่เห็นในภาพต่อไปนี้ส่วน AB โดย homothetic จะส่งผลให้ส่วนอื่น A'B 'ดังนั้น AB จะขนานกับ A'B' และ k จะเป็น:

- มุมโฮโมเทติกมีความสอดคล้องกัน นั่นคือพวกเขามีมาตรการเดียวกัน ดังนั้นภาพของมุมจึงเป็นมุมที่มีความกว้างเท่ากัน.

ในทางกลับกัน homothety แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วน (k) และอาจเกิดกรณีต่อไปนี้:

- หากค่าคงที่ k = 1 ทุกจุดจะคงที่เพราะพวกมันแปลงตัวเอง ดังนั้นรูป homothetic เกิดขึ้นพร้อมกับต้นฉบับและการเปลี่ยนแปลงจะเรียกว่าฟังก์ชั่นตัวตน.

- ถ้า k ≠ 1 จุดคงที่เท่านั้นที่จะเป็นศูนย์กลางของ homothety (O).

- ถ้า k = -1 ความเป็นเนื้อเดียวกันจะกลายเป็นสมมาตรกลาง (C); นั่นคือการหมุนรอบ C จะเกิดขึ้นที่มุม 180^หรือ.

- ถ้า k> 1 ขนาดของรูปที่แปลงจะใหญ่กว่าขนาดของต้นฉบับ.

- ใช่ 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- ใช่ -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- ถ้าเค < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

ชนิด

ความคล้ายคลึงกันสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทขึ้นอยู่กับมูลค่าของอัตราส่วน (k):

ตรง homothety

มันจะเกิดขึ้นถ้าค่าคงที่ k> 0; นั่นคือจุด homothetic อยู่ในด้านเดียวกันด้วยความเคารพต่อศูนย์:

ปัจจัยที่มีสัดส่วนหรืออัตราส่วนของความคล้ายคลึงกันระหว่างตัวเลขโดยตรงของโฮโธเมติกจะเป็นบวกเสมอ.

ย้อนกลับ homothetic

มันจะเกิดขึ้นถ้าค่าคงที่ k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

ปัจจัยของสัดส่วนหรืออัตราส่วนของความคล้ายคลึงกันระหว่างตัวเลขผกผัน homothetic จะเป็นค่าลบเสมอ.

ส่วนประกอบ

เมื่อมีการเคลื่อนไหวหลายครั้งอย่างต่อเนื่องจนกระทั่งได้ตัวเลขที่เท่ากับต้นฉบับการเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้น องค์ประกอบของการเคลื่อนไหวหลายอย่างก็คือการเคลื่อนไหว.

องค์ประกอบระหว่างสอง homothecias ส่งผลให้ homothecia ใหม่; นั่นคือเรามีผลิตภัณฑ์แบบ homothetic ซึ่งจุดศูนย์กลางจะสอดคล้องกับศูนย์กลางของการแปลงสองแบบดั้งเดิมและอัตราส่วน (k) เป็นผลคูณของสองเหตุผล.

ดังนั้นในการประกอบของสอง H homotheces₁(O₁, k₁) และ H₂(O₂, k₂) คูณเหตุผลของคุณ: k₁ x k₂ = 1 จะส่งผลให้อัตราส่วน homothety ของ k₃ = K₁ x k₂. ศูนย์กลางของ homothety ใหม่นี้ (O₃) จะตั้งอยู่บน O ตรง₁ O₂.

homothety สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงที่แบนและกลับไม่ได้; หากมีการใช้โฮโมเทคสองตัวที่มีศูนย์กลางและอัตราส่วนเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกันจะได้รูปที่เป็นต้นฉบับ.

ตัวอย่าง

ตัวอย่างแรก

ใช้ homothety กับ center polygon (O) ที่อยู่ห่างจากจุด A ประมาณ 5 ซม. และอัตราส่วนคือ k = 0.7.

ทางออก

จุดใดก็ได้รับเลือกให้เป็นจุดศูนย์กลางของ homothety และจากจุดนี้จะถูกวาดโดยจุดยอดของภาพ:

ระยะทางจากศูนย์กลาง (O) ถึงจุด A คือ OA = 5; ด้วยวิธีนี้คุณสามารถกำหนดระยะทางของหนึ่งในจุดโฮโมเทติก (OA ') โดยรู้ว่า k = 0.7:

OA '= k x OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5.

กระบวนการนี้สามารถทำได้สำหรับแต่ละจุดสุดยอดหรือคุณสามารถวาดรูปหลายเหลี่ยม homothetic ที่จำได้ว่ารูปหลายเหลี่ยมทั้งสองมีด้านคู่ขนาน:

ในที่สุดการเปลี่ยนแปลงจะเป็นดังนี้:

ตัวอย่างที่สอง

ใช้ homothety กับ center polygon (O) ที่อยู่ห่างจากจุด C ประมาณ 8.5 ซม. และอัตราส่วน y คือ k = -2.

ทางออก

ระยะทางจากศูนย์กลาง (O) ถึงจุด C คือ OC = 8.5; ด้วยข้อมูลนี้มันเป็นไปได้ที่จะกำหนดระยะทางของหนึ่งในจุด homothetic (OC ') โดยรู้ว่า k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

หลังจากวาดส่วนของจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่แปลงแล้วเรามีจุดเริ่มต้นและโฮโมเนติกส์ของพวกเขาตั้งอยู่ตรงข้ามกับปลายตรงกลาง:

การอ้างอิง

1. ÁlvaroRendón, A. R. (2004) การวาดภาพทางเทคนิค: สมุดบันทึกกิจกรรม.
2. อันโตนิโออัลวาเรซเดอลาโรซา, J. L. (2002) ความใกล้ชิดความคล้ายคลึงกันและความคล้ายคลึงกัน.
3. Baer, ​​R. (2012) พีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตเชิง Projective บริษัท จัดส่ง.
4. Hebert, Y. (1980) คณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นและสถิติทั่วไป.
5. Meserve, B. E. (2014) แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต บริษัท จัดส่ง.
6. Nachbin, L. (1980) พีชคณิตเบื้องต้น Reverte.