กรณีและตัวอย่างเศษส่วนบางส่วน

เศษส่วนบางส่วน มันเป็นเศษส่วนที่เกิดจากพหุนามซึ่งในส่วนสามารถเป็นพหุนามเชิงเส้นหรือกำลังสองและนอกจากนี้สามารถยกกำลังบางส่วน บางครั้งเมื่อเรามีฟังก์ชั่นเหตุผลมันมีประโยชน์มากที่จะเขียนฟังก์ชันนี้ใหม่เป็นผลรวมของเศษส่วนบางส่วนหรือเศษส่วนแบบง่าย.

นี่เป็นเช่นนั้นเพราะด้วยวิธีนี้เราสามารถจัดการฟังก์ชันเหล่านี้ในวิธีที่ดีขึ้นโดยเฉพาะในกรณีที่จำเป็นต้องรวมแอปพลิเคชันนี้ ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลเป็นเพียงผลหารระหว่างสองชื่อที่ประกอบด้วยหลายชื่อและอาจเหมาะสมหรือไม่เหมาะสม.

ถ้าระดับของพหุนามของตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วนมันจะเรียกว่าฟังก์ชันเหตุผลของมันเอง มิฉะนั้นจะเรียกว่าเป็นฟังก์ชั่นเหตุผลที่ไม่เหมาะสม.

ดัชนี

• 1 คำจำกัดความ
• 2 คดี
  • 2.1 กรณีที่ 1
  • 2.2 กรณีที่ 2
  • 2.3 กรณีที่ 3
  • 2.4 กรณีที่ 4
• 3 แอปพลิเคชัน
  • 3.1 การคำนวณที่ครอบคลุม
  • 3.2 กฎแห่งการกระทำโดยรวม
  • 3.3 สมการเชิงอนุพันธ์: สมการโลจิสติก
• 4 อ้างอิง

คำนิยาม

เมื่อเรามีฟังก์ชั่นเหตุผลที่ไม่เหมาะสมเราสามารถหารพหุนามของตัวเศษระหว่างพหุนามของตัวส่วนจึงเขียนเศษส่วน p (x) / q (x) ตามอัลกอริทึมของการแบ่งเป็น t (x) + s (x) / q (x) โดยที่ t (x) คือพหุนามและ s (x) / q (x) เป็นฟังก์ชันเหตุผลของมันเอง.

เศษส่วนบางส่วนเป็นฟังก์ชันที่เหมาะสมของพหุนามซึ่งประกอบด้วยส่วนที่เป็นรูปแบบ (ax + b)ⁿ o (ขวาน²+ bx + c)ⁿ, ถ้าขวานพหุนาม² + bx + c ไม่มีรากจริงและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ.

เพื่อเขียนฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลในเศษส่วนบางส่วนสิ่งแรกที่ต้องทำคือคำนึงถึงตัวหาร q (x) เป็นผลคูณของปัจจัยเชิงเส้นและ / หรือกำลังสอง เมื่อดำเนินการเสร็จแล้วจะมีการกำหนดเศษส่วนบางส่วนซึ่งขึ้นอยู่กับลักษณะของปัจจัยที่กล่าวมา.

กรณี

เราพิจารณาหลายกรณีแยกกัน.

กรณีที่ 1

ปัจจัยของ q (x) เป็นเส้นตรงทั้งหมดและไม่มีการทำซ้ำ นั่นคือ:

q (x) = (a₁x + b₁) (ก₂x + b₂) ... (ก_sx + b_s)

ตรงนั้นไม่มีตัวประกอบเชิงเส้นเหมือนกัน เมื่อกรณีนี้เกิดขึ้นเราจะเขียน:

p (x) / q (x) = A₁/ (a₁x + b₁) + A₂/ (a₂x + b₂) ... + A_s/ (a_sx + b_s).

อยู่ที่ไหน₁,₂,... , A_s เป็นค่าคงที่คุณต้องการค้นหา.

ตัวอย่าง

เราต้องการที่จะย่อยฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลเป็นเศษส่วนง่ายๆ:

(x - 1) / (x³+3x²+2x)

เราดำเนินการแยกตัวส่วนนั่นคือ:

x³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

แล้ว:

(x - 1) / (x³+3x²+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

เมื่อใช้พหุคูณร่วมน้อยที่สุดคุณสามารถรับสิ่งต่อไปนี้

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

เราต้องการได้รับค่าของค่าคงที่ A, B และ C ซึ่งสามารถพบได้โดยแทนที่รากที่ยกเลิกแต่ละคำ แทน 0 สำหรับ x เรามี:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

การแทนที่ - 1 สำหรับ x เรามี:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

การแทนที่ - 2 สำหรับ x เรามี:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

ด้วยวิธีนี้จะได้รับค่า A = -1/2, B = 2 และ C = -3/2.

มีวิธีอื่นที่จะได้ค่า A, B และ C หากอยู่ทางด้านขวาของสมการ x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x เรารวมเงื่อนไขต่าง ๆ เรามี:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

เนื่องจากนี่คือความเท่าเทียมกันของพหุนามเราจึงมีค่าสัมประสิทธิ์ของด้านซ้ายจะต้องเท่ากับของด้านขวา ซึ่งส่งผลให้ระบบสมการต่อไปนี้:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

เมื่อแก้สมการระบบนี้เราจะได้ผลลัพธ์ A = -1/2, B = 2 และ C = -3/2.

ในที่สุดการแทนที่ค่าที่ได้รับเราต้อง:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

กรณีที่ 2

ปัจจัยของ q (x) เป็นเส้นตรงทั้งหมดและบางส่วนถูกทำซ้ำ สมมติว่า (ax + b) เป็นปัจจัยที่มีการทำซ้ำ "s" ครั้ง; จากนั้นปัจจัยนี้จะสอดคล้องกับผลรวมของเศษส่วนบางส่วนของ "s".

_s/ (ขวาน + b)^s + _s-1/ (ขวาน + b)^s-1 +... + A₁/ (ขวาน + b).

อยู่ที่ไหน_s,_s-1,... , A₁ พวกมันคือค่าคงที่ที่จะพิจารณา จากตัวอย่างต่อไปนี้เราจะแสดงวิธีการกำหนดค่าคงที่เหล่านี้.

ตัวอย่าง

ย่อยสลายเป็นเศษส่วนบางส่วน:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

เราเขียนฟังก์ชัน rational เป็นผลรวมของเศษส่วนบางส่วนดังนี้

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (x - 2)² + E / (x - 2).

แล้ว:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + Cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²x²

แทน 2 สำหรับ x เราต้อง:

7 = 4C นั่นคือ C = 7/4.

แทน 0 สำหรับ x เรามี:

- 1 = -8A หรือ A = 1/8.

การแทนที่ค่าเหล่านี้ในสมการก่อนหน้าและการพัฒนาเราต้อง:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² +Dx³ - 2DX² + อดีต²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8B) x - 1.

โดยการจับคู่สัมประสิทธิ์เราได้รับระบบสมการต่อไปนี้:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

การแก้ปัญหาระบบเรามี:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

ด้วยเหตุนี้เราต้อง:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

กรณีที่ 3

ปัจจัยของ q (x) เป็นเส้นตรงกำลังสองโดยไม่มีปัจจัยกำลังสองซ้ำกัน สำหรับกรณีนี้ปัจจัยกำลังสอง (ขวาน² + bx + c) สอดคล้องกับเศษส่วนบางส่วน (Ax + B) / (axe)² + bx + c) โดยที่ค่าคงที่ A และ B เป็นค่าที่คุณต้องการพิจารณา.

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีดำเนินการในกรณีนี้

ตัวอย่าง

แยกย่อยเป็นเศษส่วนอย่างง่าย a (x + 1) / (x³ - 1).

ขั้นแรกเราดำเนินการแยกตัวประกอบซึ่งทำให้เราเป็นผลลัพธ์:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

เราเห็นได้ว่า (x² + x + 1) เป็นพหุนามลดกำลังสอง; นั่นคือมันไม่มีรากที่แท้จริง การสลายตัวของมันเป็นเศษส่วนบางส่วนจะเป็นดังนี้:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

จากนี้เราได้รับสมการต่อไปนี้:

x + 1 = (A + B) x² +(A - B + C) x + (A - C)

ด้วยความเสมอภาคของพหุนามเราได้รับระบบดังต่อไปนี้:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

จากระบบนี้เรามี A = 2/3, B = - 2/3 และ C = 1/3 เราต้อง:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1).

กรณีที่ 4

ในที่สุดกรณีที่ 4 คือสิ่งที่ปัจจัยของ q (x) เป็นเส้นตรงและกำลังสองซึ่งบางส่วนของปัจจัยกำลังสองเชิงเส้นซ้ำกัน.

ในกรณีนี้ใช่ (ขวาน² + bx + c) เป็นปัจจัยกำลังสองที่ซ้ำกัน "s" ครั้งแล้วเศษส่วนบางส่วนที่สอดคล้องกับปัจจัย (ขวาน)² + bx + c) จะเป็น:

(A₁x + B) / (ขวาน² + bx + c) + ... + (A_s-1x + B_s-1) / (ขวาน)² + bx + c)^s-1 + (A_sx + B_s) / (ขวาน)² + bx + c)^s

อยู่ที่ไหน_s, _s-1,... , A และ B_s, B_s-1,... , B เป็นค่าคงที่ที่คุณต้องการตรวจสอบ.

ตัวอย่าง

เราต้องการแยกฟังก์ชั่นเหตุผลต่อไปนี้เป็นเศษส่วนบางส่วน:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

ชอบ x² - 4x + 5 เป็นปัจจัยกำลังสองที่ลดลงเรามีว่าการสลายตัวเป็นเศษส่วนบางส่วนจะได้รับโดย:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x +5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

ลดความซับซ้อนและพัฒนาเรามี:

x - 2 = A (x² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

จากด้านบนเรามีระบบสมการต่อไปนี้:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

เมื่อแก้ระบบเราต้อง:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 และ E = - 3/5.

เมื่อแทนที่ค่าที่ได้รับเรามี:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

การใช้งาน

การคำนวณที่ครอบคลุม

เศษส่วนบางส่วนส่วนใหญ่ใช้สำหรับการศึกษาแคลคูลัสหนึ่ง ด้านล่างเราจะเห็นตัวอย่างของวิธีสร้างอินทิกรัลโดยใช้เศษส่วนบางส่วน.

ตัวอย่างที่ 1

เราต้องการคำนวณอินทิกรัลของ:

เราจะเห็นได้ว่าตัวหาร q (x) = (t + 2)²(t + 1) ประกอบด้วยปัจจัยเชิงเส้นซึ่งหนึ่งในการทำซ้ำเหล่านี้ สำหรับสิ่งนี้เราอยู่ในกรณีที่ 2.

เราต้อง:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

เราเขียนสมการใหม่และเรามี:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

ถ้า t = - 1 เราต้อง:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

ถ้า t = - 2 มันให้เรา:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

จากนั้นถ้า t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

แทนค่าของ A และ C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

จากข้างบนเรามี B = - 1.

เราเขียนอินทิกรัลเป็น:

เราดำเนินการแก้ไขโดยวิธีการแทนที่:

ผลลัพธ์นี้ใน:

ตัวอย่างที่ 2

แก้ไขอินทิกรัลต่อไปนี้:

ในกรณีนี้เราสามารถคำนึงถึง q (x) = x² - 4 เป็น q (x) = (x - 2) (x + 2) เห็นได้ชัดว่าเราอยู่ในกรณีที่ 1 ดังนั้น:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงเป็น:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

ถ้า x = - 2 เรามี:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

และถ้า x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

ดังนั้นเราต้องแก้อินทิกรัลที่ให้มาเท่ากับแก้:

สิ่งนี้ทำให้เราได้รับผล:

ตัวอย่างที่ 3

แก้ปัญหาสำคัญ:

เรามี q (x) = 9x⁴ + x² , ที่เราสามารถแยกตัวประกอบใน q (x) = x²(9x² + 1).

ในโอกาสนี้เรามีปัจจัยเชิงเส้นซ้ำและปัจจัยกำลังสอง; นั่นคือเราอยู่ในกรณีที่ 3.

เราต้อง:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + Dx²

การจัดกลุ่มและการใช้ความเสมอภาคของพหุนามมี:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

จากระบบสมการนี้เราต้อง:

D = - 9 และ C = 0

ด้วยวิธีนี้เรามี:

โดยการแก้ปัญหาข้างต้นเรามี:

กฎแห่งการกระทำโดยรวม

แอปพลิเคชั่นที่น่าสนใจของเศษส่วนบางส่วนที่ใช้กับแคลคูลัสหนึ่งถูกค้นพบในทางเคมีแม่นยำยิ่งขึ้นในกฎการกระทำ.

ขอให้เราสมมติว่าเรามีสารสองชนิดคือ A และ B ซึ่งมารวมกันและก่อตัวเป็นสาร C เพื่อให้อนุพันธ์ของปริมาณของ C ที่เกี่ยวกับเวลาเป็นสัดส่วนกับผลคูณของปริมาณของ A และ B ในช่วงเวลาใดก็ตาม.

เราสามารถแสดงกฎของการกระทำโดยรวมดังนี้:

ในนิพจน์นี้αคือปริมาณเริ่มต้นของกรัมที่สอดคล้องกับ A และβปริมาณเริ่มต้นของกรัมที่สอดคล้องกับ B.

นอกจากนี้ r และ s ยังแทนจำนวนกรัมของ A และ B ตามลำดับที่รวมกันเพื่อสร้าง r + s กรัมของ C สำหรับส่วนของมัน x หมายถึงจำนวนกรัมของสาร C ที่เวลา t และ K คือ สัดส่วนคงที่ สมการข้างต้นสามารถเขียนใหม่เป็น:

ทำการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้:

เรามีสมการที่จะกลายเป็น:

จากการแสดงออกนี้เราสามารถได้รับ:

ในกรณีที่ใช่ a ≠ b เศษส่วนบางส่วนสามารถใช้สำหรับการรวมเข้าด้วยกัน.

ตัวอย่าง

ยกตัวอย่างเช่นสาร C ที่เกิดจากการรวมกันของสาร A กับ B ในลักษณะที่กฎของมวลถูกพบโดยที่ค่าของ a และ b เป็น 8 และ 6 ตามลำดับ ให้สมการที่ให้ค่ากรัมของ C เป็นฟังก์ชันของเวลา.

การแทนที่ค่าในกฎจำนวนมากเรามี:

เมื่อแยกตัวแปรเรามี:

ที่นี่ 1 / (8 - x) (6 - x) สามารถเขียนเป็นผลรวมของเศษส่วนบางส่วนดังนี้

ดังนั้น 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

ถ้าเราแทน x เป็น 6 เราจะได้ B = 1/2; และแทน x สำหรับ 8 เราได้ A = - 1/2.

การบูรณาการโดยเศษส่วนบางส่วนเรามี:

สิ่งนี้ทำให้เราได้รับผล:

สมการเชิงอนุพันธ์: สมการโลจิสติก

แอปพลิเคชันอื่นที่สามารถมอบให้กับเศษส่วนบางส่วนได้ในสมการเชิงอนุพันธ์โลจิสติก ในแบบจำลองอย่างง่ายเรามีว่าอัตราการเติบโตของประชากรเป็นสัดส่วนกับขนาดของมัน นั่นคือ:

กรณีนี้เป็นอุดมคติและถือเป็นจริงจนกระทั่งเกิดขึ้นว่าทรัพยากรที่มีอยู่ในระบบไม่เพียงพอที่จะรักษาประชากร.

ในสถานการณ์เหล่านี้มันสมเหตุสมผลมากกว่าที่จะคิดว่ามีความจุสูงสุดซึ่งเราจะเรียกว่า L ว่าระบบสามารถรักษาและอัตราการเติบโตนั้นเป็นสัดส่วนกับขนาดของประชากรคูณด้วยขนาดที่มี อาร์กิวเมนต์นี้นำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

การแสดงออกนี้เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์โลจิสติก มันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกกันไม่ออกซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการรวมโดยเศษส่วนบางส่วน.

ตัวอย่าง

ตัวอย่างจะพิจารณาประชากรที่เติบโตตามสมการเชิงอนุพันธ์โลจิสติกต่อไปนี้ y '= 0.0004y (1,000 - y) ซึ่งมีข้อมูลเริ่มต้นคือ 400 เราต้องการทราบขนาดของประชากร ณ เวลา t = 2 โดยที่ t ถูกวัด ในปี.

ถ้าเราเขียน a และ 'ด้วยเครื่องหมาย Leibniz เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ t เราต้อง:

อินทิกรัลของด้านซ้ายสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการรวมโดยเศษส่วนบางส่วน:

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายนี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

- การแทน y = 0 เรามี A เท่ากับ 1/1000.

- การแทนที่ y = 1,000 เรามี B เท่ากับ 1/1000.

ด้วยค่าเหล่านี้อินทิกรัลจะถูกทิ้งไว้ดังนี้:

ทางออกคือ:

ใช้ข้อมูลเริ่มต้น:

เมื่อล้างและเราได้ออก:

จากนั้นเรามีสิ่งนั้นที่ t = 2:

โดยสรุปหลังจาก 2 ปีขนาดประชากรประมาณ 597.37.

การอ้างอิง

1. A, R. A. (2012). คณิตศาสตร์ 1. มหาวิทยาลัยแอนดีส สภาสิ่งพิมพ์.
2. Cortez, I. , & Sanchez, C. (s.f. ). อินทิเกรต 801 ที่ผ่านการแก้ไขแล้ว. มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Tachira.
3. Leithold, L. (1992). การคำนวณด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. HARLA, S.A.
4. Purcell, E. J. , Varberg, D. , & Rigdon, S. E. (2007). การคำนวณ. เม็กซิโก: การศึกษาของเพียร์สัน.
5. Saenz, J. (s.f. ). แคลคูลัสที่ครอบคลุม. ด้านของสามเหลี่ยม.