อินทิกรัลชนิดใดที่มี

ประเภทของอินทิกรัล ที่เราพบในการคำนวณคือ: อินทิกรัลไม่ จำกัด และอินทิกรัลที่กำหนด แม้ว่าอินทิกรัล จำกัด จะมีแอปพลิเคชั่นอีกมากมายกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด แต่จำเป็นต้องเรียนรู้วิธีแก้อินทิกรัลแบบไม่ จำกัด ก่อน.

หนึ่งในแอพพลิเคชั่นที่น่าสนใจที่สุดของอินทิกรัล จำกัด คือการคำนวณปริมาณการปฏิวัติ.

อินทิกรัลทั้งสองชนิดมีคุณสมบัติเป็นเชิงเส้นเดียวกันและเทคนิคการรวมไม่ขึ้นอยู่กับชนิดของอินทิกรัล.

แต่แม้ว่าจะมีความคล้ายคลึงกันมาก ในประเภทแรกของอินทิกรัลผลลัพธ์คือฟังก์ชัน (ซึ่งไม่เจาะจง) ในขณะที่ชนิดที่สองผลลัพธ์จะเป็นตัวเลข.

อินทิกรัลพื้นฐานสองประเภท

โลกของอินทิกรัลนั้นกว้างมาก แต่ภายในนี้เราสามารถแยกอินทิกรัลได้สองแบบพื้นฐานซึ่งมีการใช้งานที่ยอดเยี่ยมในชีวิตประจำวัน.

1- ปริพันธ์ไม่ จำกัด

ถ้า F '(x) = f (x) สำหรับ x ทั้งหมดในโดเมนของ f เราบอกว่า F (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟแบบดั้งเดิมหรืออินทิกรัลของ f (x).

ในอีกทางหนึ่งสังเกตว่า (F (x) + C) '= F' (x) = f (x) ซึ่งหมายความว่าส่วนประกอบของฟังก์ชันไม่ซ้ำกันเนื่องจากให้ค่าที่แตกต่างกับค่าคงที่ C เราจะได้รับที่แตกต่างกัน คุณปฏิยานุพันธ์.

ด้วยเหตุนี้ F (x) + C จึงถูกเรียกว่า Indefinite Integral ของ f (x) และ C เรียกว่าการรวมค่าคงที่และเราเขียนในวิธีต่อไปนี้

ดังที่เราเห็นอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน f (x) คือตระกูลของฟังก์ชัน.

ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน f (x) = 3x²คุณต้องหาแอนติเดริเวทีฟของ f (x) ก่อน.

มันง่ายที่จะสังเกตเห็นว่า F (x) = x³เป็นแอนติเดริเวทีฟเนื่องจาก F '(x) = 3x² ดังนั้นจึงสามารถสรุปได้ว่า

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- อินทิกรัลที่กำหนด

ปล่อยให้ y = f (x) เป็นฟังก์ชันจริงต่อเนื่องในช่วงปิด [a, b] และปล่อยให้ f (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ f (x) มันถูกเรียกว่าอินทิกรัล จำกัด เขตของ f (x) ระหว่างขีด จำกัด a และ b กับจำนวน F (b) -F (a) และแสดงดังนี้

สูตรที่แสดงข้างต้นเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อ "ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส" ที่นี่ "a" เรียกว่าขีด จำกัด ล่างและ "b" เรียกว่าขีด จำกัด บน อย่างที่คุณเห็นฟังก์ชันอินทิกรัล จำกัด ของฟังก์ชันคือตัวเลข.

ในกรณีนี้หากคำนวณอินทิกรัล จำกัด เขตของ f (x) = 3x2 ในช่วงเวลา [0.3] จะได้รับจำนวน.

ในการพิจารณาจำนวนนี้เราเลือก F (x) = x³เป็น antiderivative ของ f (x) = 3x² จากนั้นเราคำนวณ F (3) -F (0) ซึ่งให้ผลลัพธ์ 27-0 = 27 โดยสรุปแล้วอินทิกรัล จำกัด เขตของ f (x) ในช่วงเวลา [0.3] คือ 27.

มันสามารถเน้นได้ว่าหากเลือก G (x) = x³ + 3 ดังนั้น G (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ f (x) นอกเหนือจาก F (x) แต่สิ่งนี้ไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ตั้งแต่ G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27 ด้วยเหตุนี้ในอินทิกรัลที่กำหนดค่าคงที่การรวมจะไม่ปรากฏขึ้น.

หนึ่งในแอปพลิเคชั่นที่มีประโยชน์ที่สุดที่อินทิกรัลชนิดนี้มีคือช่วยให้สามารถคำนวณพื้นที่ (ปริมาตร) ของรูปทรงแบน (การปฏิวัติที่มั่นคง) สร้างฟังก์ชันที่เหมาะสมและขีด จำกัด การรวม (และแกนหมุน).

ภายในอินทิกรัลที่กำหนดเราสามารถหาส่วนขยายที่หลากหลายของสิ่งนี้เช่นอินทิกรัลไลน์อินทิกรัลผิวอินทิกรัลไม่ถูกต้องหลายอินทิกรัลและอื่น ๆ ทั้งหมดด้วยการใช้งานที่มีประโยชน์มากในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม.

การอ้างอิง

1. Casteleiro, J. M. (2012). มันง่ายที่จะบูรณาการ? คู่มือการเรียนรู้ด้วยตนเอง. มาดริด: ESIC.
2. Casteleiro, J. M. , & Gómez-Álvarez, R. P. (2002). การคำนวณที่ครอบคลุม (ภาพประกอบ ed.) มาดริด: บรรณาธิการ ESIC.
3. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. อี (1989). คณิตศาสตร์ precalculus. Prentice Hall PTR.
4. เฟลมมิ่งว. วชิร & Varberg, D. อี (1989). คณิตศาสตร์ Precalculus: วิธีการแก้ปัญหา (2, ฉบับที่มีภาพประกอบ) มิชิแกน: Prentice Hall.
5. Kishan, H. (2005). แคลคูลัสหนึ่ง. สำนักพิมพ์และผู้จัดจำหน่ายแอตแลนติก.
6. Purcell, E. J. , Varberg, D. , & Rigdon, S. E. (2007). การคำนวณ (เก้าเอ็ด) ศิษย์โถง.