ประวัติความเป็นมาของเรขาคณิตวิเคราะห์

ประวัติความเป็นมาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พวกเขาย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 17 เมื่อปิแอร์เดอแฟร์มาต์และเรเนเดคาร์ตได้กำหนดแนวคิดพื้นฐานของพวกเขา สิ่งประดิษฐ์ของเขาเป็นไปตามความทันสมัยของพีชคณิตและสัญลักษณ์เกี่ยวกับพีชคณิตของFrançoisViète.

สาขานี้มีฐานอยู่ในกรีกโบราณโดยเฉพาะในงานของ Apollonius และ Euclid ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากในสาขาคณิตศาสตร์นี้.

แนวคิดสำคัญที่อยู่เบื้องหลังเรขาคณิตวิเคราะห์คือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวเพื่อให้หนึ่งเป็นหน้าที่ของอีกคนหนึ่งกำหนดเส้นโค้ง.

ความคิดนี้พัฒนาขึ้นเป็นครั้งแรกโดยปิแอร์เดอแฟร์มาต์ ด้วยกรอบการทำงานที่สำคัญนี้ Isaac Newton และ Gottfried Leibniz ก็สามารถพัฒนาการคำนวณได้.

ปราชญ์ชาวฝรั่งเศสเดส์การ์ตก็ค้นพบวิธีเชิงพีชคณิตในเรขาคณิตซึ่งเห็นได้ชัดด้วยตัวเขาเอง ผลงานทางเรขาคณิตของเดส์การ์ตส์ปรากฏในหนังสือที่มีชื่อเสียงของเขา คำพูดของวิธีการ.

ในหนังสือเล่มนี้มีการระบุว่าเข็มทิศและสิ่งปลูกสร้างทางเรขาคณิตของขอบตรงเกี่ยวข้องกับการบวกการลบการคูณและรากที่สอง.

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์แสดงถึงการรวมกันของขนบธรรมเนียมที่สำคัญสองประการในวิชาคณิตศาสตร์: รูปทรงเรขาคณิตเป็นการศึกษารูปแบบและคณิตศาสตร์และพีชคณิตซึ่งเกี่ยวข้องกับปริมาณหรือจำนวน ดังนั้นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คือการศึกษาด้านเรขาคณิตโดยใช้ระบบพิกัด.

ประวัติศาสตร์

ความเป็นมาของเรขาคณิตวิเคราะห์

ความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตและพีชคณิตมีการพัฒนาตลอดประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์แม้ว่าเรขาคณิตถึงระดับก่อนกำหนด.

ตัวอย่างเช่นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Euclid สามารถจัดผลลัพธ์จำนวนมากในหนังสือคลาสสิกของเขา องค์ประกอบ.

แต่มันเป็น Apollonius กรีกโบราณของ Perga ที่ทำนายการพัฒนาของเรขาคณิตวิเคราะห์ในหนังสือของเขา มีรูปกรวย. เขากำหนดรูปกรวยเป็นจุดตัดระหว่างกรวยกับระนาบ.

การใช้ผลลัพธ์ของยูคลิดในสามเหลี่ยมคล้ายกันและการทำให้แห้งเป็นวงกลมเขาพบความสัมพันธ์ที่ได้รับจากระยะทางจากจุดใด ๆ "P" ของรูปกรวยถึงสองเส้นตั้งฉากแกนหลักของรูปกรวยและแทนเจนต์ที่จุดสุดท้ายของแกน Apollonius ใช้ความสัมพันธ์นี้เพื่ออนุมานคุณสมบัติพื้นฐานของ conics.

การพัฒนาระบบพิกัดในคณิตศาสตร์ที่ตามมาเกิดขึ้นหลังจากพีชคณิตได้ครบกำหนดขอบคุณนักคณิตศาสตร์อิสลามและอินเดีย.

จนกระทั่งเรขาคณิตยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์วิธีแก้ปัญหาพีชคณิต แต่ก็ไม่มีอะไรมากที่พีชคณิตจะมีส่วนทำให้เรขาคณิต.

สถานการณ์นี้จะเปลี่ยนไปเมื่อมีการใช้สัญลักษณ์ที่สะดวกสำหรับความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตและการพัฒนาแนวคิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งตอนนี้เป็นไปได้.

ศตวรรษที่สิบหก

ในตอนท้ายของศตวรรษที่สิบหกFrançoisVièteนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้นำเสนอสัญลักษณ์เกี่ยวกับพีชคณิตอย่างเป็นระบบครั้งแรกโดยใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงปริมาณตัวเลขทั้งที่รู้จักและไม่รู้จัก.

เขายังพัฒนาวิธีการทั่วไปที่มีประสิทธิภาพสำหรับการทำงานเกี่ยวกับพีชคณิตนิพจน์และการแก้สมการพีชคณิต.

ด้วยเหตุนี้นักคณิตศาสตร์จึงไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลขทางเรขาคณิตและสัญชาตญาณทางเรขาคณิตเพื่อแก้ปัญหา.

แม้แต่นักคณิตศาสตร์บางคนก็เริ่มละทิ้งวิธีคิดทางเรขาคณิตมาตรฐานตามที่ตัวแปรเชิงเส้นของความยาวและสี่เหลี่ยมตรงกับพื้นที่ในขณะที่ลูกบาศก์สอดคล้องกับปริมาณ.

คนแรกที่ทำตามขั้นตอนนี้คือนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์René Descartes และนักกฎหมายและนักคณิตศาสตร์ Pierre de Fermat.

รากฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์

เดส์การตส์และแฟร์มาต์ก่อตั้งเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์อย่างอิสระในช่วงปี 1630 โดยใช้พีชคณิตVièteสำหรับการศึกษาความเชื่อทางเรขาคณิต.

นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ตระหนักว่าพีชคณิตเป็นเครื่องมือที่มีพลังอันยิ่งใหญ่ในเรขาคณิตและคิดค้นสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันในฐานะเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์.

ความก้าวหน้าที่พวกเขาทำคือเอาชนะVièteโดยใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงระยะทางที่เป็นตัวแปรแทนที่จะเป็นแบบคงที่.

Descartes ใช้สมการเพื่อศึกษาเส้นโค้งที่กำหนดทางเรขาคณิตและเน้นความจำเป็นที่จะต้องพิจารณาเส้นโค้งพีชคณิต - กราฟทั่วไปของสมการพหุนามในองศา "x" และ "y".

สำหรับส่วนของเขาแฟร์มาต์ย้ำว่าความสัมพันธ์ระหว่างพิกัด "x" และ "และ" กำหนดเส้นโค้งใด ๆ.

ด้วยความคิดเหล่านี้เขาได้ปรับโครงสร้างของ Apollonius เกี่ยวกับเงื่อนไขทางพีชคณิตและเรียกคืนงานที่หายไปบางส่วนของเขา.

แฟร์มาต์ระบุว่าสมการกำลังสองใด ๆ ใน "x" และ "y" สามารถวางในรูปแบบมาตรฐานของหนึ่งในส่วนรูปกรวย อย่างไรก็ตามเรื่องนี้แฟร์มาต์ไม่เคยตีพิมพ์งานของเขาในเรื่อง.

ต้องขอบคุณความก้าวหน้าของสิ่งที่อาร์คิมีดีสสามารถแก้ไขได้ด้วยความยากลำบากและกรณีแยกโดดเดี่ยวแฟร์มาต์และเดส์การตส์สามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและเป็นจำนวนมากของเส้นโค้ง (ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อพีชคณิตเชิงโค้ง).

แต่ความคิดของเขาได้รับการยอมรับโดยทั่วไปผ่านความพยายามของนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่สิบเจ็ด.

นักคณิตศาสตร์ Frans van Schooten, Florimond de Beaune และ Johan de Witt ช่วยขยายงานของ Decartes และเพิ่มเนื้อหาเพิ่มเติมที่สำคัญ.

มีอิทธิพล

ในประเทศอังกฤษ John Wallis นิยมการวิเคราะห์รูปทรงเรขาคณิต เขาใช้สมการเพื่อกำหนดรูปกรวยและหาสมบัติของมัน แม้ว่าเขาจะใช้พิกัดเชิงลบอย่างอิสระมันเป็น Isaac Newton ที่ใช้แกนเฉียงสองแกนเพื่อแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วน.

นิวตันและเยอรมันกอทท์ฟรีดไลบนิซปฏิวัติคณิตศาสตร์ตอนปลายศตวรรษที่ 17 โดยแสดงพลังการคำนวณอย่างอิสระ.

นิวตันแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของวิธีการวิเคราะห์ในเรขาคณิตและบทบาทของมันในแคลคูลัสเมื่อเขายืนยันว่าลูกบาศก์ใด ๆ (หรือเส้นโค้งพีชคณิตองศาที่สามใด ๆ ) มีสมการมาตรฐานสามหรือสี่แกนสำหรับแกนพิกัดที่เหมาะสม ด้วยความช่วยเหลือของนิวตันเองนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตจอห์นสเตอร์ลิงได้พิสูจน์ในปี 1717.

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ของสามมิติขึ้นไป

แม้ว่า Descartes และ Fermat แนะนำให้ใช้สามพิกัดในการศึกษาส่วนโค้งและพื้นผิวในอวกาศเรขาคณิตวิเคราะห์สามมิติที่พัฒนาขึ้นอย่างช้าๆจนถึง 1730.

นักคณิตศาสตร์ออยเลอร์เฮอร์มันน์และแคลร์เอาต์สร้างสมการทั่วไปสำหรับทรงกระบอกกรวยและพื้นผิวของการปฏิวัติ.

ตัวอย่างเช่นออยเลอร์ใช้สมการสำหรับการแปลในพื้นที่เพื่อเปลี่ยนพื้นผิวกำลังสองทั่วไปเพื่อให้แกนหลักใกล้เคียงกับแกนพิกัด.

ออยเลอร์, โจเซฟ - หลุยส์ลากรองจ์และแกสปาร์ดเมล็องทำให้รูปทรงการวิเคราะห์เป็นอิสระจากเรขาคณิตสังเคราะห์ (ไม่ใช่แบบวิเคราะห์).

การอ้างอิง

1. การพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ (2001) กู้คืนจากสารานุกรม
2. ประวัติความเป็นมาของเรขาคณิตวิเคราะห์ (2015) กู้คืนจาก maa.org
3. การวิเคราะห์ (คณิตศาสตร์) กู้คืนจาก britannica.com
4. เรขาคณิตวิเคราะห์ กู้คืนจาก britannica.com
5. Descartes และการเกิดของเรขาคณิตวิเคราะห์ กู้คืนจาก sciencedirect.com