เทคนิคการนับเทคนิคการใช้งานและตัวอย่าง

เทคนิคการนับ เป็นชุดของความน่าจะเป็นวิธีการนับจำนวนที่เป็นไปได้ของการจัดเรียงภายในชุดหรือหลายชุดของวัตถุ สิ่งเหล่านี้ถูกใช้เมื่อสร้างบัญชีด้วยตนเองมีความซับซ้อนเนื่องจากวัตถุและ / หรือตัวแปรจำนวนมาก.

ตัวอย่างเช่นการแก้ปัญหานี้ง่ายมาก: จินตนาการว่าเจ้านายของคุณขอให้คุณนับผลิตภัณฑ์ล่าสุดที่มาถึงในชั่วโมงสุดท้าย ในกรณีนี้คุณสามารถไปและนับผลิตภัณฑ์ทีละรายการ.

อย่างไรก็ตามลองจินตนาการว่าปัญหาคือสิ่งนี้หัวหน้าของคุณขอให้คุณนับจำนวนกลุ่มของผลิตภัณฑ์ประเภทเดียวกัน 5 กลุ่มที่สามารถเกิดขึ้นได้กับผู้ที่มาถึงในชั่วโมงสุดท้าย ในกรณีนี้การคำนวณจะซับซ้อน เทคนิคการนับที่เรียกว่าใช้สำหรับสถานการณ์ประเภทนี้.  

เทคนิคเหล่านี้มีหลายประการ แต่ที่สำคัญที่สุดแบ่งออกเป็นสองหลักการพื้นฐานซึ่งเป็นการคูณและการเติม; การเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน.

ดัชนี

• 1 หลักการคูณ
  • 1.1 แอปพลิเคชั่น
  • 1.2 ตัวอย่าง
• 2 หลักการเติมแต่ง 
  • 2.1 แอปพลิเคชั่น
  • 2.2 ตัวอย่าง
• 3 พีชคณิต
  • 3.1 การใช้งาน
  • 3.2 ตัวอย่าง
• 4 ชุดค่าผสม
  • 4.1 แอปพลิเคชั่น
  • 4.2 ตัวอย่าง
• 5 อ้างอิง 

หลักการคูณ

การใช้งาน

หลักการคูณพร้อมกับสารเติมแต่งเป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจการทำงานของเทคนิคการนับ ในกรณีของการคูณมันประกอบด้วยดังต่อไปนี้:

ลองนึกภาพกิจกรรมที่เกี่ยวข้องกับจำนวนขั้นตอนที่เฉพาะเจาะจง (ผลรวมถูกทำเครื่องหมายเป็น "r") ซึ่งขั้นตอนแรกสามารถทำในรูปแบบ N1, ขั้นตอนที่สองของ N2 และขั้นตอน "r" ของแบบฟอร์ม Nr ในกรณีนี้กิจกรรมสามารถทำได้จากจำนวนฟอร์มที่เป็นผลมาจากการดำเนินการนี้: N1 x N2 x ... .x Nr ฟอร์ม

นั่นคือเหตุผลที่หลักการนี้เรียกว่าการคูณและหมายความว่าแต่ละขั้นตอนที่จำเป็นในการดำเนินกิจกรรมจะต้องทำทีละอย่าง. 

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพคนที่ต้องการสร้างโรงเรียน ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณาว่าฐานของอาคารสามารถสร้างได้สองวิธีคือซีเมนต์หรือคอนกรีต สำหรับผนังพวกเขาสามารถทำ adobe ปูนซีเมนต์หรืออิฐ.

ส่วนหลังคานั้นสามารถสร้างได้จากปูนซีเมนต์หรือแผ่นสังกะสี ในที่สุดภาพวาดขั้นสุดท้ายสามารถทำได้ในวิธีเดียวเท่านั้น คำถามที่เกิดขึ้นมีดังต่อไปนี้โรงเรียนต้องสร้างได้กี่วิธี?

อันดับแรกเราพิจารณาจำนวนขั้นตอนซึ่งจะเป็นฐานผนังหลังคาและภาพวาด โดยรวม 4 ขั้นตอนดังนั้น r = 4.

ต่อไปนี้คือการแสดงรายการ N:

N1 = วิธีสร้างฐาน = 2

N2 = วิธีสร้างกำแพง = 3

N3 = วิธีในการทำหลังคา = 2

N4 = วิธีทำสี = 1

ดังนั้นจำนวนฟอร์มที่เป็นไปได้จะถูกคำนวณโดยสูตรที่อธิบายข้างต้น:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 วิธีในการสำเร็จการศึกษา.

หลักการเติมแต่ง

การใช้งาน

หลักการนี้ง่ายมากและในกรณีที่มีทางเลือกหลายอย่างเพื่อดำเนินกิจกรรมเดียวกันวิธีที่เป็นไปได้ประกอบด้วยผลรวมของวิธีที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันเพื่อสร้างทางเลือกทั้งหมด.

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าเราต้องการทำกิจกรรมที่มีสามทางเลือกซึ่งทางเลือกแรกสามารถทำได้ในรูปแบบ M กิจกรรมที่สองในรูปแบบ N และอีกรูปแบบสุดท้ายในรูปแบบ W กิจกรรมสามารถทำ: แบบฟอร์ม M + N + ... + W.

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพตอนนี้คนที่ต้องการซื้อไม้เทนนิส สำหรับสิ่งนี้มีสามแบรนด์ให้เลือก: Wilson, Babolat หรือ Head.

เมื่อเขาไปที่ร้านเขาเห็นว่าไม้แรลลี่สามารถซื้อได้ด้วยมือจับสองขนาดแตกต่างกัน L2 หรือ L3 ในสี่รุ่นที่แตกต่างกันและสามารถหงุดหงิดหรือไม่มีเชือก.

ในทางกลับกันแร็กเกตของ Babolat นั้นมีสามมือจับ (L1, L2 และ L3) มีสองรุ่นที่แตกต่างกันและมันก็อาจจะเครียดหรือไม่คับ.

ส่วนหัวของแร็กเก็ตนั้นมีเพียงด้ามเดียวคือ L2 ในสองรุ่นที่แตกต่างกันเท่านั้น คำถามคือคน ๆ นี้ต้องซื้อไม้เทนนิสของเขากี่วิธี??

M = จำนวนวิธีในการเลือกไม้แร็กเกตของวิลสัน

N = จำนวนวิธีในการเลือกแร็กเกต Babolat

W = จำนวนวิธีในการเลือก Head Racket

เราสร้างหลักการตัวคูณ:

M = 2 x 4 x 2 = 16 แบบฟอร์ม

N = 3 x 2 x 2 = 12 แบบฟอร์ม

W = 1 x 2 x 1 = 2 รูปแบบ

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 วิธีในการเลือกไม้.

หากต้องการทราบว่าเมื่อใดที่ต้องใช้หลักการคูณและสารเติมแต่งคุณเพียงแค่ต้องดูว่ากิจกรรมนั้นมีขั้นตอนต่าง ๆ ที่จะต้องดำเนินการหรือไม่และหากมีหลายทางเลือก.

พีชคณิต

การใช้งาน

เพื่อให้เข้าใจว่าการเรียงสับเปลี่ยนคืออะไรมันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องอธิบายว่าชุดค่าผสมคืออะไรเพื่อสร้างความแตกต่างและรู้ว่าจะใช้เมื่อใด.

การรวมกันจะเป็นการจัดเรียงขององค์ประกอบที่เราไม่สนใจในตำแหน่งที่พวกเขาแต่ละคนมีอยู่.

ในทางกลับกันการเรียงสับเปลี่ยนจะเป็นการจัดเรียงองค์ประกอบที่เราสนใจในตำแหน่งที่แต่ละองค์ประกอบมี.

ลองยกตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่าง.

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพชั้นเรียนกับนักเรียน 35 คนและด้วยสถานการณ์ต่อไปนี้:

1. ครูต้องการให้นักเรียนสามคนของเขาช่วยให้เขารักษาความสะอาดของชั้นเรียนหรือส่งมอบเอกสารให้กับนักเรียนคนอื่นเมื่อเขาต้องการ.
2. ครูต้องการแต่งตั้งผู้แทนชั้นเรียน (ประธานผู้ช่วยและนักการเงิน).

การแก้ปัญหาจะเป็นดังต่อไปนี้:

1. ลองจินตนาการว่าการลงคะแนน Juan, MaríaและLucíaนั้นได้รับเลือกให้ทำความสะอาดชั้นเรียนหรือส่งมอบวัสดุ เห็นได้ชัดว่ากลุ่มอื่น ๆ ของคนสามคนอาจได้รับการก่อตั้งขึ้นในหมู่นักเรียน 35 คนที่เป็นไปได้.

เราต้องถามตัวเองด้วย: สิ่งสำคัญคือลำดับหรือตำแหน่งที่นักเรียนแต่ละคนมีอยู่ในเวลาที่เลือกพวกเขา??

ถ้าเราคิดเกี่ยวกับมันเราจะเห็นว่ามันไม่สำคัญจริง ๆ เนื่องจากกลุ่มจะดูแลงานทั้งสองอย่างเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้เป็นการรวมกันเนื่องจากเราไม่สนใจตำแหน่งขององค์ประกอบ.

2. ตอนนี้ลองนึกภาพว่าจอห์นถูกเลือกให้เป็นประธานาธิบดีมาเรียในฐานะผู้ช่วยและลูเซียเป็นเงิน.

ในกรณีนี้คำสั่งจะสำคัญหรือไม่ คำตอบคือใช่เพราะถ้าเราเปลี่ยนองค์ประกอบผลลัพธ์จะเปลี่ยนไป นั่นคือถ้าแทนที่จะให้ฮวนดำรงตำแหน่งประธานาธิบดีเราทำให้เขาเป็นผู้ช่วยและมาเรียดำรงตำแหน่งประธานาธิบดีผลลัพธ์สุดท้ายก็จะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้เป็นการเปลี่ยนแปลง.

เมื่อเข้าใจถึงความแตกต่างเราจะได้สูตรการเปลี่ยนลำดับและการผสม อย่างไรก็ตามก่อนอื่นเราต้องกำหนดคำว่า "n!" (ในแฟคทอเรียล) เนื่องจากมันจะถูกใช้ในสูตรที่แตกต่างกัน.

n! = ไปยังผลิตภัณฑ์ตั้งแต่ 1 ถึง n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

ใช้กับตัวเลขจริง:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

สูตรของพีชคณิตจะเป็นดังนี้:

nPr = n! / (n-r)!

ด้วยมันเราสามารถหาข้อตกลงที่มีความสำคัญและที่ n องค์ประกอบแตกต่างกัน.

อยู่รวมกัน

การใช้งาน

ดังที่เราได้แสดงความคิดเห็นก่อนหน้านี้ชุดค่าผสมคือการจัดเรียงที่เราไม่สนใจเกี่ยวกับตำแหน่งขององค์ประกอบ.

สูตรมีดังต่อไปนี้:

nCr = n! / (n-r)! r!

ตัวอย่าง

หากมีนักเรียน 14 คนที่ต้องการเป็นอาสาสมัครในการทำความสะอาดห้องเรียนแต่ละกลุ่มจะมีผู้ทำความสะอาดได้กี่คนโดย 5 คน?

ดังนั้นการแก้ปัญหาจะเป็นดังต่อไปนี้:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 กลุ่ม

การอ้างอิง

1. Jeffrey, R.C., ความน่าจะเป็นและศิลปะแห่งการพิพากษา, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ (1992).
2. William Feller, "ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นและการนำไปใช้", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "รากฐานเชิงตรรกะและการวัดความน่าจะเป็นแบบอัตนัย". พระราชบัญญัติจิตวิทยา.
4. Hogg, Robert V.; เครกแอลเลน; McKean, Joseph W. (2004). สถิติคณิตศาสตร์เบื้องต้น (6th ed.) แม่น้ำอานตอนบน: เพียร์สัน.
5. แฟรงคลิน, J. (2001) วิทยาศาสตร์การคาดคะเน: หลักฐานและความน่าจะเป็นก่อนปาสกาล,สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย Johns Hopkins.