3 ระบบของสมการเชิงเส้นและวิธีการแก้ปัญหา

สมการเชิงเส้น เป็นสมการพหุนามกับหนึ่งหรือหลายนิรนาม ในกรณีนี้นิรนามจะไม่ยกระดับเป็นกำลังหรือไม่คูณด้วยกัน (ในกรณีนี้มีการกล่าวว่าสมการนี้เป็นระดับ 1 หรือระดับแรก).

สมการคือความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ที่มีองค์ประกอบที่ไม่รู้จักอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบที่เราจะเรียกว่าไม่ทราบหรือไม่ทราบในกรณีที่มีมากกว่าหนึ่ง เพื่อแก้สมการนี้มีความจำเป็นต้องค้นหาคุณค่าของสิ่งแปลกปลอม.

สมการเชิงเส้นมีโครงสร้างดังต่อไปนี้:

ไปยัง₀· 1 + a₁· X₁+ ไปยัง₂· X₂+... + a_n· X_n= b

ไปที่ไหน₀, ไปยัง₁, ไปยัง₂,... , a_n คือจำนวนจริงที่เรารู้ค่าของพวกเขาและเรียกว่าสัมประสิทธิ์ b เป็นจำนวนจริงที่รู้จักกันซึ่งเรียกว่าระยะอิสระ และในที่สุดพวกเขาก็คือ X₁, X_2,... , X_n ซึ่งเป็นสิ่งที่เรียกว่าไม่ทราบ นี่คือตัวแปรที่ไม่ทราบค่า.

ระบบสมการเชิงเส้นคือชุดของสมการเชิงเส้นโดยที่ค่าของ unknowns จะเหมือนกันในแต่ละสมการ.

เหตุผลวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นคือการกำหนดค่าให้กับสิ่งแปลกปลอมเพื่อให้สามารถตรวจสอบความเท่าเทียมกันได้ กล่าวคือต้องคำนวณค่า unknowns เพื่อให้สมการทั้งหมดของระบบพร้อมกัน เราแสดงระบบสมการเชิงเส้นดังนี้

ไปยัง₀· 1 + a₁· X₁ + ไปยัง₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

ข₀· 1 + b₁· X₁ + ข₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

ค₀· 1 + c₁· X₁ + ค₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 ที่_0, ไปยัง₁,... , a_n,ข₀,ข₁,... , b_n ,ค₀ ,ค₁,... , c_n เรามีตัวเลขจริงและสิ่งไม่รู้จักที่จะแก้คือ X₀,... , X_n ,X_{n + 1}.

สมการเชิงเส้นแต่ละเส้นแสดงถึงเส้นหนึ่งและดังนั้นระบบของสมการของสมการเชิงเส้น N หมายถึงการลากเส้นตรงในอวกาศ.

ขึ้นอยู่กับจำนวนของนิรนามที่แต่ละสมการเชิงเส้นมีเส้นที่แทนสมการกล่าวจะถูกแสดงในมิติที่แตกต่างนั่นคือสมการที่มีสองนิรนาม (ตัวอย่างเช่น 2 · X₁ + X₂ = 0) หมายถึงบรรทัดในพื้นที่สองมิติสมการที่มีสาม unknowns (ตัวอย่างเช่น 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) จะแสดงในพื้นที่สามมิติเป็นต้น.

เมื่อแก้ระบบสมการค่าของ X₀,... , X_n ,X_{n + 1} เกิดขึ้นเป็นจุดตัดระหว่างบรรทัด.

โดยการแก้ระบบสมการเราสามารถบรรลุข้อสรุปที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับประเภทของผลลัพธ์ที่เราได้รับเราสามารถแยกแยะระหว่างระบบสมการเชิงเส้น 3 ประเภท:

1- เข้ากันไม่ได้กำหนด

แม้ว่ามันอาจฟังดูตลก แต่ก็เป็นไปได้ว่าเมื่อพยายามที่จะแก้ระบบสมการเราจะมาถึงความชัดเจนของสไตล์ 0 = 0.

สถานการณ์ประเภทนี้เกิดขึ้นเมื่อมีการแก้ปัญหาที่ไม่สิ้นสุดสำหรับระบบสมการและสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อปรากฎว่าในระบบสมการของเราสมการนั้นแทนเส้นเดียวกัน เราสามารถดูได้ในรูปแบบกราฟิก:

ในฐานะที่เป็นระบบสมการเราใช้:

ด้วยการมีสมการ 2 สมการกับ 2 ไม่ทราบที่จะแก้ปัญหาเราสามารถแสดงเส้นตรงในระนาบสองมิติ

เมื่อเราเห็นเส้นตรงเหมือนกันดังนั้นทุกจุดของสมการแรกจึงตรงกับที่ของสมการที่สองดังนั้นมันจึงมีจุดตัดหลายจุดเท่ากับเส้นที่มีนั่นคืออินฟินิตี้.

2- เข้ากันไม่ได้

เมื่ออ่านชื่อเราสามารถจินตนาการได้ว่าระบบสมการถัดไปของเราจะไม่มีทางออก.

หากเราพยายามที่จะแก้ปัญหาเช่นระบบสมการนี้

กราฟิกมันจะเป็น:

ถ้าเราคูณทุกเทอมของสมการที่สองเราจะได้ X + Y = 1 เท่ากับ 2 · X + 2 · Y = 2 และถ้าการแสดงออกสุดท้ายนี้ถูกลบออกจากสมการแรกเราจะได้

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

หรืออะไรที่เหมือนกัน

0 = 1

เมื่อเราอยู่ในสถานการณ์นี้หมายความว่าเส้นที่แสดงในระบบของสมการนั้นขนานกันซึ่งหมายความว่าตามคำนิยามพวกมันจะไม่ถูกตัดและไม่มีจุดตัด เมื่อมีการนำเสนอระบบด้วยวิธีนี้ว่ากันว่าเป็นอิสระไม่สอดคล้องกัน.

3- การสนับสนุนที่กำหนด

ในที่สุดเราก็มาถึงกรณีที่ระบบสมการของเรามีวิธีแก้ปัญหาเดียวกรณีที่เรามีเส้นที่ตัดกันและสร้างจุดตัด ลองดูตัวอย่าง:

เพื่อแก้ปัญหาเราสามารถเพิ่มสมการทั้งสองเพื่อที่เราจะได้

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

หากเราทำให้เราง่ายขึ้น

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

จากการที่เราอนุมานได้ง่ายว่า X = 2 และการแทนที่หรือ X = 2 ในสมการดั้งเดิมใด ๆ ที่เราได้รับ Y = 3.

สายตามันจะเป็น:

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ดังที่เราได้เห็นในส่วนก่อนหน้านี้สำหรับระบบที่มี 2 unknowns และ 2 สมการบนพื้นฐานของการดำเนินการอย่างง่ายเช่นการบวกการลบการคูณการหารและการแทนที่เราสามารถแก้ปัญหาได้ในเวลาไม่กี่นาที แต่ถ้าเราพยายามใช้วิธีการนี้กับระบบที่มีสมการมากขึ้นและไม่ทราบจำนวนมากการคำนวณก็น่าเบื่อและเราก็สามารถเข้าใจได้ง่าย.

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้นมีวิธีการแก้ไขหลายวิธี แต่วิธีการที่แพร่หลายที่สุดคือกฎของแครเมอร์และการกำจัดของเกาส์ - จอร์แดน.

วิธีการแครมเมอร์

เพื่อที่จะอธิบายว่าวิธีการนี้ถูกนำไปใช้อย่างไรมันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องรู้ว่าเมทริกซ์คืออะไรและรู้วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์อย่างไร.

มดลูก มันไม่มีอะไรมากไปกว่าชุดของตัวเลขหรือสัญลักษณ์เชิงพีชคณิตที่วางในเส้นแนวนอนและแนวตั้งและจัดเรียงในรูปแบบของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สำหรับชุดรูปแบบของเราเราจะใช้เมทริกซ์เป็นวิธีที่ง่ายกว่าในการแสดงระบบสมการของเรา.

ลองดูตัวอย่าง:

มันจะเป็นระบบของสมการเชิงเส้น

ระบบสมการง่าย ๆ ที่เราสามารถสรุปได้คือการดำเนินการของเมทริกซ์ 2 × 2 สองตัวที่ส่งผลให้เมทริกซ์ 2 × 1.

เมทริกซ์แรกสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเมทริกซ์ที่สองเป็นค่าที่ไม่รู้จักในการแก้และเมทริกซ์ที่อยู่หลังความเสมอภาคถูกระบุด้วยเงื่อนไขอิสระของสมการ

ปัจจัย เป็นการดำเนินการที่ใช้กับเมทริกซ์ซึ่งผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง.

ในกรณีของเมทริกซ์ที่เราพบในตัวอย่างก่อนหน้านี้ดีเทอร์มีแนนต์ของมันคือ:

เมื่อแนวคิดของเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ถูกกำหนดแล้วเราสามารถอธิบายได้ว่าวิธีการแครมเมอร์ประกอบด้วยอะไร.

โดยวิธีนี้เราสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างง่ายดายตราบใดที่ระบบไม่เกินสามสมการด้วยสามนิรนามเนื่องจากการคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นยากมากสำหรับเมทริกซ์ 4 × 4 หรือสูงกว่า ในกรณีที่มีระบบที่มีสมการเชิงเส้นมากกว่าสามตัวแนะนำให้ใช้วิธีกำจัด Gauss-Jordan.

ดำเนินการต่อด้วยตัวอย่างก่อนหน้านี้โดยวิธีของแครมเมอร์เราเพียงแค่ต้องคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์สองตัวและด้วยค่าดังกล่าวเราจะพบค่าของสองนิรนาม.

เรามีระบบของเรา:

และเรามีระบบที่แสดงโดยเมทริกซ์:

พบค่าของ X:

เพียงในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่อยู่ในส่วนของหารเราได้แทนที่ประชาคมแรกสำหรับเมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ และในส่วนของการหารเรามีดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมของเรา.

ดำเนินการคำนวณเดียวกันเพื่อค้นหา Y ที่เราได้รับ:

การกำจัดของเกาส์ - จอร์แดน

เรากำหนด เมทริกซ์แบบขยาย เข้ากับเมทริกซ์ที่เป็นผลมาจากระบบของสมการที่เราเพิ่มเทอมอิสระลงในตอนท้ายของเมทริกซ์.

วิธีการกำจัดของเกาส์ - จอร์แดนประกอบด้วยโดยการดำเนินการระหว่างแถวของเมทริกซ์เพื่อแปลงเมทริกซ์ขยายของเราให้กลายเป็นเมทริกซ์ที่ง่ายกว่ามากที่ฉันมีศูนย์ในทุกสาขายกเว้นในแนวทแยงมุมซึ่งฉันต้องได้รับบางส่วน ดังนี้

โดยที่ X และ Y จะเป็นตัวเลขจริงที่ตรงกับสิ่งที่เราไม่รู้.

มาแก้ไขระบบนี้โดยกำจัด Gauss-Jordan:

เราได้รับการจัดการเพื่อให้เป็นศูนย์ในส่วนล่างซ้ายของเมทริกซ์ของเราขั้นตอนต่อไปคือการได้รับ 0 ในส่วนบนขวาของมัน.

เราประสบความสำเร็จเป็น 0 ที่มุมบนซ้ายของเมทริกซ์ตอนนี้เราแค่แปลงทแยงมุมเป็นอันเดียวแล้วเราก็แก้ไขระบบของเราโดย Gauss-Jordan.

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า:

การอ้างอิง

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. ระบบสมการเชิงเส้น (ไม่มีวันที่) กู้คืนจาก uco.es.
4. ระบบสมการเชิงเส้น บทที่ 7 (ไม่ระบุ) ดึงข้อมูลจาก sauce.pntic.mec.es.
5. พีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิต (2010/2011) ระบบสมการเชิงเส้น บทที่ 1 ภาควิชาพีชคณิต มหาวิทยาลัยเซวิลล์ สเปน กู้คืนจาก algebra.us.es.