สมการพหุนาม (พร้อมแบบฝึกหัดที่แก้ไข)

สมการพหุนาม เป็นคำแถลงที่เพิ่มความเสมอภาคของนิพจน์หรือสมาชิกสองคนโดยที่อย่างน้อยหนึ่งคำที่ประกอบกันขึ้นมาในแต่ละด้านของความเท่าเทียมคือชื่อพหุนาม P (x) สมการเหล่านี้ตั้งชื่อตามระดับของตัวแปร.

โดยทั่วไปสมการเป็นข้อความที่กำหนดความเท่าเทียมกันของนิพจน์สองรายการโดยอย่างน้อยหนึ่งในจำนวนนี้มีปริมาณที่ไม่รู้จักซึ่งเรียกว่าตัวแปรหรือไม่ทราบ แม้ว่าจะมีหลายประเภทของสมการพวกเขามักแบ่งออกเป็นสองประเภท: พีชคณิตและยอดเยี่ยม.

สมการพหุนามมีเพียงการแสดงออกของพีชคณิตซึ่งอาจมีหนึ่งหรือมากกว่าหนึ่งที่ไม่รู้จักที่เกี่ยวข้องในสมการ ตามเลขชี้กำลัง (องศา) พวกเขาสามารถจำแนกได้เป็น: ระดับแรก (เชิงเส้น), ระดับที่สอง (กำลังสอง), ระดับที่สาม (ลูกบาศก์), ระดับที่สี่ (ลูกบาศก์), ระดับที่สี่ (ควอร์ติก) มากกว่าหรือเท่ากับห้า.

ดัชนี

• 1 ลักษณะ
• 2 ประเภท
  • 2.1 ชั้นแรก
  • 2.2 ระดับที่สอง
  • 2.3 Resolver
  • 2.4 เกรดที่สูงขึ้น
• 3 แบบฝึกหัดได้รับการแก้ไข
  • 3.1 การออกกำลังกายครั้งแรก
  • 3.2 การออกกำลังกายที่สอง
• 4 อ้างอิง

คุณสมบัติ

สมการพหุนามเป็นนิพจน์ที่ประกอบขึ้นด้วยความเท่าเทียมกันระหว่างชื่อพหุนามสองอัน นั่นคือโดยผลบวกของการคูณระหว่างค่าที่ไม่ทราบ (ตัวแปร) และจำนวนคงที่ (สัมประสิทธิ์) ซึ่งตัวแปรสามารถมีเลขชี้กำลังและค่าของพวกเขาสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกรวมถึงศูนย์.

เลขชี้กำลังเป็นตัวกำหนดระดับหรือชนิดของสมการ เทอมนั้นของการแสดงออกที่มีค่า exponent สูงสุดจะแสดงถึงระดับสัมบูรณ์ของพหุนาม.

สมการพหุนามเป็นที่รู้จักกันอีกชื่อหนึ่งว่าสมการพีชคณิตสัมประสิทธิ์ของพวกเขาอาจเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนและตัวแปรเป็นตัวเลขที่ไม่รู้จักซึ่งแสดงด้วยตัวอักษรเช่น: "x".

หากการแทนที่ค่าสำหรับตัวแปร "x" ใน P (x) ผลลัพธ์จะเท่ากับศูนย์ (0) จากนั้นจะกล่าวว่าค่านี้เป็นไปตามสมการ (ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหา) และโดยทั่วไปเรียกว่ารากของพหุนาม.

เมื่อมีการพัฒนาสมการพหุนามคุณต้องการค้นหารากหรือวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด.

ชนิด

สมการพหุนามมีหลายประเภทซึ่งแตกต่างกันตามจำนวนของตัวแปรและตามระดับของเลขชี้กำลัง.

ดังนั้นสมการพหุนาม - บริเวณใด ๆ ในเทอมแรกคือพหุนามที่มีเพียงอันเดียวที่ไม่รู้จักโดยพิจารณาว่าระดับสามารถเป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ (n) และเทอมที่สองเป็นศูนย์ - สามารถแสดงได้ดังนี้:

ไปยัง_{ไม่มี *} xⁿ + ไปยัง_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + ไปยัง_{0 *} x₀ = 0

ที่อยู่:

- ไปยัง_n, ไปยัง_n-1 และ₀, พวกเขาเป็นสัมประสิทธิ์จริง (ตัวเลข).

- ไปยัง_n มันแตกต่างจากศูนย์.

- เลขชี้กำลัง n เป็นจำนวนเต็มบวกที่แทนระดับของสมการ.

- x คือตัวแปรหรือไม่ทราบที่ต้องค้นหา.

ระดับสัมบูรณ์หรือมากกว่าของสมการพหุนามคือเลขชี้กำลังที่มีค่ามากขึ้นในบรรดาทั้งหมดที่สร้างพหุนาม ด้วยวิธีนี้สมการจะถูกจัดประเภทเป็น:

ชั้นแรก

สมการพหุนามระดับแรกที่เรียกว่าสมการเชิงเส้นคือระดับที่ (เลขชี้กำลังยิ่งใหญ่ที่สุด) เท่ากับ 1 ส่วนพหุนามเป็นรูปแบบ P (x) = 0; และมันประกอบด้วยคำเชิงเส้นและคำอิสระ มันเขียนไว้ดังนี้:

ax + b = 0.

ที่อยู่:

- a และ b เป็นตัวเลขจริงและ a ≠ 0.

- ขวานเป็นศัพท์เชิงเส้น.

- b เป็นคำที่เป็นอิสระ.

ตัวอย่างเช่นสมการ 13x - 18 = 4x.

ในการแก้สมการเชิงเส้นเงื่อนไขทั้งหมดที่มี x ที่ไม่รู้จักต้องถูกส่งผ่านไปยังอีกด้านหนึ่งของความเสมอภาคและที่ไม่ได้ถูกย้ายไปที่อีกด้านหนึ่งเพื่อล้างมันและรับวิธีแก้ปัญหา:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

ด้วยวิธีดังกล่าวสมการที่กำหนดมีวิธีแก้ปัญหาเดียวหรือรูตซึ่งก็คือ x = 2.

ชั้นสอง

สมการพหุนามดีกรีที่สองหรือที่เรียกว่าสมการกำลังสองคือสมการพหุนามที่ใหญ่ที่สุดเท่ากับ 2 พหุนามเป็นรูปแบบ P (x) = 0 และประกอบด้วยสมการกำลังสอง หนึ่งเส้นตรงและหนึ่งอิสระ มันจะแสดงดังต่อไปนี้:

ขวาน² + bx + c = 0.

ที่อยู่:

- a, b และ c เป็นจำนวนจริงและ a ≠ 0.

- ขวาน² คือเทอมกำลังสองและ "a" คือสัมประสิทธิ์ของเทอมกำลังสอง.

- bx คือคำเชิงเส้นและ "b" คือสัมประสิทธิ์ของคำเชิงเส้น.

- c เป็นคำที่เป็นอิสระ.

resolvente

โดยทั่วไปคำตอบของสมการประเภทนี้จะได้รับจากการล้าง x จากสมการและเหลือไว้ดังนี้ซึ่งเรียกว่าตัวแก้ไข:

ที่นั่น (ข² - 4ac) เรียกว่า discriminant ของสมการและนิพจน์นี้กำหนดจำนวนของโซลูชันที่สมการสามารถมีได้:

- ใช่ (ข² - 4ac) = 0 สมการจะมีคำตอบเดียวที่เป็นสองเท่า นั่นคือคุณจะมีทางออกที่เท่าเทียมกันสองวิธี.

- ใช่ (ข² - 4ac)> 0 สมการจะมีวิธีแก้ปัญหาจริงสองแบบ.

- ใช่ (ข² - 4AC) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

ตัวอย่างเช่นคุณมีสมการ 4x² + 10x - 6 = 0, เมื่อต้องการแก้ไข, ก่อนอื่นให้ระบุเงื่อนไข a, b และ c, จากนั้นแทนที่ในสูตร:

a = 4

b = 10

c = -6.

มีหลายกรณีที่สมการพหุนามของระดับที่สองไม่มีสามเทอมและนั่นคือสาเหตุที่พวกมันถูกแก้ไขต่างกัน:

- ในกรณีที่สมการกำลังสองไม่มีคำเชิงเส้น (นั่นคือ b = 0) สมการจะถูกแสดงเป็นขวาน² + c = 0 ในการแก้มันจะถูกล้าง x² และสแควร์รูทถูกนำไปใช้ในสมาชิกแต่ละคนโดยระลึกว่าสัญญาณที่เป็นไปได้สองอย่างที่ไม่ทราบนั้นสามารถพิจารณาได้

ขวาน² + c = 0.

x² = - c ÷ a

ตัวอย่างเช่น 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ±√4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- เมื่อสมการกำลังสองไม่มีศัพท์อิสระ (เช่น c = 0) สมการจะแสดงเป็นขวาน² + bx = 0 ในการแก้ปัญหาเราต้องแยกปัจจัยทั่วไปของ x ที่ไม่รู้จักในสมาชิกรายแรก เนื่องจากสมการเท่ากับศูนย์มันเป็นความจริงที่อย่างน้อยหนึ่งในปัจจัยจะเท่ากับ 0:

ขวาน² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

ด้วยวิธีนี้คุณต้อง:

x = 0.

x = -b ÷ a.

ตัวอย่างเช่นคุณมีสมการ 5x² + 30x = 0. ปัจจัยแรก:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

ปัจจัยสองอย่างถูกสร้างขึ้นนั่นคือ x และ (5x + 30) ถือว่าเป็นหนึ่งในสิ่งเหล่านี้จะเท่ากับศูนย์และวิธีแก้ปัญหาอื่นจะได้รับ:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

ปริญญาตรี

สมการพหุนามของระดับที่สูงกว่านั้นเป็นไปจากระดับที่สามเป็นต้นไปที่สามารถแสดงหรือแก้ไขด้วยสมการพหุนามทั่วไปสำหรับระดับใด ๆ :

ไปยัง_{ไม่มี *} xⁿ + ไปยัง_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + ไปยัง_{0 *} x₀ = 0

สิ่งนี้ใช้เพราะสมการที่มีระดับมากกว่าสองคือผลลัพธ์ของการแยกตัวประกอบของพหุนาม นั่นคือมันจะแสดงเป็นพหุนามของพหุนามในระดับหนึ่งหรือมากกว่า แต่ไม่มีรากจริง.

คำตอบของสมการประเภทนี้นั้นตรงเนื่องจากการคูณของสองปัจจัยจะเท่ากับศูนย์หากปัจจัยใด ๆ เป็นโมฆะ (0) ดังนั้นแต่ละสมการพหุนามที่พบจะต้องได้รับการแก้ไขการจับคู่แต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์.

ตัวอย่างเช่นคุณมีสมการระดับที่สาม (ลูกบาศก์) x³ + x² +4x + 4 = 0 ในการแก้ปัญหาต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

- เงื่อนไขการจัดกลุ่ม:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- แขนขาหักลงเพื่อให้ได้ปัจจัยทั่วไปที่ไม่รู้จัก:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_{* * * *}(x + 1) = 0.

- ด้วยวิธีนี้จะได้รับสองปัจจัยซึ่งจะต้องเท่ากับศูนย์:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- จะเห็นได้ว่าปัจจัย (x² + 4) = 0 จะไม่มีทางออกที่แท้จริงในขณะที่ปัจจัย (x + 1) = 0 ใช่ ดังนั้นทางออกคือ:

(x + 1) = 0

x = -1.

การออกกำลังกายที่มีมติ

แก้สมการต่อไปนี้:

การออกกำลังกายครั้งแรก

(2x² + 5)_{* * * *}(x - 3)_{* * * *}(1 + x) = 0.

ทางออก

ในกรณีนี้สมการจะแสดงเป็นการคูณของพหุนาม นั่นคือมันเป็นปัจจัย ในการแก้ปัญหานั้นแต่ละปัจจัยจะต้องเท่ากับศูนย์:

- 2x² + 5 = 0, ไม่มีทางออก.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

ดังนั้นสมการที่ให้มามีสองทางแก้: x = 3 และ x = -1.

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

x⁴ - 36 = 0.

ทางออก

มันได้รับพหุนามซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็นความแตกต่างของสแควร์เพื่อมาถึงทางออกที่เร็วขึ้น ดังนั้นสมการยังคงอยู่:

(x² + 6)_{* * * *}(x² - 6) = 0.

ในการหาคำตอบของสมการปัจจัยทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์:

(x² + 6) = 0, ไม่มีทางออก.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ±√6.

ดังนั้นสมการเริ่มต้นมีสองวิธี:

x = √6.

x = - √6.

การอ้างอิง

1. Andres, T. (2010) คณิตศาสตร์โอลิมปิก Tresure สปริงเกอร์ นิวยอร์ก.
2. Angel, A. R. (2007) พีชคณิตเบื้องต้น การศึกษาของเพียร์สัน,.
3. Baer, ​​R. (2012) พีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตเชิง Projective บริษัท จัดส่ง.
4. Baldor, A. (1941) พีชคณิต ฮาวานา: วัฒนธรรม.
5. Castaño, H. F. (2005) คณิตศาสตร์ก่อนการคำนวณ มหาวิทยาลัย Medellin.
6. CristóbalSánchez, M. R. (2000) คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับการเตรียมโอลิมปิก Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984) พีชคณิตซูพีเรียร์ 1.
8. Massara, N. C.-L. (1995) คณิตศาสตร์ 3.