การคำนวณการประมาณโดยใช้ดิฟเฟอเรนเชียล

การประมาณค่าในคณิตศาสตร์เป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าที่แน่นอนของบางสิ่ง แต่ใกล้เคียงกับค่าที่ถือว่าเป็นประโยชน์ตามค่าที่แน่นอน.

เมื่อการประมาณในคณิตศาสตร์นั้นเป็นเพราะตนเองมันเป็นเรื่องยาก (หรือบางครั้งเป็นไปไม่ได้) ที่จะรู้คุณค่าที่แม่นยำของสิ่งที่ต้องการ.

เครื่องมือหลักเมื่อทำงานกับการประมาณค่าคือความแตกต่างของฟังก์ชัน.

ความแตกต่างของฟังก์ชัน f แสดงโดย functionf (x) ไม่เกินอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f คูณด้วยการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระนั่นคือΔf (x) = f '(x) * Δx.

บางครั้งใช้ df และ dx แทนΔfและΔx.

แนวทางการใช้ความแตกต่าง

สูตรที่ใช้ในการประมาณค่าผ่านความแตกต่างเกิดขึ้นอย่างแม่นยำจากนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นขีด จำกัด.

สูตรนี้มอบให้โดย:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

ที่นี่เป็นที่เข้าใจกันว่าΔx = x-x0 ดังนั้น x = x0 + Δx การใช้สูตรนี้สามารถเขียนใหม่เป็น

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

ควรสังเกตว่า "x0" ไม่ใช่ค่าตามอำเภอใจ แต่เป็นค่าที่รู้ได้ง่ายว่า f (x0) นอกจากนี้ "f (x)" เป็นเพียงค่าที่เราต้องการประมาณ.

จะมีการประมาณที่ดีขึ้น?

คำตอบคือใช่ ก่อนหน้านี้เป็นค่าประมาณที่ง่ายที่สุดที่เรียกว่า "การประมาณเชิงเส้น".

เพื่อการประมาณคุณภาพที่ดีขึ้น (ข้อผิดพลาดน้อยกว่า) ซึ่งประกอบด้วยชื่อพหุนามที่มีอนุพันธ์มากกว่าที่เรียกว่า.

กลยุทธ์

กลยุทธ์ในการติดตามคือ:

- เลือกฟังก์ชันที่เหมาะสม f เพื่อทำการประมาณค่าและค่า "x" ซึ่ง f (x) เป็นค่าที่คุณต้องการประมาณ.

- เลือกค่า "x0" ใกล้กับ "x" เช่นที่ f (x0) นั้นง่ายต่อการคำนวณ.

- คำนวณΔx = x-x0.

- คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นและ f '(x0).

- แทนที่ข้อมูลในสูตร.

แก้ไขแบบฝึกหัดประมาณ

ในสิ่งที่ยังคงมีชุดของการออกกำลังกายที่ทำประมาณโดยใช้ความแตกต่าง.

การออกกำลังกายครั้งแรก

ประมาณ√3.

ทางออก

ตามกลยุทธ์ต้องเลือกฟังก์ชั่นที่เหมาะสม ในกรณีนี้จะเห็นได้ว่าฟังก์ชั่นที่เลือกจะต้องเป็น f (x) = √xและค่าโดยประมาณคือ f (3) = √3.

ตอนนี้เราต้องเลือกค่า "x0" ใกล้กับ "3" เพื่อให้ f (x0) คำนวณได้ง่าย หากคุณเลือก "x0 = 2" คุณมี "x0" อยู่ใกล้กับ "3" แต่ f (x0) = f (2) = √2ไม่ใช่เรื่องง่ายในการคำนวณ.

ค่าของ "x0" ที่สะดวกคือ "4" เนื่องจาก "4" อยู่ใกล้กับ "3" และ f (x0) = f (4) = √4 = 2.

ถ้า "x = 3" และ "x0 = 4" ดังนั้นΔx = 3-4 = -1 ตอนนี้เราทำการคำนวณอนุพันธ์ของ f นั่นคือ f '(x) = 1/2 * √xดังนั้น f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

การแทนที่ค่าทั้งหมดในสูตรที่คุณได้รับ:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

หากใช้เครื่องคิดเลขจะได้รับthat3≈1.73205 ... นี่แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ก่อนหน้านี้เป็นการประมาณค่าจริงที่ดี.

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

ประมาณ√10.

ทางออก

เมื่อก่อนมันถูกเลือกให้เป็นฟังก์ชั่น f (x) = √xและในกรณีนี้ x = 10.

ค่าของ x0 ที่ต้องเลือกในโอกาสนี้คือ "x0 = 9" จากนั้นเรามี =x = 10-9 = 1, f (9) = 3 และ f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

เมื่อทำการประเมินในสูตรคุณจะได้รับ

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขคุณจะได้√10≈ 3.1622776 ... ที่นี่คุณจะเห็นว่าได้การประมาณที่ดีก่อนหน้านี้.

การออกกำลังกายที่สาม

ประมาณ³√10โดยที่³√หมายถึงลูกบาศก์รูท.

ทางออก

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่นที่ควรใช้ในแบบฝึกหัดนี้คือ f (x) = valuex และค่าของ "x" จะต้องเป็น "10".

ค่าใกล้กับ "10" จนรูตคิวบ์รู้จักกันคือ "x0 = 8" จากนั้นเรามีΔx = 10-8 = 2 และ f (x0) = f (8) = 2 เรายังมี f '(x) = 1/3 * ³√x²และด้วยเหตุนี้ f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

การแทนที่ข้อมูลในสูตรจะได้รับว่า:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

เครื่องคิดเลขบอกว่า³√10≈ 2.15443469 ... ดังนั้นการประมาณพบว่าดี.

การออกกำลังกายที่สี่

ประมาณ ln (1.3) โดยที่ "ln" หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ.

ทางออก

ขั้นแรกให้เลือกฟังก์ชัน f (x) = ln (x) และค่าของ "x" คือ 1.3 ตอนนี้รู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับฟังก์ชั่นลอการิทึมเราสามารถรู้ว่า ln (1) = 0 และ "1" อยู่ใกล้กับ "1.3" ดังนั้นจึงเลือก "x0 = 1" และΔx = 1.3 - 1 = 0.3.

ในทางตรงกันข้าม f '(x) = 1 / x ดังนั้น f' (1) = 1 เมื่อทำการประเมินในสูตรที่กำหนดคุณต้อง:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขคุณต้อง ln (1.3) ≈ 0.262364 ... ดังนั้นการประมาณจึงทำได้ดี.

การอ้างอิง

1. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. อี (1989). คณิตศาสตร์ precalculus. Prentice Hall PTR.
2. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. อี (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus: วิธีการแก้ปัญหา (2, ฉบับที่มีภาพประกอบ) มิชิแกน: Prentice Hall.
3. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. (1991). พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.) เรียนรู้ Cengage.
5. Leal, J. M. , & Viloria, N. G. (2005). เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์แบบแบน. Mérida - เวเนซุเอลา: บทบรรณาธิการ Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. การศึกษาของเพียร์สัน.
7. Purcell, E. J. , Varberg, D. , & Rigdon, S. E. (2007). การคำนวณ (เก้าเอ็ด) ศิษย์โถง.
8. Saenz, J. (2005). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์กับฟังก์ชันยอดเยี่ยมเบื้องต้นสำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ (ฉบับที่สอง ed.) ด้านของสามเหลี่ยม.
9. Scott, C. A. (2009). เรขาคณิตของเครื่องบินคาร์ทีเซียนส่วนที่: รูปกรวยวิเคราะห์ (1907) (พิมพ์ซ้ำ) ที่มาฟ้าผ่า.
10. ซัลลิแวน, M. (1997). Precalculus. การศึกษาของเพียร์สัน.