วิธีการแยกตัวประกอบและตัวอย่าง

ตัวประกอบ เป็นวิธีการที่พหุนามแสดงในรูปของการคูณของปัจจัยซึ่งอาจเป็นตัวเลขตัวอักษรหรือทั้งสองอย่าง เมื่อต้องการแยกปัจจัยที่เป็นเรื่องปกติของข้อกำหนดออกเป็นกลุ่มและด้วยวิธีนี้พหุนามจะถูกจำแนกเป็นหลายชื่อ.

ดังนั้นเมื่อปัจจัยคูณกันผลลัพธ์ก็คือพหุนามดั้งเดิม แฟคตอริ่งเป็นวิธีที่มีประโยชน์มากเมื่อคุณมีการแสดงออกทางพีชคณิตเนื่องจากมันสามารถแปลงเป็นการคูณของคำศัพท์ง่าย ๆ ตัวอย่างเช่น: 2a² + 2ab = 2a _{* * * *} (a + b).

มีหลายกรณีที่พหุนามไม่สามารถแยกตัวประกอบเนื่องจากไม่มีปัจจัยร่วมระหว่างเงื่อนไข ดังนั้นการแสดงออกเกี่ยวกับพีชคณิตเหล่านี้จะถูกหารระหว่างพวกเขาและโดย 1 เท่านั้นตัวอย่างเช่น: x + y + z.

ในการแสดงออกเกี่ยวกับพีชคณิตปัจจัยร่วมคือตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของคำที่เขียนขึ้น.

ดัชนี

• 1 วิธีการแฟ
  • 1.1 แฟคตอริ่งโดยปัจจัยทั่วไป
  • 1.2 ตัวอย่างที่ 1
  • 1.3 ตัวอย่างที่ 2
  • 1.4 แฟคตอริ่งโดยการจัดกลุ่ม
  • 1.5 ตัวอย่าง 1
  • 1.6 แฟคตอริ่งโดยการตรวจสอบ
  • 1.7 ตัวอย่างที่ 1
  • 1.8 ตัวอย่างที่ 2
  • 1.9 แฟคตอริ่งด้วยผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น
  • 1.10 ตัวอย่างที่ 1
  • 1.11 ตัวอย่างที่ 2
  • 1.12 ตัวอย่าง 3
  • 1.13 การแยกตามกฎของ Ruffini
  • 1.14 ตัวอย่างที่ 1
• 2 อ้างอิง

วิธีการแฟ

มีวิธีการแฟหลายวิธีซึ่งจะใช้ขึ้นอยู่กับกรณีและปัญหา บางส่วนของสิ่งเหล่านี้มีดังต่อไปนี้:

แฟคตอริ่งโดยปัจจัยทั่วไป

ในวิธีการนี้จะระบุปัจจัยที่พบได้ทั่วไป นั่นคือผู้ที่ถูกทำซ้ำในแง่ของการแสดงออก จากนั้นจะใช้คุณสมบัติการกระจายตัวหารร่วมสูงสุดจะถูกลบออกและการแยกตัวประกอบเสร็จสมบูรณ์.

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการระบุปัจจัยทั่วไปของการแสดงออกและแต่ละคำจะถูกแบ่งระหว่างมัน เงื่อนไขผลลัพธ์จะถูกคูณด้วยปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในการแสดงการแยกตัวประกอบ.

ตัวอย่างที่ 1

ปัจจัย (b²x) + (b²y).

ทางออก

สิ่งแรกคือปัจจัยทั่วไปของแต่ละเทอมซึ่งในกรณีนี้คือ b², และเงื่อนไขจะถูกแบ่งออกเป็นปัจจัยทั่วไปดังนี้:

(ข²x) / b² = x

(ข²y) / b² = y.

การแยกตัวประกอบถูกนำมาคูณด้วยปัจจัยร่วมโดยเงื่อนไขผลลัพธ์:

(ข²x) + (b²y) = b² (x + y).

ตัวอย่างที่ 2

แยกตัวประกอบ (2a)²ข³) + (3ab²).

ทางออก

ในกรณีนี้เรามีสองปัจจัยที่ซ้ำกันในแต่ละคำศัพท์ที่เป็น "a" และ "b" และที่ยกระดับเป็นพลังงาน หากต้องการคำนึงถึงพวกเขาอันดับแรกคำสองคำจะแบ่งออกเป็นรูปแบบยาว:

2_{* * * *}ไปยัง_{* * * *}ไปยัง_{* * * *}ข_{* * * *}ข_{* * * *}b + 3a_{* * * *}ข_{* * * *}ข

มันสามารถสังเกตได้ว่าปัจจัย "a" ซ้ำเพียงครั้งเดียวในระยะที่สองและปัจจัย "b" ซ้ำสองครั้งในนั้น ดังนั้นในเทอมแรกจึงมีเพียง 2 ปัจจัย "a" และ "b" ในขณะที่ในระยะที่สองมีเพียง 3.

ดังนั้นเราจึงเขียนเวลาที่ "a" และ "b" ซ้ำแล้วซ้ำอีกและคูณด้วยปัจจัยที่เหลือจากแต่ละคำดังที่เห็นในภาพ:

การแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เนื่องจากไม่ใช่ในทุกกรณีตัวหารสามัญสูงสุดของพหุนามแสดงอย่างชัดเจนจึงจำเป็นต้องทำขั้นตอนอื่น ๆ เพื่อให้สามารถเขียนพหุนามได้.

หนึ่งในขั้นตอนเหล่านี้คือการจัดกลุ่มเงื่อนไขของพหุนามออกเป็นหลายกลุ่มจากนั้นใช้วิธีการปัจจัยทั่วไป.

ตัวอย่างที่ 1

ตัวคูณ ac + bc + ad + bd.

ทางออก

มี 4 ปัจจัยที่มีสองสิ่งร่วมกัน: ในเทอมแรกคือ "c" และในวินาทีที่มันคือ "d" ด้วยวิธีนี้ทั้งสองคำจะถูกจัดกลุ่มและแยก:

(ac + bc) + (ad + bd).

ตอนนี้มันเป็นไปได้ที่จะใช้วิธีการทั่วไปปัจจัยการหารแต่ละคำด้วยปัจจัยร่วมของมันและจากนั้นการคูณปัจจัยทั่วไปด้วยเงื่อนไขผลลัพธ์เช่นนี้

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

ตอนนี้คุณได้รับทวินามที่เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับทั้งสองคำ เมื่อต้องการแยกมันจะคูณด้วยปัจจัยที่เหลือ ในแบบที่คุณต้อง:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _{* * * *} (a + b).

แยกตัวประกอบโดยการตรวจสอบ

วิธีนี้ใช้เพื่อแยกส่วนพหุนามกำลังสองหรือที่เรียกว่า trinomials นั่นคือโครงสร้างที่เป็นขวาน² ± bx + c โดยที่ค่าของ "a" จะแตกต่างจาก 1 วิธีนี้ยังใช้เมื่อ trinomial มีรูปแบบ x² ± bx + c และค่าของ "a" = 1.

ตัวอย่างที่ 1

ตัวคูณ x² + 5x + 6.

ทางออก

คุณมี trinomial กำลังสองของฟอร์ม x² ± bx + c ในการแยกตัวประกอบก่อนอื่นคุณต้องค้นหาตัวเลขสองตัวที่เมื่อคูณให้ผลลัพธ์เป็นค่าของ "c" (นั่นคือ 6) และผลรวมของมันเท่ากับสัมประสิทธิ์ "b" ซึ่งก็คือ 5 ตัวเลขเหล่านั้นคือ 2 และ 3 :

2 _{* * * *} 3 = 6

2 + 3 = 5.

ด้วยวิธีนี้การแสดงออกง่ายเช่นนี้:

(x² + 2x) + (3x + 6)

แต่ละคำมีการแยกตัวประกอบ:

- สำหรับ (x² + 2x) แยกคำทั่วไป: x (x + 2)

- สำหรับ (3x + 6) = 3 (x + 2)

ดังนั้นการแสดงออกยังคงอยู่:

x (x +2) + 3 (x +2).

ในขณะที่คุณมีทวินามร่วมกันเพื่อลดการแสดงออกคูณด้วยเงื่อนไขส่วนเกินและคุณต้อง:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _{* * * *} (x + 3).

ตัวอย่างที่ 2

ปัจจัย 4a² + 12a + 9 = 0.

ทางออก

คุณมี trinomial กำลังสองของขวานรูป² ± bx + c และแยกแยะว่านิพจน์ทั้งหมดถูกคูณด้วยสัมประสิทธิ์ของ x²; ในกรณีนี้ 4.

4² + 12a +9 = 0

4² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 ก² + 12a (4) + 36 = 0

4² ไปยัง² + 12a (4) + 36 = 0

ตอนนี้เราต้องหาตัวเลขสองตัวที่เมื่อคูณเข้าด้วยกันให้ผลลัพธ์เป็นค่าของ "c" (ซึ่งคือ 36) และเมื่อรวมเข้าด้วยกันจะส่งผลให้สัมประสิทธิ์ของคำว่า "a" ซึ่งเป็น 6.

6 _{* * * *} 6 = 36

6 + 6 = 12.

ด้วยวิธีนี้นิพจน์จะถูกเขียนใหม่โดยคำนึงถึงว่า² ไปยัง² = 4a _{* * * *} 4A ดังนั้นคุณสมบัติการกระจายจะใช้สำหรับแต่ละคำ:

(4a + 6) _{* * * *} (4a + 6).

ในที่สุดการแสดงออกจะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ²; นั่นคือ 4:

(4a + 6) _{* * * *} (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _{* * * *} ((4a + 6) / 2).

การแสดงออกมีดังนี้

4² + 12a +9 = (2a +3) _{* * * *} (2a + 3).

แฟกับผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น

มีหลายกรณีที่การแยกตัวประกอบพหุนามด้วยวิธีการก่อนหน้านี้อย่างสมบูรณ์จะกลายเป็นกระบวนการที่ยาวมาก.

นั่นคือเหตุผลที่นิพจน์สามารถพัฒนาได้ด้วยสูตรของผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นและทำให้กระบวนการง่ายขึ้น ในบรรดาผลิตภัณฑ์ที่มีคนใช้มากที่สุด ได้แก่ :

- ความแตกต่างของสองกำลังสอง: (² - ข²) = (a - b) _{* * * *} (a + b)

- สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบของผลรวม:² + 2ab + b² = (a + b)²

- สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบของความแตกต่าง:² - 2ab + b² = (a - b)²

- ความแตกต่างของสองก้อน:³ - ข³ = (a-b)_{* * * *}(ก² + ab + b²)

- ผลรวมของสองลูกบาศก์:³ - ข³ = (a + b) _{* * * *} (ก² - ab + b²)

ตัวอย่างที่ 1

ปัจจัย (5)² - x²)

ทางออก

ในกรณีนี้มีความแตกต่างของสองกำลังสอง; ดังนั้นสูตรของผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นถูกนำไปใช้:

(ก² - ข²) = (a - b) _{* * * *} (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _{* * * *} (5 + x)

ตัวอย่างที่ 2

ตัวประกอบ 16x² + 40x + 25²

ทางออก

ในกรณีนี้เรามีกำลังสองที่สมบูรณ์ของผลบวกเพราะเราสามารถระบุสองเทอมกำลังสองและเทอมที่เหลือคือผลลัพธ์ของการคูณสองด้วยสแควร์รูทของเทอมแรก, โดยสแควร์รูทของเทอมที่สอง.

ไปยัง² + 2ab + b² = (a + b)²

หากต้องการคำนวณให้คำนวณเฉพาะรากที่สองของคำที่หนึ่งและที่สาม:

√ (16x²) = 4x

√ (25)²) = 5.

จากนั้นทั้งสองคำผลลัพธ์จะถูกคั่นด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการและพหุนามทั้งหมดจะถูกยกกำลังสอง:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

ตัวอย่างที่ 3

ปัจจัย 27a³ - ข³

ทางออก

นิพจน์แสดงถึงการลบซึ่งปัจจัยสองตัวถูกยกให้กับคิวบ์ เพื่อที่จะแยกแยะพวกเขาจึงใช้สูตรของผลิตภัณฑ์เด่นของความแตกต่างของคิวบ์ซึ่งก็คือ

ไปยัง³ - ข³ = (a-b)_{* * * *}(ก² + ab + b²)

ดังนั้นในการแยกตัวประกอบลูกบาศก์รูทของแต่ละเทอมของทวินามจึงถูกแยกและคูณด้วยกำลังสองของเทอมแรกบวกกับผลคูณของเทอมแรกด้วยเทอมที่สองบวกเทอมที่สองด้วยสแควร์.

วันที่ 27³ - ข³

³√ (27a)³) = 3a

³√ (-b³) = -b

วันที่ 27³ - ข³ = (3a - b) _{* * * *} [(3A)² + 3ab + b²)]

วันที่ 27³ - ข³ = (3a - b) _{* * * *} (9a² + 3ab + b²)

แยกตัวประกอบตามกฎของ Ruffini

วิธีนี้ใช้เมื่อคุณมีพหุนามดีกรีมากกว่าสองเพื่อทำให้การแสดงออกง่ายขึ้นกับพหุนามหลายหลายระดับที่น้อยกว่า.

ตัวอย่างที่ 1

ปัจจัย Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

ทางออก

อันดับแรกให้ดูตัวเลขที่เป็นตัวหารของ 12 ซึ่งเป็นคำที่เป็นอิสระ สิ่งเหล่านี้คือ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 และ± 12.

จากนั้นค่า x จะถูกแทนที่ด้วยค่าเหล่านี้จากต่ำสุดไปหาสูงสุดดังนั้นจึงถูกกำหนดด้วยค่าใดที่การแบ่งจะถูกต้อง นั่นคือส่วนที่เหลือจะต้องเป็น 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

และสำหรับตัวหารแต่ละตัว ในกรณีนี้ปัจจัยที่พบคือสำหรับ x = -1 และ x = 2.

ตอนนี้มีการนำวิธีการของ Ruffini ไปใช้ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ของการแสดงออกจะถูกแบ่งออกระหว่างปัจจัยที่พบสำหรับการแบ่งที่แน่นอน คำพหุนามมีการเรียงลำดับจากเลขยกกำลังสูงถึงต่ำสุด ในกรณีที่คำที่มีระดับที่ตามมาในลำดับนั้นหายไป 0 จะถูกวางไว้ในตำแหน่งของมัน.

ค่าสัมประสิทธิ์จะอยู่ในรูปแบบตามที่เห็นในภาพต่อไปนี้.

สัมประสิทธิ์แรกจะลดลงและคูณด้วยตัวหาร ในกรณีนี้ตัวหารแรกคือ -1 และผลลัพธ์จะอยู่ในคอลัมน์ถัดไป จากนั้นค่าของสัมประสิทธิ์จะถูกเพิ่มในแนวตั้งพร้อมกับผลลัพธ์ที่ได้รับและวางผลลัพธ์ไว้ด้านล่าง วิธีนี้จะทำซ้ำกระบวนการจนถึงคอลัมน์สุดท้าย.

จากนั้นทำซ้ำขั้นตอนเดียวกันอีกครั้ง แต่ใช้ตัวหารที่สอง (ซึ่งคือ 2) เนื่องจากนิพจน์ยังคงสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้.

ดังนั้นสำหรับแต่ละรูตที่ได้มาพหุนามจะมีคำ (x - a) โดยที่ "a" คือค่าของรูต:

(x - (-1)) _{* * * *} (x - 2) = (x + 1) _{* * * *} (x - 2)

ในทางกลับกันข้อกำหนดเหล่านี้จะต้องคูณด้วยส่วนที่เหลือของกฎของ Ruffini 1: 1 และ -6 ซึ่งเป็นปัจจัยที่แสดงถึงระดับ ด้วยวิธีนี้การแสดงออกที่เกิดขึ้นคือ: (x² + x - 6).

การได้รับผลลัพธ์ของการแยกตัวประกอบพหุนามโดยวิธี Ruffini คือ:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _{* * * *} (x - 2) _{* * * *} (x² + x - 6)

เมื่อต้องการเสร็จสิ้นพหุนามของระดับ 2 ที่ปรากฏในนิพจน์ก่อนหน้าสามารถเขียนใหม่เป็น (x + 3) (x-2) ดังนั้นการแยกตัวประกอบสุดท้ายคือ:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _{* * * *} (x - 2)_{* * * *}(x + 3)_{* * * *}(X-2).

การอ้างอิง

1. Arthur Goodman, L. H. (1996) พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การศึกษาของเพียร์สัน.
2. J, V. (2014) วิธีสอนเด็กเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบพหุนาม.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f. ) คณิตศาสตร์พื้นฐานพร้อมการประยุกต์.
4. Roelse, P. L. (1997) วิธีเชิงเส้นสำหรับการแยกตัวประกอบพหุนามมากกว่าฟิลด์ จำกัด : ทฤษฎีและการประยุกต์ Universität Essen.
5. ชาร์ป, D. (1987) วงแหวนและตัวประกอบ.