เทคนิคการนับและตัวอย่างการคูณหลักการ



หลักการคูณ เป็นเทคนิคที่ใช้ในการแก้ปัญหาการนับเพื่อค้นหาวิธีการแก้ปัญหาโดยไม่จำเป็นต้องแสดงรายการองค์ประกอบ มันเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นหลักการพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงผสม ขึ้นอยู่กับการคูณต่อเนื่องเพื่อกำหนดว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นได้อย่างไร.

หลักการนี้กำหนดว่าหากมีการตัดสินใจ (d1) สามารถดำเนินการในรูปแบบ n วิธีและการตัดสินใจอื่น (d2) สามารถดำเนินการในรูปแบบ m จำนวนรวมของวิธีการตัดสินใจที่สามารถทำได้1 และ d2 จะเท่ากับทวีคูณของ n * * * * ม. ตามหลักการแล้วการตัดสินใจแต่ละครั้งเกิดขึ้นหลังจากที่อื่น: จำนวนวิธี = N1 * ยังไม่มีข้อความ2... * * * * ยังไม่มีข้อความx วิธี.

ดัชนี

  • 1 ตัวอย่าง
    • 1.1 ตัวอย่างที่ 1
    • 1.2 ตัวอย่างที่ 2
  • 2 เทคนิคการนับ
    • 2.1 หลักการเพิ่ม
    • 2.2 หลักการเปลี่ยนแปลง
    • 2.3 หลักการผสมผสาน
  • 3 แบบฝึกหัดได้รับการแก้ไข
    • 3.1 การออกกำลังกาย 1
    • 3.2 การออกกำลังกาย 2
  • 4 อ้างอิง

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

พอลล่าวางแผนที่จะไปดูหนังกับเพื่อน ๆ ของเธอและเลือกเสื้อผ้าที่เธอจะสวมใส่ฉันแยกกระโปรง 3 ตัวและกระโปรง 2 ตัว Paula สามารถแต่งตัวได้กี่วิธี??

ทางออก

ในกรณีนี้พอลล่าต้องทำการตัดสินใจสองอย่าง:

d1 = เลือกระหว่าง 3 เสื้อ = n

d2 = เลือกระหว่าง 2 กระโปรง = m

ด้วยวิธีนี้พอลล่ามี n * * * * การตัดสินใจที่จะทำหรือวิธีการแต่งตัวที่แตกต่างกัน.

n * * * * m = 3* * * * 2 = 6 การตัดสินใจ.

หลักการคูณมาจากเทคนิคของแผนภาพต้นไม้ซึ่งเป็นแผนภาพที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อให้แต่ละคนสามารถเกิดขึ้นได้จำนวนครั้งที่แน่นอน.

ตัวอย่างที่ 2

มาริโอกระหายน้ำมากเขาจึงไปที่ร้านเบเกอรี่เพื่อซื้อน้ำผลไม้ หลุยส์ตอบเขาและบอกเขาว่าเขามีสองขนาด: ใหญ่และเล็ก; และสี่รสชาติ: แอปเปิ้ล, ส้ม, มะนาวและองุ่น มาริโอสามารถเลือกน้ำผลไม้ได้กี่วิธี?

ทางออก

ในแผนภาพสามารถสังเกตได้ว่ามาริโอมี 8 วิธีที่แตกต่างกันในการเลือกน้ำผลไม้และในหลักการคูณผลที่ได้จากการคูณของ n* * * *ม. ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือผ่านแผนภาพนี้คุณสามารถรู้ได้ว่ามาริโอเลือกน้ำผลไม้อย่างไร.

ในทางกลับกันเมื่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีขนาดใหญ่มากมันก็เป็นประโยชน์มากกว่าที่จะใช้หลักการคูณ.

เทคนิคการนับ

เทคนิคการนับเป็นวิธีที่ใช้ในการนับโดยตรงและทำให้ทราบถึงจำนวนของการเตรียมการที่เป็นไปได้ที่องค์ประกอบของชุดที่กำหนดสามารถมีได้ เทคนิคเหล่านี้มีหลักการหลายประการ:

หลักการของการเติม

หลักการนี้ระบุว่าหากเหตุการณ์สองเหตุการณ์ m และ n ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในเวลาเดียวกันจำนวนวิธีที่เหตุการณ์แรกหรือเหตุการณ์ที่สองสามารถเกิดขึ้นได้คือผลรวมของ m + n:

จำนวนฟอร์ม = m + n ... + x ฟอร์มที่แตกต่าง.

ตัวอย่าง

อันโตนิโอต้องการที่จะเดินทางไป แต่ไม่ได้ตัดสินใจที่จะปลายทาง ที่ South Tourism Agency พวกเขาเสนอโปรโมชั่นให้คุณเดินทางไปนิวยอร์กหรือลาสเวกัสในขณะที่ East Tourism Agency ขอแนะนำให้คุณเดินทางไปที่ฝรั่งเศสอิตาลีหรือสเปน อันโตนิโอเสนอทางเลือกการเดินทางที่แตกต่างกันกี่แบบ?

ทางออก

กับสำนักงานการท่องเที่ยวใต้อันโตนิโอมี 2 ทางเลือก (นิวยอร์กหรือลาสเวกัส) ในขณะที่หน่วยงานการท่องเที่ยวตะวันออกมี 3 ตัวเลือก (ฝรั่งเศสอิตาลีหรือสเปน) จำนวนทางเลือกที่แตกต่างกันคือ:

จำนวนทางเลือก = m + n = 2 + 3 = 5 ทางเลือก.

หลักการเรียงสับเปลี่ยน

มันเป็นเรื่องเกี่ยวกับการสั่งซื้อองค์ประกอบทั้งหมดหรือบางส่วนที่ทำขึ้นโดยเฉพาะเพื่ออำนวยความสะดวกในการนับการจัดการที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถทำได้กับองค์ประกอบ.

จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบที่แตกต่างกัน n ซึ่งได้รับทั้งหมดในครั้งเดียวจะแสดงเป็น:

nPn = n!

ตัวอย่าง

เพื่อนทั้งสี่คนต้องการถ่ายรูปและต้องการทราบว่าสามารถสั่งซื้อได้หลายรูปแบบ.

ทางออก

คุณต้องการทราบชุดของวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถวางคน 4 คนเพื่อถ่ายภาพ ดังนั้นคุณต้อง:

4P4 = 4! = 4* * * *3* * * *2* * * *1 = 24 วิธีที่ต่างกัน.

หากจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบที่มีอยู่ n ถูกยึดครองโดยส่วนต่าง ๆ ของชุดที่เกิดขึ้นจากองค์ประกอบ r จะแสดงเป็น

nPr = n! ÷ (n - r)!

ตัวอย่าง

ในห้องห้องเรียนมี 10 ตำแหน่ง หากนักเรียน 4 คนเข้าร่วมชั้นเรียนนักเรียนสามารถดำรงตำแหน่งได้หลายวิธี?

ทางออก

จำนวนชุดเก้าอี้ทั้งหมดคือ 10 และจะใช้เพียง 4 ตัวเท่านั้นสูตรที่กำหนดจะถูกใช้เพื่อกำหนดจำนวนการเปลี่ยนลำดับ:

nPR = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* * * * 9* * * *8* * * *7* * * *6* * * *5* * * *4* * * *3* * * *2* * * *1 ÷ 6* * * *5* * * *4* * * *3* * * *2* * * *1 = 5040 วิธีเติมโพสต์.

มีหลายกรณีที่องค์ประกอบที่มีอยู่ของชุดซ้ำบางส่วน (เหมือนกัน) ในการคำนวณจำนวนการเตรียมการที่ใช้องค์ประกอบทั้งหมดพร้อมกันจะใช้สูตรต่อไปนี้:

nPR = n! ÷ n1!* * * * n2!... nR!

ตัวอย่าง

คำต่าง ๆ ของตัวอักษรสี่ตัวสามารถสร้างได้จากคำว่า "wolf"?

ทางออก

ในกรณีนี้เรามี 4 องค์ประกอบ (ตัวอักษร) ซึ่งสององค์ประกอบนั้นเหมือนกันทุกประการ เมื่อใช้สูตรที่กำหนดเรารู้ว่ามีคำต่างกันกี่คำ:

nPR = n! ÷ n1!* * * * n2!... nR!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!* * * *1!* * * *1!

4P2, 1, 1 = (4* * * *3* * * *2* * * *1) ÷ (2* * * *1)* * * *1* * * *1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 คำที่แตกต่าง.

หลักการผสมผสาน

มันเกี่ยวกับการแก้ไของค์ประกอบทั้งหมดหรือบางส่วนที่เป็นชุดโดยไม่มีคำสั่งซื้อที่เฉพาะเจาะจง ตัวอย่างเช่นถ้าคุณมีอาร์เรย์ XYZ มันจะเหมือนกับอาร์เรย์ ZXY, YZX, ZYX และอื่น ๆ นี่เป็นเพราะแม้ว่าจะไม่ได้อยู่ในลำดับเดียวกันองค์ประกอบของการจัดเรียงแต่ละครั้งจะเหมือนกัน.

เมื่อมีการใช้องค์ประกอบ (r) ของชุด (n) หลักการของการรวมกันจะได้รับจากสูตรต่อไปนี้:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

ตัวอย่าง

ในร้านจำหน่ายช็อคโกแลต 5 ชนิดที่แตกต่างกัน คุณสามารถเลือกช็อคโกแลต 4 วิธีได้หลายวิธี?

ทางออก

ในกรณีนี้คุณต้องเลือกช็อคโกแลต 4 ชนิดจาก 5 ชนิดที่ขายในร้าน คำสั่งที่พวกเขาเลือกไม่สำคัญและนอกจากนี้ชนิดของช็อคโกแลตสามารถเลือกได้มากกว่าสองครั้ง การใช้สูตรคุณต้อง:

nCR = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5* * * *4* * * *3* * * *2* * * *1 ÷ 4* * * *3* * * *2* * * *1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 วิธีในการเลือกช็อคโกแลต 4 แบบ.

เมื่อทุกองค์ประกอบ (r) ของเซต (n) ถูกนำหลักการของการรวมกันจะได้รับจากสูตรดังต่อไปนี้:

nCn = n!

การออกกำลังกายที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

คุณมีทีมเบสบอลที่มีสมาชิก 14 คน คุณสามารถกำหนด 5 ตำแหน่งสำหรับเกมได้กี่วิธี?

ทางออก

ชุดประกอบด้วย 14 องค์ประกอบและคุณต้องการกำหนดตำแหน่งเฉพาะ 5 ตำแหน่ง นั่นคือลำดับที่มีความสำคัญ สูตรการเปลี่ยนรูปจะถูกนำไปใช้โดยที่องค์ประกอบที่มีอยู่จะถูกดำเนินการโดยชิ้นส่วนของชุดที่เกิดขึ้นโดย r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

โดยที่ n = 14 และ r = 5 มันถูกแทนที่ในสูตร:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 วิธีในการกำหนดตำแหน่งเกม 9 ตำแหน่ง.

แบบฝึกหัดที่ 2

หากสมาชิกในครอบครัว 9 คนเดินทางไปและซื้อตั๋วด้วยที่นั่งติดต่อกันจะสามารถนั่งได้หลายวิธี?

ทางออก

มันเป็นองค์ประกอบประมาณ 9 ตัวที่จะครอบครอง 9 ที่นั่งติดต่อกัน.

P9 = 9!

P9 = 9* * * *8* * * *7* * * *6* * * *5* * * *4* * * *3* * * *2* * * *1 = 362 880 วิธีการนั่งที่แตกต่างกัน.

การอ้างอิง

  1. Hopkins, B. (2009) แหล่งข้อมูลสำหรับการสอนคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง: โครงงานในชั้นเรียน, วิชาประวัติศาสตร์และบทความ.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005) คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง การศึกษาของเพียร์สัน,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012) คณิตศาสตร์แก้ปัญหา จำกัด และไม่ต่อเนื่อง บรรณาธิการสมาคมวิจัยและการศึกษา.
  4. Padró, F. C. (2001) คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง Politec ของ Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005) คณิตศาสตร์สำหรับวิทยาศาสตร์ประยุกต์ Reverte.